Meteorology - E.R. Rozendorn (811037), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Äëÿ V(14) ñïðàâåäëèâî Bh1 = H2 , Bh2 = H1 , Bh3 = H1 H2 , ïîýòîìódiv V~ = bw(H2 v1 ) + (H1 v2 ) + H1 H2=12zw=b(H2 v1 ) + (H1 v2 ) + :12zÏðèìåíÿÿ (12), ïîëó÷èì!21 X0 (v )0 + w :hZjj Z0 j =1zdiv V~ = b (H2 v1 )01 + (H1 v2 )02j(16)~ g = b (H2 v1 )01 + (H1 v2 )02 ãîðèçîíòàëüíóþ Îáîçíà÷èì ÷åðåç D fVäèâåðãåíöèþ. Åñëè w = 0, è åñëè v1 , v2 íå çàâèñÿò îò z (òîãäà îíè íå~ g = div V~ .çàâèñÿò è îò ), òî D fV 4.8.
Âñïîìîãàòåëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ1. Èç (15) èçâåñòíî, ÷òîZ0 < 0.Çíà÷èò!2Xdd1000000 dj + Z 00 _ ;ln jZ j = ln( Z ) = 0 Zt + ZdtdtZdtj =1jèëè!2Xd100 + Z 00 _ :ln jZ0 j = 0 Zt00 +hj vj ZdtZj =1j2. Íà îñíîâå ðàññóæäåíèé èç 4w w0==z Z0!2 X10000000000= 0 Zt + Z _ + Z (_ ) +Z hj vj + Z hj (vj ) =Zj =1j76j2d1 X0= (_ ) + 0Z0 hj (vj )0 + ln jZ0 j:Zdtj =1j3. Èç ïðåäûäóùåãî, à òàêæå èç (16) ñëåäóåòdiv V~ = D fV~ g + (_ )0 +4.
Íàêîíåö, íà îñíîâå (15)ln = ln pdln jZ0 j:dtln jZ0 j:g 4.9. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè â êîîðäèíàòàõÇàìåòèì, ÷òî2p(p )0t Xgdln= +dtgppj =1 0pgjhj vj :Ïîäñòàâèì òåïåðü âñå âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòèâèäàè ïîëó÷èìd(ln ) + div V~ = 0dtp(p )0t + p (_ )0 + gD f V~ g = 0:g(17)Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ðåçóëüòàò òî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ îðìóë áåç ½âûáðàñûâàíèÿ\ êàêèõëèáî âåëè÷èí. 4.10. Óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè â êîîðäèíàòàõp, p = onstp0 0(_)0 + D fV~ g = 0:àññóæäàÿ àíàëîãè÷íî äëÿg = onst ïîëó÷èì=â ñëó÷àå, êîãäàÒàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàò 1 , 2 ,åòñÿ äâèæóùàÿñÿ íåñæèìàåìàÿ ñïëîøíàÿ ñðåäà.77èìå- 4.11. ðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ_Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî z = Z (1 ; 2 ) óðîâåíü ðåëüåà ïëàíåòû, è, ñîîòâåòñòâåííî, = gZ . Ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ: ïóñòüâåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, àòàêæå òðàåêòîðèè âîçäóøíûõ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè óíêöèÿìè.Òîãäà ïîòðåáóåì, ÷òîáû _ = 0 íà ïîäñòèëàþùåé ïîâåðõíîñòè ( = 1) èíà âåðõíåé ãðàíèöå ( = 0). 4.12.
Óðàâíåíèå äëÿ pÏðîèíòåãðèðóåì (17) ïî îò 0 äî 1, ó÷èòûâàÿ, ÷òî p íå çàâèñèò îò ,(p )0t + gZ10Z1pD f V~ g d + p (_ )0 d = 0:g0 ñèëó óñòàíîâëåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå çàíóëèòñÿ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:gZ101D f V~ g d = D fV~ g ègïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè â óðàâíåíèè ïîëó÷èìZ1vj d = vj .Òîãäà0(ln p )0t + h1 v1 (ln p )01 + h2 v2 (ln p )02 + D fV~ g = 0:(18) 4.13. Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿÊàê èçâåñòíî, â óðàâíåíèè ñîñòîÿíèÿñòîÿííàÿRR = 0,ãäå ñðåäíÿÿp = RTèäåàëüíîãî ãàçà ïî-ìîëåêóëÿðíàÿ ìàññà ñìåñè.
