1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

АлгебраТема 1:Комплексные числаОпределение комплексных чисел:(a,b) — По Декартуa+bi — алгебраическая форма, где i^2=-1r*(cos(p)+i*(sin(p)) — тригонометрическая форма, здесь r =a^2+b^2 (модуль числа), p — уголмежду осью oX и числом, r>0, 0<=p<2pi cos(p)=a/a^2+b^2Операции над комплексными числамиСложение: (a,b)+(c,d) → (a+c)+(b+d)iУмножение: (a,b)*(c,d)=ac-bd+(ad+bc)iДеление:(a,b)/(c,d)=((a+bi)*(c-di))/c^2+d^2Теорема 1.1 (О произведении комплексных чисел):Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме = модули перемножаются,аргументы складываютсяДоказательство:r(cos(p)+i(sin(p))*w(cos(g)+i*sin(g))=zw(cos(p)cos(g)-sin(g)sin(p)+i(cos(p)sin(g)+cos(g)(sin(p))=zw(cos(p+g)+i(sin(p+g))Следствие 1.1.1 модуль z^-1=1/zarg(z^-1)=0 если arg(z)=0 и 2pi-p в противном случаеСледствие 1.1.2 (Формула Муавра)z^n=r^n(cos(np)+i*sin(np))Следствие из Формулы Муавраz^1/n=r^1/n(cos(p+2pi*k/n)+i(sin(p+2pi*k/n)) имеет n решений.(Поскольку cos(p)=cos(p+2pi*k) то cos(np)=cos(n*(p+2pi*k), но ввиду того что при делении на nможно получить n различных остатков мы получим n различных решений, поскольку далее онибудут совпадать).(Геометрически корни n степени из комплексного числа формируют правильный n-угольник наокружности радиуса r)Комплексное сопряженные числа: z=a+bi; ẑ=a-biОсновная теорема алгебры:Уравнение n степени имеет n решений в комплексных числах.Примеры: Найти cos 2pi/5, посчитав корень 5 степени из 1Заметим что сумма всех корней 5 степени представляется по углу как 0, x, 2x, 3x, 4x… Такжезаметим что cos(5x)=cos(0)=1 Тогда представим их сумму как 1+x+x^2+x^3+x^4=SНо если мы домножим на x (повернем на угол x) то мы получим то же самое так как x^5 =1.Из этого заключаем что S=0Таким образом можно получить что 1+x+x^2+x^3+x^4=0Но так как x...x^4 — комплексные числа, то они сопряженны друг другу.

Иными словамиx^2=x^3 и x=x^4 тогда пусть x=cos(2pi/5), y=cos(4pi/5)=x^2 но так-как y=2x^2-1 то получимквадратное уравнение относительно x: 2x+2(2x^2-1)+1=0 которое очевидно легко решается.Представить cos(nx) или sin(nx) в виде комбинации sin(x) и cos(x)Заметим что cos(nx) это ничто иное как Re[r^n(cos(nx)+i(sin(nx)], а sin — мнимая часть этого жевыражения, для удобства взяв r=1 можно раскрыть скобки и выделить действительную(мнимую) часть.Тема 2:Начало алгебры матрицОпределение 2.1Пусть F — непустое множество.Тогда Матрица размера mxn — прямоугольная таблица, состоящая из элементов F.M m,n (F) — множество всех матриц размера mxn надо полем FОперации сложения и умножения на скаляр действуют поэлементно.Умножение матриц происходит по принципу «Строка на столбец»Определение 2.2Транспонирование матриц Аt — строки и столбцы меняются местами.Свойства транспонирования:1)Att=A2) (A+B)t=At+Bt3)(aAt)=a(At)Определение 2.3Символ Кронекера (обозначается δ) на элементе с индексами i,j=1 если i=j и 0 если i≠jОпределение 2.4e(i,j) — Матрица в которой на месте i,j стоит единица, в остальных местах стоит 0.Матричные единицы ≠ Единичные матрицыТеорема 2.1 (О единичных матрицах и символе Кронекера):e(i,j)*e(k,p)=δ(j,k)*e(i,p)Доказательство:Заметим, что перемножая матрицы в левой части равенства мы однозначно получим нули везде,кроме (возможно) случая умножения i-ой строки на p-ый столбец.

Однако, ввиду определенияумножения матриц нам нужно чтобы j совпадало с k (так как в противном случае мы будемумножать на 0) таким образом мы будем иметь 0 если j≠k и e(i,p) в противном случае. Но именноэто и выражается равенством вышеюСледствие 2.1:Пусть А - матрицаe(i,j)*A — Ряд j матрицы А будет находиться на i ряду.Определение 2.5Элементарные преобразования матриц:Элементарным преобразованием называется умножение на т.н элементарные матрицы:I типа: перестановка строк местами (S(i,j))II Типа: трансвекция (прибавление к i строке j строки умноженной на а) (Tij(a))Определение 2.6 Ступенчатый вид матриц — матрица такого вида, что в т. н.

Ступенькахстоят ненулевые числа, а под ступеньками — нулиФормально: Матрица mxn называется ступенчатой если существуют такие целые числа r,k1,k2..kr1)1<=r<=m2)1<=k1<k2<...<kr<=n3)если i>r то при всех j c(i,j)=04)если i<=r то c(i,j)=0 для j<ki но при c(i,kj)≠0Пример:[3,4,50270 0 6] — cтупенчатая матрицаТеорема 2.2 (О приведении к ступенчатому виду)Любая матрица может быть приведена к ступенчатому виду преобразованиями I и II типаДоказательство:Докажем это утверждение методом математической индукции: по m — количеству строк вматрице MПри m = 1 матрица уже в ступенчатом виде.Пусть утверждение верно для m-1Докажем для m:Если в М есть хоть одна полностью нулевая строка с индексом i то с помощью S(i,m) перенесемее в самый низ.

