vmetf (810776), страница 7
Текст из файла (страница 7)
+ 1 = 12 (+1 + ), +1 = −2центральные разности(+12Δ+ − − −1 ) = − 2 (+1 − −1 ). -+112) = 21 , = 0. += − 2 ( − −2 ) направленные разности1 = 2 ( + −1 ), 2Можно взять схему и вставить в общем виде , там разложить по Тейлору (оставив члены с первойи второй производной) и получим: +1= − [−1 + (1 − − ) + +1 ]. > 0.Это нас приводит к: + = Δ(1 + 2 − 2) − 2 .2Из уравнения переноса можно получить: = 2 . Окончательно:[︂]︂∆ 2 + =(1 + 2 − 2) −2221.
= 2Δ−− 12 = 21 ( − 1). = 0. 2= Δ7 = 0. (1 − 2) = Δ . 2 = 1 − Δ. = 12 (1 − ).Таким образом, если правильно подобрать параметры, то можно избавиться от схемной вязкости.Допинфа: Теорема Годунова относится к линейным схемам, а это все к ней не относится.39.Дискретизация и поэлементное квантование сигналов.Дискретизация - это замена непрерывносго сигнала последовательность чисел, вляющихя представлением этого сигнала по какому-то ортонормированному базису.Коэффициенты представления находятся как скалярнное произведение сигнала на соотвествующиебазисные функции: = (⃗, )Поэлементное квантование - замена непрерывной и бесконечной шкалы значений - дискретной иконечной.Дискретизация - линейная процедура; поэлементное квантование - нелинейная процедура3140.Восстановление сигналов по отсчётам.Теорема Котельникова: сигналы, спектр Фурье которых равен 0 за пределания интервала (−, )1могут быть путем интерполяции восстановленногы точно по своим остчетам взятым шагом.
∆ = 2() =∞∑︁(∆)sinc(2 ( −=−∞))2)︀(︀)sin(2 − 2sin (︀)︀sinc2; sinc == − 2(︂)︂(︂)︂(︂ )︂ˆ∞ˆ∞(∆) = 2()sinc[2 −] =() − = 222(︂−2)︂−∞−∞Если спектр несимметричен:() =∞∑︁(︂=−∞2 − 1)︂[︂(︂sinc (2 − 1 ) −2 − 1)︂]︂exp[2(1 + 1 )]Но как правило мы не можем ограничить спектр -F и F.Тогда 2 пути:1) Попытаемся восстановить отсчеты (хвосты)2) Взять то что получилось, и использовать ту же формулу что и раньше.∞∑︀(∆) sin (2 ( − 2))() ==∞41.Доверительный интервал, доверительная вероятность, уровень значимости, степеньсвободы.Для вероятностных процессов точность и надежность оценки будет определена тогда, когда по данным выборки можно определить 2 числа 1 и 2 таких, что интервал (1 , 2 ) накрывает значения параметров с любой заранее заданной вероятностью . (1 , 2 ) - доверительный интервал.
Вероятность,что величина лежит в нем называется доверительной вероятностью. - доверительная вероятность, = 1 − - уровень значимости - число степеней свободы. = − = число элементов выборки - число связей. Допинфа:´∞ = {} = () - мат. ожидание∞´∞ = 2 = {( − ) =} ( − )2 () - дисперсия∞Оценка называется самостоятельной, если с увеличеснием объема выборки она стремится к истинному значению параметра.Оценка называется несмещенной, если ее мат.ожидание при любом объеме выборки равно истинномузначению оцениваемых параметров.∑︀ , где шапочка означает дискретные операцииˆ = 1=1ˆ = ˆ2 =1−1∑︀( − ˆ )2=1(1 , 2 ) - доверительный интервал. Вероятность, что величина лежит в нем называется доверительной вероятностью.3242.Правило Стьюдента.Задача состоитв том, чтобы вычислить, насколько вычисленое матожидание отличается от истин√ (︁ ^ − )︁ного.
= . = − 1 - строим такую функцию ( распределение стьюдента)^ - число степеней свободы.С шапочкой - измеряемые величиныБез шапочки - истинныеТогда можно, используя таблицы поставить условие, что || < , то есть меньше некоторого значения, которое зададим (чем меньше, тем ближе матожидание к истинному значению). По таблицаммы можем определить вероятность того = {|| 6 , }.Тогда мы получаем: = {ˆ − √^ 6 6 ˆ + √^ } Вот мы и нашли границы доверительногоинтервала для матожидания ( задали, ˆ вычислили, - число элементов выборки) (По умолчанию измерения соотвествуют нормальному закому распределения)43.Правило хи-квадрат.Задача состоит в том, чтобы вычислить, насколько вычисленая дисперсия отличается от истинной.В этом случае доверительный интервал строится следующим образом.