Ïðèìå-ñè õàðàêòåðèçóþòñÿ íàáîðîì ïàðàìåòðîâ ~ = (1 ; : : : ; n ). Çäåñü j åñòüîòíîøåíèå ìàññû j é ïðèìåñè ê ìàññå âîçäóõà áåç ïðèìåñåé. Òîãäà âîáùåì ñëó÷àå = (p; T; ~ ). Âèðòóàëüíàÿ òåìïåðàòóðà, ñîãëàñíî I.6.11,îïðåäåëÿåòñÿ êàêTv =p;R(p; T; ~ )ãäå ïîñòîÿííàÿ R ñîîòâåòñòâóåò âîçäóõó áåç ïðèìåñåé. Åñëè óíêöèÿ(p; T; ~) èçâåñòíà, òî èçâåñòíà è âèðòóàëüíàÿ òåìïåðàòóðà Tv (p; T; ~ ).78Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïðèìåò âèäp = RTv :(19) 4.14. Ïðåîáðàçîâàíèå ñëàãàåìîãîâ óðàâíåíèè äâèæåíèÿ1grad pÑîãëàñíî (12) è (15)1 ph~ = j j j!0h p0p j Z0 0p ~ :Z0 jjjÍà îñíîâå (15) è (19) ïîëó÷èì àíàëîã ðàâåíñòâà (I.11) 0 = RTv ;ïîýòîìó !1 01 phj ~j = hj RTv (ln p )0 + g ~ : jg jÇäåñü â ïðàâîé ÷àñòè íàõîäÿòñÿ Tv , p , èñêîìûå â ïðèìèòèâíîéjjñèñòåìå óðàâíåíèé. 4.15.
Âû÷èñëåíèåàññìîòðèì äâà âàðèàíòà ïîñòàíîâêè çàäà÷è äëÿ íàõîæäåíèÿ .1. Ïóñòü èçâåñòíà óíêöèÿ Tv = Tv (p; T; ~ ), T è ~ êàê óíêöèè îò ïðè èêñèðîâàííûõ 1 , 2 , t, à òàêæå p è z . Òîãäà áóäåò èçâåñòíîé èóíêöèÿ=1= g (1; 2 )z (1 ; 2 ):Ñëåäîâàòåëüíî(1 ; 2 ; ; t) = gz Z1RTvd:2. Äîïóñòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ñëó÷àé èäåàëüíîãî ãàçà. Òîãäà Tv = T .Ïóñòü èçâåñòíà òåìïåðàòóðà T êàê óíêöèÿ îò z . Áóäåì èñêàòü óíêöèþ79Z , ðåøàÿ çàäà÷ó Êîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿÍàïðèìåð, åñëèíèÿ òèïà ÝéëåðàgZ0 + RT (Z ) = 0; Z = z :=1T = T Z , z = z1 , g = onst, òîðåøåíèå óðàâíå-RZ0 + (T Z ) = 0gâ ñëó÷àå, êîãäà p = p0 (à çíà÷èò, è = ), â âèäå ãåîïîòåíöèàëà ïðèìåòîáëèê = 1 ^ + ^ 1 ^ ;^ = gT , ^ = R .ãäå 1 = gz1 , g 4.16.
Âû÷èñëåíèåÑâÿçüdzdt_ è w =_èçâåñòíà:2X1 0w = Zt0 + Z0 _ + hj vj Z0 =g tj =1j X2_1 0RTv + hj vj ;g j =1jîäíàêî ñàìà âåëè÷èíà w òî÷íîìó èçìåðåíèþ íå ïîääàåòñÿ (ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòî ñêîðîñòü ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñàíòèìåòðîâ â ñåêóíäó). Ïîýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ _ âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè (17). Ïðîèçâåäåì èíòåãðèðîâàíèå åãî ñëàãàåìûõ (p )0t è p (_ )0 ïî îòðåçêàì [0; 1℄ è[0; ℄ è, áëàãîäàðÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ïîëó÷èìZ1(p )0 d = (p )0 ;tt0Z1Zp (_ )0 d = 0;00Z(p )0t d = (p )0t ;p (_ )0 d = p :_0Òåïåðü èç ðåçóëüòàòîâ èíòåãðèðîâàíèÿ (17) ïî0g_ = pZ10pD f V~ g dg80Z0[0; 1℄ è ïî [0; ℄ âûðàçèìp1D f V~ g d A:g 4.17. Îá óðàâíåíèè ïðèòîêà òåïëàÏóñòü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ = (p; T; 1 ; : : : ; n ). àññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî êîîðäèíàò p, U, T (ñì. I.6.1), â êîòîðîì çàäàíà ïîâåðõíîñòüU = U(p; T ) äëÿ èêñèðîâàííîãî ~.
