1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (824182), страница 11
Текст из файла (страница 11)
M={a1...an} — подмножество R. Тогда(M)={a1x1+...+anxn|xi∈R}.Доказательство:Пусть {a1x1+...+anxn|xi∈R}=IДокажем, включение вправо (то есть что идеал, порожденный M содержится в этом множестве)Покажем, для начала что I является идеалом:Заметим что a1x1+...+anxn-a1y1-...-anyn ввиду коммутативности равно a1(x1-y1)+...an(xn-yn)∈I.Также заметим, что c*(a1x1+...anxn) ввиду дистрибутивности и коммутативности равноa1cx1+...ancxn, что и требовалось.Покажем, что I содержит M: Заметим что a1*0+...a(i-1)*0+ai*1+...an*0∈I => ai∈I, что итребовалось.Теперь докажем включение влево:Заметим, что поскольку (M) идеал, порожденный M он содержит в себе М.
В таком случае поопределению идеала x∈R => ai*x∈(M). Но ai*x+aj*x∈(M) так как (M) содержит в себе всесуммы своих элементов, но тогда a1x1+...+anxn∈(M), что и требовалось.Определение 4.29В частности если M={a}, то идеал (a)={ax|x∈R} называется главным.Кольцо, в котором все идеалы главные называется кольцом главных идеалов.ПримерЯдро гомоморфизма φ колец R → S — Идеал в R.ДоказательствоПусть a∈Ker(φ) x∈R, φ(x*a)=φ(x)*φ(a)=0*φ(x)=0 => ax∈Ker(φ)a,b ∈Ker(φ), φ(a-b)=φ(a)+φ(-b)=φ(a)-φ(b)=0-0=0 => a-b∈Ker(φ)Теорема 4.10Любой идеал кольца целых чисел имеет вид I=nZ={nq|q∈Z}, для некоторого неотрицательногоцелого n.Доказательство:То что nZ является идеалом проверить нетрудно.
Докажем, что других нет.Предположим противное: Пусть существует идеал I, не имеющий вид nZ. Тогда рассмотрим егоподмножество I+:={i∈I|i>0}, заметим что I+ - подмножество натуральных чисел, и как следствиесодержит мниимальный элемент, пусть он будет n. Исходя из нашего предположения существуетx∈I, который не делится на n.
Тогда x=nq+r, 0<r<n. Тогда r=x-nq, но x∈I, nq∈I (по определениюидеала) но тогда r∈I, но тогда имеем в I положительный элемент меньший n, специально взятогонаименьшего элемента. ПротиворечиеИз этой теоремы, в частности следует, что Z — кольцо главных идеалов.Определение 4.30<R;+;*> - кольцо.Всякий идеал I◀R является подгруппой в абелевой группе <R;+>Рассмотрим соответствующую фактор группу R/I={a+I|a∈R}, a+I:={a+u|u∈I}, и определим наней операцию умножения (a+I)(b+I)=ab+IПроверим корректность этой операции:a+I=a1+I => a-a1∈Ib+I=b1+I => b-b1∈IДокажем что ab-a1b1∈I:ab-a1b+a1b-a1b1=b(a-a1)+a1(b-b1) => ab-a1b1∈I.Очевидно, что <R/I;+;*> - кольцо (аксиомы выполнены на представителях). Это кольцоназывается фактор-кольцом кольца R по идеалу Ι.Отображение τ: R → R/I, заданное правилом τ(a)=a+I, a∈R — гомоморфизм колец(естественный гомоморфизм)Ker τ =Ι;Если R — коммутативное кольцо, то R/I коммутативноЕсли R — кольцо с единицей то R/I — тоже кольцо с единицей.В частности любой идеал является ядром некоторого гомоморфизма.Теорема 4.11 (О гомоморфизмах колец)Пусть R, S — кольца, φ: R → S — гомоморфизм колец.
Тогда подкольцо S φ(R) изоморфнофактор кольцу R/Ker φ.Доказательство:Искомым изоморфизмом является ψ: a+Ker(φ) → φ(a), a∈RНужно доказать его корректность, биективность и линейность.Докажем корректность:a+Ker(φ)=b+Ker(φ)Тогда докажем что φ(a)=φ(b) но тогда a-b=c∈Ker(φ)a=b+c φ(a)=φ(b+c)=φ(b)+φ(c)=φ(b), что и требовалосьДокажем биективность:Докажем инъективность:Пусть ψ(a+Ker(φ))=ψ(b+Ker(φ)) φ(a)=φ(b) φ(a-b)=0 => a-b∈Ker(φ) => a+Ker(φ)=b+Ker(φ)Теперь докажем сюръективность:Заметим что для любого φ(a) можно сопоставить a+Ker(φ).Осталось лишь доказать линейность:ψ(a+b+Ker(φ))=ψ(a+Ker(φ))+ψ(b+Ker(φ))=φ(a+b)=φ(a)+φ(b)=φ(a+b), что и требовалось.Таким образом теорема доказана.Определение 4.31Пусть R — кольцо. Собственный идеал (идеал не совпадающий с R) I кольца R называетсямаксимальным, если I⊊J◀R → I=J или J=R (нет больших собственных идеалов)ПримерВ кольце Z I = (n)⊊(m)=J <=> m делит n.
