mekhanikaiichast (822398), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. (14)

Сместим груз из положения равновесия вниз на расстояние, равное х. Если при этом удлинение пружины не слишком велико, и будет выполняться закон Гука, то проекция результирующей силы, действующей на груз, находящийся в этом положении, будет равна:

Или с учетом соотношения (14)

Знак «минус» указывает на то, что смещение и сила имеют противоположные направления. Сравнивая эту формулу с выражением (1) для квазиупругой силы видим, что для данного маятника коэффициент возвращающей силы равен коэффициенту жесткости пружины. Период и циклическая частота колебаний такого маятника рассчитываются по формулам (10) и (11), с учетом того, что коэффициент возвращающей силы равен в данном случае коэффициенту жесткости пружины .

Таким образом, период колебания тела, подвешенного на упругой пружине, зависит только от его массы и коэффициента жесткости пружины.

Все реальные свободные колебания затухают с течением времени в результате совершения работы системой, совершающей колебания, против внешних сил. Если промежуток времени велик (больше нескольких секунд), то существенным образом будет сказываться действие силы сопротивления среды (в нашей работе - воздуха) движению колеблющегося тела, и амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться. Такие колебания называются затухающими.

При действии силы сопротивления, к квазиупругой силе в правой части динамического уравнения (2) необходимо прибавить эту силу. При малых скоростях движения в первом приближении можно считать, что сила , вызывающая затухание колебаний, пропорциональна величине скорости (гидродинамическое трение). Проекция ее на направление движения колеблющегося тела (ось x) имеет вид

Знак «минус» указывает, что сила сопротивления направлена против скорости движения, а величина представляет собой коэффициент сопротивления (трения) среды.

С учетом силы сопротивления уравнение (2) примет вид

(15)

Разделив его на и введя обозначения

сведем его к виду

(16)

Это динамическое уравнение затухающих колебаний.

Если , то решением уравнения (15) будет функция

, (17)

где

В выражении (17) - циклическая частота затухающих колебаний, начальные амплитуда и фаза определяются из начальных условий. Амплитуда затухающих колебаний будет убывать по экспоненциальному закону

, (18)

где – амплитуда колебаний через промежуток времени , – начальная амплитуда, e - основание натуральных логарифмов, – коэффициент затухания.

Величину

называют периодом затухающих колебаний.

Отношение двух амплитуд, отстоящих на период, есть величина постоянная и называется декрементом затухания

(19)

Натуральный логарифм этого отношения называют логарифмическим декрементом затухания

(20)

Откуда и формулу (18) можно переписать в виде

, (21)

где - число колебаний совершаемых за время t.

Если за время амплитуда колебаний уменьшится в e раз ( ), то , а . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Амплитуды колебаний, отстоящие на один период, мало отличаются друг от друга, и поэтому для более точного определения коэффициента затухания обычно измеряют амплитуды, отстоящие друг от друга по времени на N периодов.

Равенство отношений (согласно (18))

позволяет записать:

Следовательно: (22)

Очевидно, чем больше N, тем точнее можно определить по формуле (22) показатель затухания.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА

ИЗМЕРЕНИЙ

Пружинный маятник состоит из цилиндрической спиральной пружины с подвешенным к ней грузом массой m (значение массы груза указано на штативе). Амплитуда колебаний груза измеряется по вертикальной шкале.

Задание 1

Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом.

Для определения коэффициента жесткости пружины статическим методом нужно измерить по шкале удлинение пружины при подвешивании к ней добавочного груза. Зная удлинение пружины и массу добавочного груза коэффициент жесткости пружины можно вычислить из формулы . Результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1.

Масса добавочного груза m, кг	0,05	0,10	0,15
х, м
g·m, кг·м/с2 (g=9,81 м/с2)
Н/м
Кср, Н/м
∆К, Н/м
∆Кср, Н/м

Окончательную запись произвести в виде:

Задание 2

Определение периода затухающих колебаний пружинного маятника Т.

1.Снять добавочные грузы.

2.Отвести груз на 3-4 см вертикально вниз и отпустить его, одновременно включив секундомер. Измерить время 10-ти полных колебаний маятника t. Провести 5 таких измерений. Измерения повторить еще 4 раза и полученные 5 значений занести в таблицу 2.

3.Рассчитать среднее значение времени десяти полных колебаний груза и найти абсолютную погрешность n-го измерения .

4. Найти среднее значение периода по формуле . Оценить относительную и абсолютную погрешности результата измерения периода колебаний по формулам

,

Таблица 2.

Окончательную запись произвести в виде:

Задание 3

Определение коэффициента затухания и логарифмического

декремента затухания .

1.Отвести груз на 3 см вертикально вниз от положения равновесия (А₀= 3см) и отпустить, одновременно включив секундомер.

2.Отсчитать 150 полных колебаний пружинного маятника и выключить секундомер. При этом по шкале измеряется амплитуда последнего (150-го) колебания А₁₅₀, когда груз движется вниз.

3.Измерения, указанные в пунктах 1 и 2, повторить еще два раза. Все данные занести в таблицу 3.

4.Рассчитать значения и по формулам

, .

взять из таблицы 2.

Таблица 3.

5.Найти относительные и абсолютные погрешности измерений и по формулам

,

,

, .

Полученные результаты записать в виде:

β =β_{с р} ±∆β_{с р}

δ =δ_{с р} ± ∆δ_{с р}

4. Произвести вычисление величин, указанных в задании. Результаты вычислений занести в таблицу 4.

Задание 4

1.Зная период затухающих колебаний пружинного маятника Т и массу подвешенного к пружине груза, вычислить, используя формулу (10), коэффициент жесткости пружины и сравнить его с полученным статическим методом.

2. Вычислить по полученным данным измерений и уравнению (7) фазу затухающих колебаний маятника и смещение груза через 3 с от начала отсчета времени ) .

3. Используя полученное значение коэффициента затухания, и зная массу груза m (она указана на штативе), определить коэффициент сопротивления r =2βm.

4. Вычислить энергию, рассеянную маятником за 150 колебаний

и выразить ее в процентах от его начальной энергии.

5. По времени, за которое было совершено 150 полных колебаний, вычислить период колебаний маятника и сравнить его с периодом затухающих колебаний маятника.

6. Вычислить относительную ошибку измерения, значения коэффициента жесткости пружины и коэффициента сопротивления.

Таблица 4.

Коэффи-циент жесткости пружины (Н/м)	Фаза затухания колебаний через t= 3 с, (рад )	Смещение груза х =А0cos · (ωt + φ0), через t= 3 c, при A0= 3 мм, м	Коэффициент сопротивления r=2mβ (кг/с)	Энергия, рассеянная маятником при 150 колебаниях		Период колебаний маятни-ка

Вопросы для «допуска»к работе №7:

1. Какова цель работы?

2. Что собой представляет вертикальный пружинный маятник?

Характеристики

Список файлов лабораторной работы