1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда, поскольку каждый вектор v из V принадлежитL(v1..vn) (из чего имеем, что L(v1..vn)=V), то v1...vn — линейно зависимый набор векторов.Значит что существует вектор vi, который выражается через остальные. Предположим что vi≠0(если он равен нулю то разложений бесконечно много (так как b*vi=0, b ∈ F). Тогда мы можемпредставить vi как a1`*v1+...a(i-1)`*v(i-1)+a(i+1)`*v(i+1)+...an*vn. Тогда v=(a1+a1`)*v1+...(a(i1)+a(i-1)`)*v(i-1)+0*vi+(a(i+1)+a(i+1)`)*v(i+1)*...*(an+an`)*vn, но тогда существует другоеразложение и получаем противоречие.Линейные отображения и изоморфизмыОпределение 3.9Пусть V, U — в.п.
над F.Линейным отображением назовем отображение φ:V → U, если φ(a*u+b*v)=a*(φ(u))+b*(φ(v)),для любых u,v ∈V, a,b ∈F.Определение 3.10Линейное отображение φ:U → V называется изоморфизмом, если оно биективно.Векторные пространства называются изоморфными если существует хоть один изоморфизм.Простейшие свойства линейных отображений:1)φ(0)=0Док-во: φ(0*0)=0(φ(0)=02)φ(-v)=-φ(v)Док-во: φ(-1*v)=-(φ(v))3)φ(v1)...φ(vn) — линейно независимы => v1..vn — линейно независимыДок-во:Пусть v1..vn — линейно зависимы. Тогда существует нетривиальная комбинация a1...an,где хоть один аi≠0 но a1v1+..anvn=0.
Применим к ней отображение φ и получимφ(a1v1+..anvn)=a1*φ(v1)+..an*φ(vn)=0 но тогда a1=a2=...=an=0, следовательно комбинациятривиальна, получаем противоречие.4)φ — изоморфизм => φ^-1 — изоморфизм.Док-во: φ — биекция => ∃ φ^-1 и φ^-1 — биекцияДокажем линейность φ, иными словами φ^-1(a*v+b*u)=a*φ^-1(u)+b*φ^-1(v).Заметим что ∃x=φ(v), y=φ(u), тогдаφ^-1(ax+by)=φ(a*φ(v)+b*φ(u))=φ^-1(φ(a*v+b*u))= av+bu=a*φ^-1(x)+b*φ^-1(y), что итребовалось.5)Dim(V)=n и существует изоморфизм φ:V→U => dim(U)=n.Определение 3.11Пусть f: V → W, g: U → V — отображенияОтображение (g o f) U → W называется суперпозицией отображений f и gСуперпозиция линейных отображений — линейное отображениеСуперпозиция изоморфизмов — изоморфизм.Вообще говоря, доказательство того что некоторые структуры изоморфны заключается вустановлении существования линейного и биективного и корректно заданного отображения(Функционального отношения (см.
конспекты по Дискретной математике)).Лемма 3.7 (Изоморфизм V и F^n)Пусть V — в.п. над F, dim V=n. Тогда V изоморфно F^n.Доказательство:Пусть f: V → F^n. Покажем что отображение биективно и линейно.Пусть e1...en — Базис V. Тогда пусть f отображает v= a1e1+a2e2+..+anen в [a1,a2..an].Заметим что ввиду единственности разложения v по базису наше отображение определенокорректно.Также заметим что оно инъективно (пусть f(v1)=f(v2) [a11,a21...an1]=[a12,a22,...an2] но тогдаa11e1+...an1en=a12e1+...an2en => v1=v2.Теперь докажем сюръективность: Пусть [a1,a2...an]∈F^n. Тогда в линейной оболочке V ∃v=a1*v1+...an*vnНо тогда ∃ v: f(v)=[a1...an]. Следовательно f — сюръективно.Теперь докажем линейность отображения.
Для этого покажем что ∀v1,v2 ∈V, a,b ∈Ff(a*v1+b*v2)=a(f(v1))+b(f(v2)). Левая часть представляет собой [a*a1+b*b1,a*a2+b*b2,…,a*an+b*bn], но поправилам сложения и умножения на скаляр матриц (и векторов) мы можем представить это ввиде a[a1,a2,...an]+b[b1,b2..,bn], т. е. В виде правой части равенства.Линейность установлена => Лемма доказана.Теорема 3.3 (Изоморфизм в.п.