По предположению индукции мы можем привести оставшуюся матрицу кступенчатому виду.Пусть тогда ни одна строка нулевой не является. Тогда в каждой строке выберем самый левыйненулевой элемент.Потом выберем самый минимальный из них, обозначим строку в которой он находится i. Затемприменяя преобразование I типа поставим i строку на первое место..

Обозначим полученнуюматрицу M`. Затем для каждой строки с 2 по n-ую выполним следующее: превратим в нули спомощью преобразований второго типа от всех элементов под j элементом (самым левымэлементом 1 строки). Если k=n, то алгоритм завершился (k — последняя строка). Иначерассмотрим матрицу (m-1)x(n-k) и мы можем, по предположению индукции привести ее кступенчатому виду.Так или иначе получаем, что исходная матрица приведена к ступенчатому видуСледствие 2.2:Для любой ненулевой матрицы А найдутся такие элементарные матрицы T1,T2...Tk иступенчатая матрица C, что A=T1*T2*T3...*Tk*CДоказательство:Так как умножение на элементарную матрицу слева это элементарное преобразование строк.Таким образом цепочка элементарных матриц: последовательное умножение на элементарныематрицы. По Теореме 2.2 T`*T1`*T2`...T`n*A=CТеперь докажем следующую лемму:Лемма 2.1 (О обратимости элементарных матриц)Любая элементарная матрица обратимаДоказательство:Заметим что S(i,j)*S(i,j)=E (Мы просто поменяли исходные строки местами двараза)Также Tij(a)*Tij(-a)=E (Прибавляем и отнимаем одну и ту же строчку умноженнуюна одну и ту же строчку).Таким образом мы получаем требуемое утверждение.Таким образом последовательно умножая обе части выражения на обратные матрицы T1..Tk мыполучаем требуемое условие (при умножении обратные матрицы слева уничтожаются, справа жеостаются)Теорема 2.3 (О приведении к диагональной матрице)Любая ненулевая матрица А может быть приведена к виду T1*T2..Tn*D*R1...Rkгде D — диагональная матрица, T1...Tk — элем.

п. строк, R1..Rk — элем. п. СтолбцовДоказательство:По теореме 2.2 мы знаем что можем привести любую ненулевую матрицу к ступенчатому виду,получив матрицу С.Переставим столбцы таким образом, чтобы на главной диагонали оказались ненулевыеэлементы, над ними произвольные числа, а под ними — нули.Затем транспонируем матрицу (главная диагональ не изменится, а элементы находившиеся надней перейдут вниз). Приводим получившуюся C` к ступенчатому виду, тем самым получаяматрицу Dt.Имеем что для некоторых P`*P2`..Pn`*Ct=DtТранспонируя получаем С*P`t*P2`t*..Pn`t=DНо по Теореме 2.2 T1`*T2`*..Tn`*A=CТаким образом получаем что T1`*T2`*..Tn`*A*P`t*..P`n=DИ обратив матрицы (по лемме 2.1) Получаем что A=T1*T2..*TnD*R1..Rnб что и требовалосьдоказать.Следствие 2.3:Любая ненулевая матрица может быть представлена в виде T*D*R где T и R — произведениеэлементарных матриц T1,T2..Tn и R1,R2..Rn соответственно и T и R обратимы.Доказательство:Поскольку каждая матрица составляющая T и R обратима (по лемме 2.1) то и Матрицы T и Rобратимы (Для них можно попросту подобрать матрицы вида T`n*..T`1 и R`n*..R`1, где G`i —обратная к матрице Gn).Систему линейных уравнений с помощью представлений матриц Можно представить в видеAX=B где А — матрица коэффицентов, X — вектор переменных, а B — вектор свободныхкоэффицентов.Метод Гаусса: Последовательное исключение переменных для сведения матрицы к матрицетреугольного вида, из которой затем выражаются решения:Матрица треугольного вида: (a(1,1)*x1+a(1,2)x2+a(1,3)x3..+a(1,n)xn=b1a(2,2)x2+a(2,3)x3+..a(2,n)xn=b2…a(n,m)xn=bn)Notes:1)Любую строку можно умножить на какое то число.2)В с.л.у.

в целом нельзя применять преобразования со столбцами (можно, но редко имеетсмысл).После приведения к ступенчатому виду можно (и нужно) выразить переменные через другиепеременныеПример:Тема 3Векторные пространства (а также линейные отображения и матрицы)Определение 3.1Пусть F — произвольное поле.

Непустое множество V, на котором заданы операции сложения иумножения на элементы поля F и удовлетворяющее заданным аксиомам называется Векторнымпространством над полем F.(Элементы V называются векторами, а F - скалярами)Аксиомы Векторного пространства:1)Относительно сложения V — абелева группа.2)умножение на скаляр дистрибутивно.3)умножение на скаляр ассоциативно.4)умножение на «единицу» поля по умножению дает тот же элемент V.Простейшие свойства векторного пространства:1)Нулевой вектор единственен.2)Для любого u из V есть противоположный -u.3)-(-v)=v для любого v из V4)a*0=0 a из F5)0*v=0 0 из F v из V6)если a*v=0 и а из F v из V то либо а=0 либо v = 07)(-1)v=-v v из V8)-(av)=-av для а из F и v из V(Доказываются почти аналогично подобным свойствам полей (См.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)