Строим распределение (рас2Задаем границы доверительного интевала, а потом смотрим, спредленеи хи-квадрат). 2 = (−1)^2какой вероятностью значение дисперсии туда попадает⎧1⎪⎨ 2 6 21 = 2⎪⎩ 2 > 2 = 1 22Используя эти соотношения, получим, что вероятность того, что искомая дисперсия лежит в интервале:{1 ˆ√︁ 6 6 2 ˆ } = 1 − 1 = −12√︁ 22 = −121Допустим, я хочу получить значение дисперсии с вероятностью 90%, получаю значения 1 и 2 ,подставляю их в формулы для доверительного интервала и получаю доверительный интервал, вкотором лежит истинное значение дисперсии с вероятностью 90%44.Теория испытания статистических гипотез.Пусть у нас есть некая гипотеза (предположение) относительно полученной выборки.
Это 0гипотеза (нуль-гипотеза). Мы хотим получить критерий. И если он попадает в область значений,которую мы считаем критической, то мы отвергаем 0-гипотезу. Если критерий попадает в областьзначений, которую мы считаем допустимой, то считаем, что 0-гипотеза верна.45.Проверка гипотезы о значении математического ожидания.Задачей является нахождение вероятности того, что матожидание равно числу с (это 0-гипотеза(нуль-гипотеза)) = - хотим найти вероятностьэтого.√ (︁ ^ − )︁Строим распределение Стьюдента: = ^ ,Знаем , = 0,9; = 0,1 (например).Зная это мы можем найти , соответствующее этим параметрам.
Остается посмотреть, выполнено ли неравенство :|| 6 - ?Пусть, если || 6 → нуль- гипотеза верна с вероятностью = 0,9, а если || > → нуль-гипотезане верна.3346.Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий.Пусть у нас есть 2 выборки: 11 12 ...1 : c дисперсией ˆ121 22 ...2 : c дисперсией ˆ2. 1 = − 1 , 2 = − 2 (соответствующие степени свободы)критерий Фишера. Строим = ^^12Пусть мы хотим проверить условие:ˆ1 > ˆ2 -?Выбираем = 0,9; = 0,1. Строим функцию Фишера, смотрим значение (1 , 2 )Если ^^1> (1 , 2 ) - нуль-гипотеза не верна2^1Если ^2 < (1 , 2 ) - нуль-гипотеза верна.47.Проверка гипотезы о резко выделяющихся наблюдениях.принадлежит ли выборке - метод ГрегсаОчень важно понимать, принадлежит ли максимальное значение нашей статистике или это случайность^ −- случайная вероятность подчиняется закону, зависящему только от n = √︃ ∑︀1( −^ )2=1Выбираем = 1 − = 0,9, получаем , получаем критерий { > } = Если > , то не принадлежит, если наоборот, то принадлежит с вероятностью = 0,9.48.Проверка гипотезы об отсутствии корреляций.Строим:∑︀ˆ =( −^ )( −^ )√︃=1∑︀( −^ )2 ( −^ )2=1С шапкой - измеренная, без√ шапки - теоретическая^√ − 2, Выбираем значение , из него получаем значение по таблицеПо ней строим: =1−^ → = 1 − → ,Если || > ⇒ корреляции есть с верояностью , иначе - нет.49.Проверка гипотезы о подчинении исходной выборки заданному закону распределения методом Пирсона.Метод Пирсона - проверка гипотезы о подчинении исходной случайной величины , заданной позакону распределения .
(), 1 , 2 , 3 , ..., . (, ⃗ ), ⃗ - подгоночные параметры: : 1 , 2 ,.. < .?(пример: 1 = , 2 = ). = − − 1.Работает когда много измерений (2 - сокрыт здесь).∑︀ = 2 .Строим=1Для этого делим ось на участки, смотрим сколько измерений попало в участок ( ) ⇒ - получаемвероятность попадания в участок (расчитали теоретически)2 > 2 - нуль-гипотеза не верна.
(задали = 1 − , знали, по табличке определили → )3450.Метод ГодуноваРаботаем в Эйлеровых координатах. Все величины ищем по центрам ячеек, а на границах решаемзадачу о распаде разрыва. Это позволяет согласовывать величины на границе в соответствии сзаконами сохранения (массы, импульса и энергии). Эйлеровы координаты: разбиваем нашу область(︂)︂=< ⃗ >Г+ 12Все величины ищем по центрам ячеек, а на границах решаем задачу о распаде разрыва. КГ - контактная границы.Задача, которая позволяет согласовывать величины на границе (согласно законам сохранения)илиили3551.Полностью консервативные схемы.Консервативной называется схема, в которой сохраняется полная энергия.Конечно-разностная полностью консервативная схема - схема, в которой сохраняется полная энергиясистемы при правильном описании баланса между внутренней и кинетической энергией; кроме тоговыполняются законы сохранения всех других характеристик, входящих в систему уравнений.УЧИТЬ ВСЕМ НАИЗУСТЬ!В ней выполняются Закон сохранения полной энергии, массы и первый закон термодинамики.