одной размерности)Пусть V и U — конечномерные в.п. и dim V=dim U=n => V изоморфно U.Доказательство:По Лемме 3.6 V изоморфно F^n=> ∃τ: V → F^n. Но по свойствам линейных отображений τ^-1 —изоморфизм. Но U также изоморфно F^n =>∃φ: U → F^n. Но по свойствам линейныхотображений φ o τ^-1 — также изоморфизм. ЧтдСумма и пересечение подпространств.Определение 3.12Пусть V — в.п. над полем FU1, U2 — подпространства V.Тогда U1⋂U2:={u|u∈U1 ^ u∈U2} — пересечение подпространств.А U1+U2:={v∈V|v=u1+u2, u1∈U1, u2∈U2}Предложение 3.5U1⋂U2 и U1+U2 — подпространства V.Доказательство:По лемме 3.1 Докажем что если u1,u2 ∈ U1⋂U2 то a*u1+b*u2 ∈ U1⋂U2.Если u∈ U1⋂U2 то его можно представить как a1u11+a2u12...+anu1n=b1u21+...bnu2nНо тогда au1+bu2=a*( a1*u11+a2*u12...+an*u1n)+b*(a1`*u11`+..an`*u1n`)= a*(b1*u21+...bn*u2n)+b*(b1`*u21`+..bn`*u21`), т.е.
Также выражается векторами из U1 и U2 => au1+bu2∈ U1⋂U2Аналогично a*v1+b*v2=a*(u1+u2)+b*(u1`+u2`)=a*u1+b*u1`(∈ U1)+a*u2+b*u2`(∈U2).ЗамечаниеU1∪U2 не является, вообще говоря, подпространством.Простейшие свойства суммы и пересечения подпространств:U1,U2,U3 — подпространства V.
Тогда1)(U1⋂U2)⋂U3=U1⋂(U2⋂U3) (Доказывается аналогично этому же утверждению для множеств)2)(U1+U2)+U3=U1+(U2+U3) (Верно ввиду ассоциативности сложения в.п.)3)U1⋂U2 =U2⋂U1 (Доказывается аналогично этому же утверждению для множеств)4)U1+U2=U2+U1 (Верно ввиду коммутативности сложения в.п.)5)U1⋂U1=U1 (Доказывается аналогично этому же утверждению для множеств)6)U1+U1=U1 (u+u=2u ∈U1)7) U1⋂{0}={0} (Нулевой вектор лежит в каждом подпространстве, U1⋂U2 — подпространствопо предложению 3.5)8)U1+{0}=U1 (u+0=u)9) U1⋂V=U1 (Док. Аналогично этому же для множеств)10)U1+V=V (u1+v1∈V (u1∈V, т.к. U⊊V))11)U1⊊U2 <=> U1⋂U2=U1 (Док. Аналогично этому же для множеств)12) U1⊊U2 <=> U1+U2=U1 (u1+u2∈U2 (u1∈U2 т.к.
U1⊊U2))ЗамечаниеСовокупность этих свойств означает что Множество всех подпространств V образует решеткуотносительно операций + и ⋂.Определение 3.13Пусть V — в.п. над полем FU1,U2..Un ⊊ V.Сумма U1+U2+...+Un называется прямой еслиUk⋂(U1+...Uk-1+Uk+1+...+Un)={0} (Подпространства не пересекаются нигде, кроме нулевоговектора).Если сумма Uk — прямая, то обозначаютU1⊕U2...⊕Un=⊕(k=1 to n) UkПредложение 3.6Пусть V — в.п. над полем F.
U1,U2..Un ⊊ V. И U=U1+U2..+UnТогда следующие утверждения эквивалентны:1)U=⊕(k=1 to n) Uk2)Для любого u∈U существует Единственный набор uk∈Uk k=1,…,n:u=u1+...+un3)Если u1+...+un=0 для uk∈Uk то u1=u2=..=un=0Доказательство:1→ 2Существование набора выполняется по определению суммы.Пусть сущ. два различных набораv1+v2+...vk=u1+u2+...uk, v1,u1∈U1; v2,u2∈U2; v3,u3∈U3,…, vk,uk∈UkТогда v1-u1(∈U1)=(u2-v2)(∈U2)+...(uk-vk)(∈Uk). Но т.к. сумма прямая, то (v1-u1)∈U1 непредставимо в виде линейной комбинации U2+...UkСледовательно v1-u1=0 и v1=u1, и т.к.
на место 1 можно подставить любое n, то разложениясовпадают.2→ 3Заметим что если все элементы действительно равны нулю, то и их сумма равна нулю, но т. к.разложение единственно, то иных комбинаций кроме u1=u2=...=uk=0 не существует.3→ 1Пусть сумма непрямая Uk⋂(U1+...U(k-1)+U(k+1)+...+Un)≠{0}Тогда ∃v:v∈Uk, v=uk.v∈U1+U2+...U(k-1)+U(k+1)+...Un => v=u1+u2+...un => u1+u2+...un-uk=0 => u1=u2...=uk=un=0.Но таким образом мы получаем что Uk⋂(U1+...Uk-1+Uk+1+...+Un)={0}. ПротиворечиеТеорема 3.4 (О связи размерностей суммы и пересечения)Пусть U1,U2 ⊊ в.п.