Поэтому (n)=nZ — максимальный идеал <=> n —простое.Доказательство:Докажем для начала первое утверждение:<=Заметим что если m делит n то n=mj j∈Z. Но в таком случае для любого целого k nk=mj*k∈mZ,то есть nk∈nZ → nk ∈mZ.=>В этом случае nk=mj, k,j∈Z. Предположим противное: пусть m не делит n. Тогда n=mt+r возьмемk=mq+1 для некоторого q .
Заметим что nk=m(tq)+r то есть nk не делится на m, но так как поопределению представимо в виде mj то оно делится на m, получаем противоречие.Теперь докажем второе утверждение=>Предположим противное, пусть n — составное. Тогда существует m≠1≠n ,которое делит n. Но поранее доказанному (n)⊊(m) и n — не максимальный идеал. Получаем противоречие<=Заметим что если n — простое то его делит только 1 и само n, но (1)=Z, а (n)=(n), то есть поранее доказанному можно заметить что если (n) — подмножество некоторого идеала J, то J=(n)или J=Z, что и требовалось.Теорема 4.12Идеал I коммутативного кольца с единицей R - максимальный <=> R/I — поле.Доказательство:=>Пусть I — максимальный идеал, и a+I≠0 — элемент R\I.
Поскольку R\I — фактор кольцо (все егоаксиомы выполнены представителями, и в нем существуют нейтральные элементы по сложениюи умножению), то нам всего лишь достаточно доказать что a^(-1)+I∈R\I.Рассмотрим тогда идеал J=(a,I)={ra+i|r∈R, i∈I}, очевидно лежащий в R\I. Нетрудно заметить,что I⊊J◀R и при этом I≠J, так как при ra≠0 ra+i не лежит в I. В таком случае, так как Iмаксимальный J=R и как следствие 1∈J (в J лежит нейтральный элемент по умножению). Тогда1=ra+i=(ra+0)+ (0+i)=ra+0= r+0*a+0 => (r+0)*(a+0)=1 => r=a^(-1), что и требовалось.<=Пусть R\I — поле. Предположим противное: Ι — не максимальный идеал => Ι⊊J◀R, J≠R, J≠I. (Jиз прошлого пункта).Пусть a∈J, a∉I. Тогда a≠0 (a∉I).
Пусть b=a^(-1) (он существует так как R/I — поле. Поопределению обратного a*b=1 => a*b-1=i∈I => a*b-i=1 => 1∈J следовательно по определениюидеала r∈R => r*1∈J, но тогда r∈R => r∈J и J=R, получаем противоречие.Такого вида поле называется полем вычетов кольца R по модулю максимального идеала Ι.Следствие 4.12Кольцо вычетов по модулю Zn является полем <=> n — простое.Доказательство:=>Предположим противное: пусть n - составное и Zn — поле.
Тогда в нем содержатся делителинуля, но так как поле — коммутативное кольцо с делением, то получаем противоречие.<=Пусть n — простое, тогда возьмем элемент a0≢0∈Zn и рассмотрим множество егопроизведений со всеми другими элементами Zn: a0*a0; a0*a1…a0*a(n-1).
Поскольку каждыйрезультат этих произведений ∈Zn и никакие два из них не совпадают (иначе если бы ka=la, то kl(a)=0, но ни k-l ни а не делят n так как оно простое), то среди этих n произведений есть всеэлементы Zn, в частности 1, то есть а0 обратим и Zn — поле (все аксиомы, требуемые для этоговыполняются по определению Zn).Определение 4.30Пусть R — коммутативная область целостности. Поле F называется полем частных кольца R,если• существует инъективный гомоморфизм колец f: R → F (R изоморфно подкольцу поля F).• любой элемент a∈F может быть представлен в виде f(a)f(b)^(-1), где a,b∈R, b≠0.Например Q — поле частных кольца Z.Конструкция поля частных:R — коммутативная область целостности;R* - R\{0}A= RxR*Введем бинарное отношение ≡ на А: (a,b) ≡ (c,d) <=> ad=bcУтверждениеОтношение ≡ является отношением эквивалентности:Доказательство:Очевидно выполняется рефлексивность: ab=ba (ввиду коммутативности R)симметричность также выполняется: ad=bc=cb=da (ввиду коммутативности)Транзитивность имеет вид (a,b) ≡ (c,d) ^ (c,d)≡(f,e) → (a,b)≡(f,e), то есть из ad=bc и ce= dfполучить ae=bf.