Òåïëîåìêîñòü p = p(p; T; 1; : : : ; n)òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü èçâåñòíîé. Òîãäà ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó òåðìîäèíàìèêèdQTÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèåðåíöèàëîì. Îáîçíà÷èâ åãîdS ,ïîëó÷èì (ñì. I.6.8), ÷òîS = S (p0 ; T0 ) +(Zp;T ) (p0 ;T0 )Udp + p dT :TTÍó à ñîãëàñíî ïîñòóëàòó Íåðíñòà S T =0= 0. Ïóñòü E ïðèòîê òåïëàdQê åäèíèöå ìàññû äâèæóùåãîñÿ âîçäóõà çà âðåìÿ t. Çíà÷èò= E, èdtóðàâíåíèå ïðèòîêà òåïëà â îáùåì âèäådS E= :(20)dt TSÅñëè äîïóñòèòü, ÷òî p > 0, òî è> 0, è ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ìîíîTòîííîñòè S (T ), ñóùåñòâóåò T (S ).
Ñîîòâåòñòâåííî âèðòóàëüíàÿ òåìïåðàòóðà Tv = Tv (p; S; 1 ; : : : ; n ). 4.18. Îáñóæäåíèå ïðèìèòèâíîé ñèñòåìûÈòàê, åñëè ðàññìàòðèâàòü ïðîñòåéøèé ñëó÷àé, êîãäà = 1 òîëüêîäëÿ âîäÿíîãî ïàðà, òî èñêîìûìè â ïðèìèòèâíîé ñèñòåìå áóäóò ñåìü ñêà~ = fu; v; wg, , p, T , . Ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé áóäåòëÿðíûõ óíêöèé Vdñòîëüêî æå: (1), (11), (19), (20) è óðàâíåíèå áàëàíñà âëàæíîñòè äëÿ.dtÎñíîâíûå ñîïóòñòâóþùèå ïðîáëåìû:1) ãóñòîòà ñåòè ïóíêòîâ íàáëþäåíèÿ;2) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, â îñîáåííîñòè, íà ïîäñòèëàþùåé ïîâåðõíîñòèâ ñëîæíîì ðåëüåå;~ , âåëè÷èí,3) óòî÷íåíèå ïðèòîêà òåïëà E , òóðáóëåíòíîé âÿçêîñòè Nñâÿçàííûõ ñ ïåðåíîñîì âëàãè, èñïàðåíèåì è êîíäåíñàöèåé.81ëàâà 5Ïîëèíîìû Ëåæàíäðà èñåðè÷åñêèå óíêöèè 5.1.
Óðàâíåíèÿ è ïîëèíîìû Ëåæàíäðàåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿdy ()d(1 2 )+ n(n + 1)y () = 0dáóäåì íàçûâàòü ïîëèíîìàìè Ëåæàíäðà [3℄ Pn (). Ñïðàâåäëèâî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå Pn+1 () = (2n + 1)Pn () nPn 1 (), P0 () = 1,P1 () = . 5.2. Ïðèñîåäèíåííûå óíêöèè ËåæàíäðàÈñõîäíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê(1 2 )y 002y 0 + n(n + 1)y = 0: ðåçóëüòàòå mêðàòíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷èì(1 2 )x00ãäå06m62(m + 1)x0 + (n(n + 1) m(m + 1)) x = 0;dm yn è x() = m . Ñäåëàåì òåïåðü çàìåíódz ()m :x() = p1 282Òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèäy () = Pn ()z () = ïîëèíîìËåæàíäðà, òî ñîîòâåòñòâåííîddz ()(1 2 )+ n(n + 1)dÍî òàê êàêpm2z () = 0:1 2mPn(m) () = Pnm () ïðèñîåäèíåííûå óíêöèè Ëåæàíäðà. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî Pn0 = Pn .x() =Pn(m) (), è12 5.3.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ îðìàÅñëèj j 6 2 ,Pnm (sin ) = ( os )m Pn(m) (sin ); n = 0; 1; 2; : : : ; 06 m 6 n: = sin , òîãäà 1 2 = os2 .p1 2 = os . ÑëåäîâàòåëüíîÏóñòüÏîñêîëüêóòîd1 d=, óðàâíåíèå áóäåòd os ddzd(os )(os )+ n(n + 1) os2 ddm2 z = 0:(21)Îòìåòèì òàêæå îäíó âñïîìîãàòåëüíóþ îðìóëó(1 2 )(Pnm )0 =1(n + 1)(m + n)Pnm 1 + n(n2n + 1m + 1)Pnm+1 : (22) 5.4. Ñåðè÷åñêèå óíêöèèÂâåäåì êîîðäèíàòû íà ñåðå: äîëãîòóðèâàòü íàáîðû ñåðè÷åñêèõ óíêöèé è øèðîòó .Áóäåì ðàññìàò-Pn (sin ); Pnm (sin ) os m; Pnm (sin ) sin m:Ôóíêöèè Pn (sin ) ÷åòíû ïðè ÷åòíîì n è íå÷åòíû ïðè íå÷åòíîì.