V над полем FТогда dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1⋂U2)Доказательство:Пусть c1..ck — Базис U1⋂U2. По лемме 3.5. мы можем дополнить c1..ck до базиса U1. Получимc1...ck,a1,...ar— Базис U1. Аналогично получим c1...ck, b1...bs — базис U2.Теперь докажем, что a1...ar,c1..ck,b1..bs — базис U1+U2 (Доказав это мы получим что еслиdim(U1)=r+k, dim(U2)=k+s то dim(U1+U2)=r+k+s.)Предположим что это набор линейно зависим.В таком случае ∃ α1*a1+α2*a2+..αr*ar+β1*b1+...βs*bs+γ1*c1+...γk*ck=0, причем один изкоэффицентов не равен 0.Заметим однако что α1*a1+α2*a2+..αr*ar+ γ1*c1+...γk*ck=- β1*b1-...-βs*bs. Но так как леваячасть равенства ∈U1 а правая ∈U2 то обе части равенства ∈ U1⋂U2. Пусть x= -β1*b1-...-βs*bs.т.к.
x∈ U1⋂U2, То x= γ1`*c1+...γk`*ck. Следовательно γ1`*c1+...γk`*ck+ β1*b1+...βs*bs=0. Нот.к. эти вектора формируют базис U2, то они линейно независимы и γ1`=...=γn`=β1=...βs=0 =>x=0Т.к. a1...ar, c1..ck — базис U1, они линейно независимы, но т. к. α1a1+α2a2+..αrar+γ1*c1+...γk*ck=x=0 то α1=...=αr=γ1=...=γk.
Получаем что исходная комбинация тривиальна, ноэто противоречит условию. Значит набор линейно независим.Теперь докажем что L(a1...ar,c1..ck,b1..bs)=U1+U2u1= α1*a1+α2*a2+..αr*ar+ γ1*c1+...γk*cku2= β1*b1+...βs*bs+γ1*`c1+...γk`*cku1+u2= α1*a1+α2*a2+..αr*ar+β1*b1+...βs*bs+ (γ1+γ1`)*c1+...(γk+γk`)*ck ∈L(a1...ar,c1..ck,b1..bs)Следовательно исходный набор независим и его оболочка совпадает с пространством U1+U2.Теперь так как dim(U1)=r+k, dim(U2)k+s, а dim(U1+U2)=r+k+s=dim(U1)+dim(U2)-ss= dim(U1⋂U2)Что и требовалосьСледствие 3.4.1Пусть U1,..Un — конечномерные подпространства в.п. V над полем F.U=U1...+UnТогда1)dim U<= Sum(k=1 to n) Uk2)U = ⊕ (k=1 to n) Uk <=> dim U =Sum(k=1 to n) UkОпределение 3.14Пусть φ: V → W — линейное отображение векторных пространств.Ядром отображения φ называется множество Ker( φ):={v∈V| φ(v)=0}⊊VОбразом отображения φ называется множество Im( φ):={ φ(v)| v∈V}⊊WЗамечание:Чем меньше мощность ядра, тем ближе отображение к инъекции.Чем больше мощность образа, тем ближе отображение к сюръекции.Теорема 3.5 (О Ядре и образе)Пусть φ: V → W — линейное отображение векторных пространств, тогда:Ker( φ) — подпространство VIm( φ) — подпространство WДоказательство:По лемме 3.1 докажем что оба множества являются подпространствамиДля Ker:Пусть u,v ∈ Ker, Проверим что φ(au+bv)=0φ(au+bv)=aφ(u)+b(φ(v))=0+0=0Для Im: u,v ∈ Im(φ).
Докажем что au+bv ∈Im(φ). Но по определению u=φ(x), v=φ(y). Тогдазаметим, что φ(ax+by)∈Im(φ) (по определению Im(φ)). Но φ(ax+by)=aφ(x)+bφ(y)=au+bv ч.т.д.Фактор-пространствоОпределение 3.15Пусть V — в.п. над полем FU — подпространство в V.Смежным классом называется вектора v∈V по подпространству U называется {v+u|u∈U}Множество всех смежных классов обозначим V/U:={v+U|v∈V}Любые смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются.x∈v1+U⋂v2+U => x=v1+u1=v2+u2 Но тогда v1-v2=u2-u1=u∈UИз этого мы можем вывести следующее:Утверждение:v1~v2 <=> v1-v2∈U, где ~ - отношение эквивалентности.Предложение 3.7V/U является в.п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