Онаимеет Второй порядок по времени и по пространству (за счет того, что у нас стоят полусуммы величин на -ом и +1-ом шаге по времени. В производных по пространству у нас тоже там центральныеразности)⎧)︃(︃+1⎪−−⎪−1⎪=− = −¯⎪⎪⎪ℎ⎪⎪⎪(︃)︃⎪⎪+1⎪−⎪⎪⎪ = = ⎪⎨(︃)︃+1+1+1⎪(1/)−(1/)−1⎪+1⎪⎪( ) = ˆ=⎪⎪ℎ⎪⎪⎪⎪(︃ +1)︃⎪+1+1⎪+ 1 − + 1⎪−⎪+1+122⎪ˆ= −+ 1 − + 1⎪⎩ ¯ = −¯ˆ22ℎ( () = () + ( − ) )ˆ + ˆ − *= −(0,5) ¯2)︀1 (︀ 2(ˆ) − 2 = −(0,5) ¯20,5(2 ) = −(0,5) ¯Как избавится от остаточного члена? ⇒ Введем дополнительные параметры:⎧( )⎪ = −¯ 1 |(0,5)⎪⎪⎪⎪⎪ = (2 )⎨13)⎪() = (⎪⎪⎪⎪⎪⎩5) = −(4 ) (( )0,5(2 ) = −(0,5) ¯ 1(1 )5)(4 ) (+ (4 − 1 ) )((0,5) + (5 − 0,5) ) = (1 ) (0,5)+ = (]︀[︀5) = (5 − 0,5)(1 ) + (4 − 1 ) (5 = 0,5; 1 = 4 = => довесок обращается в ноль = 0 у нас нет диссипативных слагаемых(︂ )︂1 = − ; = − ; = − Тогда положим 3 = 5 = −Подставим 2 = 3 получим(1 )(︂ )︂1 (︂ )︂1= 36]︂[︂(︂ )︂11− = 0 =⇒ = ℎ= +1 − , где (ℎ ≡ ), ℎ = ∆ = ∆Закон Сохранения Массы: ℎ = + 1 (+1 − )22 = 3 = 5 = 0,5; 1 = 4 = т.е.
любое, но если = 0,5 ⇒ (ℎ2 )1( ) = (ˆ + )2в итоге получаем(︂2+2+1+ 12)︂(1 )1)= −((1 ) (0,5)+ (0,5) ((−1)(0,5) ) − ) = −(где (1 ) = (+ 1 ) ; = 02[︃ +1]︃+1+1+ 1 − + 1−−11111 + 2+ 2− 2− 222=−+2ℎℎ[︃]︃)︁ +1 − +1 − (︁− + 11+1+12= − +1+1 + − 124 + 2ℎℎ3752.Метод крупных частиц.Идея: мы разделяем движение внутри ячейки и через границы ячейки ( ) ( )++=0(︂)︂+ + =−(︂)︂+ + =−(︂)︂[︂]︂( ) ( )+ + =−+ = (, ); = +222, , ( = + 2 ), - В центрах ячеек1 Этап Считаем, что через границы ничего не переносится⎧⎪⎪=−⎪⎪⎪⎪⎨ =−⎪⎪(︂)︂⎪⎪⎪⎪⎩=−++ 1 , = 0,5(+1, + , ); , - масса в ячейке2(︂)︂˜(,) − (,),1+( 1 − − 1 , ) = 02∆∆∆ + 2 ,(︂)︂˜(,) − (,)1,+( 1 − ,−1) = 02∆∆∆ ,+ 2(︃)︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃+ 1 , + 1 , − − 1 , − 1 ,,+ 1 ,+1 − 11˜, − ,,,−,−22222222++=0∆∆∆∆2 Этап Перенос через ячейки381− 1 , = (−1, + , )221− 1 , = (˜−1, + ˜, )∆22∆∆{︃, ,если ˜, + ˜−1, < 0 =−1, , если ˜, + ˜−1, > 01,− 1 = (˜ ,−1 + ˜ , )∆22∆∆{︃, ,если ˜ , + ˜ ,−1 < 0 =,−1 , если ˜ , + ˜ ,−1 > 03 Этап Объединение результатов предыдущих пунктовВместо Х любая из этх величин:⎧⎪⎨ = ⎪⎩]︁1 [︁111 − 1 + −++1=,− 2 ,+ 2 ,,− 2,+ 2,∆∆˜ −1, 1 − ˜ ,−1 1 − ˜,+1 1˜ +1, 1− 2 ,,− 2+ 2 ,,+ 2˜ ,, =+++1+1, ∆∆, ∆∆Минус - обладает сильной диссипацией и сглаживает решение.
Плюс - хорош на подробных сетках.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