Заметим что aed=bfd, но по коммутативности aed=ade, bfd=bdf и получаемbce=bce, таким образом верна и транзитивность.Теперь рассмотрим разбиение А на классы по отношению ≡:Q(R)={(a,b)`|(a,b)∈A}, (a,b)`={(x,y)∈A|(x,y)≡(a,b)}На множестве Q(R) определим алгебраические операции +,-,*:(a,b)`+(c,d)`=(ad+bc,bd)`-(a,b)`≡(-a,b)`((a,b)(c,d))`=(ac,bd)`УтверждениеВсе три операции определены корректноДоказательство:1)Докажем что если (a,b)`=(a1,b1)`, (c,d)`=(c1,d1)` то (a,b)`+(c,d)`=(a1,b1)`+(c1,d1)` или инымисловами (ad+bc,bd)`=(a1d1+b1c1,b1d1) ` то есть (ad+bc)b1d1=(a1d1+b1c1)(bd) (остальныеэквивалентности следуют из транзитивности). Но заметим что здесь достаточно перемножитьскобки и воспользоваться тем фактом что ab1=a1b и cd1=c1d.2)Покажем что3)Теорема 4.13 (О минимальности поля частных)Пусть (R;+;*) - коммутативная область целостности, F — поле.
Если R изоморфно некоторомуподкольцу поля F, то Q(R) изоморфно некоторому подполю поля F.Доказательство:Пусть R изоморфно некоторому подкольцу F RF и ввиду того что изоморфные объекты салгебраической точки зрения неразличимы можно считать что R и есть подкольцо F. Рассмотрим(S;+;*), S={a/b|a∈R, b∈R*} (S-поле, а в поле такая запись корректна). Заметим что S содержиткак свое подкольцо R (можно построить отображение r → r/1) и S является подгруппой F посложению ((a/b-c/d)=ad-bc/bd, ad-bc∈R, bd∈R*, а поскольку в R нет делителей нуля то b,d≠0) ипо умножению(c≠0, (a/b*(c/d)^(-1)=a/b:c/d=ad/bc∈S), то есть S является подполем F(коммутативность верна таккак операции являются коммутативными в подкольце, и как следствие во всем поле).Теперь осталось доказать что Q(R) изоморфно S.Заметим, что хорошим кандидатом будет отображение φ:(a,b)` → a/b.Докажем его корректность : (a,b)`=(a1,b1)` => a/b=a1/b1 заметим что в таком случае ab1=a1b, ноэто же можно получить рассмотрев но в таком случае заметим что a*b^(-1)=a1*b1^(-1)(домножаем обе части равенства на b^(-1)b1^(-1)), но это в точности и есть a/b=a1/b1, что итребовалось.Теперь докажем биективность:сюръективность очевидна поскольку вообще говоря все элементы Q(R) и S имеют вид RxR*,следовательно каждой паре a,b ∈ Q(R) сопоставляется она же S.Докажем инъективность:Пусть φ((a1,b1)`)=φ((a,b)`) то есть a1/b1=a/b, но тогда a1b=ab1 и как следствие (a,b)≡(a1,b1) =>(a,b)`=(a1,b1)`, что и требовалось.Теперь осталось только доказать линейность:φ((a1,b1)`+(a2,b2)`)=φ((a1,b1)`)+φ((a2,b2)`) =a1b2+a2b1/b1b2, что и требовалось.Следствие 4.13Поле частных для любой области целостности единственно с точностью до изоморфизма.В качестве примеров можно взять поле рациональных функций над F от переменной x.F — поле R=F[x] — кольцо многочленов, тогда Q(F[x})=F(x), F(x) ={f/g| f,g ∈ F[x], g ≠0}f/g=(f,g)`Другой пример же вынесем отдельноПримерПоле рядов Лорана над F от переменной xR=F[[x]] — кольцо степенных рядов (область целостности), Q(F[[x]])=F((x))УтверждениеДля любых f,g∈F[[x]], g≠0 найдутся такие h(x)∈F[[x]], m≥0 такие, что (f,g)`=(h,x^m)`Доказательство:Определение 4.31Поле не содержащее собственных подколец, являющихся полями (подполей), называетсяпростым полем.Например поле Q — простое, поскольку если F — подполе Q, то 1∈F → 1+1+1...+1∈F → N⊊F,Z⊊F => Q=F (q=nm^-1)Также простым является поле Zp, поскольку если F — подполе Q, то 1∈F → 1+1...+1=n∈F длявсех n∈{1,...p-1}, но p-1+1=0∈F → F=ZpТеорема 4.14 (О простом подполе)1)Пусть F — простое поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