Àíàëîãè÷íî, óíêöèè Pnm (sin ) os m è Pnm (sin ) sin m ÷åòíû ïðè ÷åòíîì(n + m) è íå÷åòíû â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå.83ëàâà 6Îêîëîïîëþñíûé âèõðü. Èíäåêñöèðêóëÿöèè 6.1. Î ñåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõÏóñòü 1= äîëãîòà, 2 = øèðîòà, 3 = z = rðàäèóñ r0 çàäàí. Òîãäà â ìåòðèêåds2 =3Xj =1ds2jáóäåòr0 ,ïðè÷åìds1 = r os d,ds2 = rd , ds3 = dz , ò. å. H1 = r os , H2 = r, H3 = 1.Åñëè ~1 , ~2 , ~3 = ~n åäèíè÷íûå âåêòîðû êîîðäèíàòíûõ ëèíèé , òî ñîãëàñíî äåðèâàöèîííûìîðìóëàì3~i X ~ :=j k=1 ijk k ÷àñòíîñòè, i3k= 0, òàê êàêd~i ~= 0.d3 6.2. Óïðîùåííàÿ ñåðè÷åñêàÿ ìîäåëüÁóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùèõ äîïóùåíèé:1) ïîäñòèëàþùàÿ ïîâåðõíîñòü ñåðà;p2) p = p0 = onst è = ;p0~ = ~0 íåâÿçêàÿ ìîäåëü;3) N4) ãèäðîñòàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå (ñì.
I.1.7);84ddz= w è = _ äîñòàòî÷íî ìàëû;dtdt6) g = onst.3X~Îñíîâûâàÿñü íà íèõ, äëÿ V =vk ~k5)k=11(v1 )0t +r0+(v2 )0t +ïîëó÷èì1v (v )0 + v (v )0os 1 1 2 1 10r0 os (tg )v1 v2 +2(! sin )v2 = 0;(23)11v (v )0 + v (v )0 + (tg )v12 +r0 os 1 2 2 2 1+ 0 + 2(! sin )v1 = 0:r0 6.3. ×àñòíîå ðåøåíèå ñòàöèîíàðíûéçîíàëüíûé ïîòîêÏóñòü = (; ).
Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ñèñòåìû (23), íå çà~ íàïðàâëåíàâèñÿùåå îò âðåìåíè t è îò äîëãîòû , òàê ÷òî ñêîðîñòü Vïî ïàðàëëåëè. Òàêèì îáðàçîì, v1 = U , v2 = 0 è, ñòàëî áûòü, (v1 )0t = 0,(v1 )0 = 0, 0 = 0. Îò ñèñòåìû (23) îñòàíåòñÿ îäíî óðàâíåíèåU 2 tg + 2(r0 ! sin )U + 0 = 0îòíîñèòåëüíî(24)U = U (; ). 6.4. ðóáàÿ ìîäåëü òåìïåðàòóðû âòðîïîñåðåÄëÿ ÷åòíîé íàæåíèåhf ( ) i; óíêöèè ñïðàâåäëèâî òåéëîðîâñêîå ïðèáëè2 2a0a+ a1 os 2 = ( 0 a1 ) + 2a1 os2 :2285Èñïîëüçóåì ýòó àïïðîêñèìàöèþ äëÿ òåìïåðàòóðû àòìîñåðû îäíîãî ïîëóøàðèÿ Çåìëè: T = T0 + (ÆT ) os2 ïî øèðîòå è T = T z ïî âûñîòå(íà êàæäîé èç øèðîò).
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîT = T0 + (ÆT ) os2 (0 + (Æ ) os2 )z:Ïðèìåì òàêæå, ÷òî Tv = T . Äëÿ ãåîïîòåíöèàëà èñïîëüçóåì ïðèáëèæåíèåâ âèäå ñòàöèîíàðíîãî çîíàëüíîãî ïîòîêà (; ): st = 0 ( ) + B ( ) os2 ; Òîãäà =1= 1 :0 = 2B os sin , è èç (24)U 2 tg + 2(r0 ! sin )U2B os sin = 0:åøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, èìååìU=p(r0 ! )2 + 2Br0 ! os = r0 !;ãäå èíäåêñ öèðêóëÿöèèp=(r0 ! )2 + 2Br0 !r0 !:Èòàê, èìååò ìåñòî òàê íàçûâàåìîå òâåðäîòåëüíîå âðàùåíèå: ïðè êàæäîì âîçäóõ âðàùàåòñÿ êàê åäèíîå öåëîå. 6.5. ËèíåàðèçàöèÿÏîëàãàåì v1 = U + u, v2 = v è = st + r0 ' os .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
