vmetf (810776), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Естественно использовать для этой цели связь, существующую между уравнением Ф-П и стохастическим дифференциальным уравнением. В общем слу= [ ] , гдечае интегродифференциальное уравнение является нелинейным уравнением вида [ ] - дифференциальный оператор, представленный в правой части уравнения Колмагорова. Длячисленного решения аппроксимируем это нелинейное уравнение на каждом временном шаге лине[︀ ]︀+1аризованным уравнением = [ ] +1 .
Таким образом будем рассматривать уравнение ФП в линеаризованном приближении, когда коэффциенты берутся с предыдущего временного шага,и интерпретировать его как уравнение Колмагорова для плотности вероятностей диффузиозногослучайного процесса ⃗ (). Стохастическое дифференциальное уравнение, задающее этот процесс, иявляется уравнением движения частиц, функция распределения которых удовлетворяет уравнениюКолмогорова-Фоккера-Планка с линеаризованными коэффициентами.Детерминированные коэффициенты в стохастическом уравнении можно получить из коэффициентов в уравнениях Колмагорова, разрешив их относительно ℎ , .
Получим выражения для матрицыG и вектора ⃗ℎ:G = B1/2 , B = ‖ ‖,G = ‖ ‖ ; ℎ = − B,G - симметричные неотрицательные матрицы. Параметр (0 ≤ ≤ 1) выбирается дополнительнос учетом способа интегрирования стохастических величин. Первая из формул - символьная записьрешения матричного уравнения. Чтобы определить компоненты матрицы G, следует представитькомпоненты матрицы B в виде: = − ( − ) , , = 1,2,3. , ≥ 0 , , - компоненты единичного вектора.
Тогда (из теоремы Гамильтона-Кели): G = B1/2 = 0 E + 1 B, E - единичная матрица,0 = ()1/2 (1/2 + 1/2 )−1 , 1 = (1/2 + 1/2 )−1 . Таким образом = 1/2 − (1/2 + 1/2 ) .Теперь, по крайней мере теоретически, можно определить все коэффициенты, входящие в стохастическое уравнение движения(ур-е Ланжевена).2028.Статистики Ито и Стратоновича и их учёт при решении уравнения Фоккера –Планка методом стохастических уравнений Ланжевена.⃒ˆ1⃒⃒⃒ = ℎ (⃗ ,) + (⃗ ,) ()⃒⃒0ˆ1ˆ1 (1 ) − (0 ) = (⃗ ,)ℎ (⃗ ,) +00Первое слагаемое (интеграл) - интеграл от детерминированной величины (Коши-Риман).
Второй недерминированный. Важно! Выбор статистики - правильное∑︀интерпретирование случайной величины - выбор такого способа (правила) суммирования lim→∞сходится к определенной величине всреднеквадратичном пониманииТаких две - Ито и СтратановичаПри → ∞ сумма должна иметь предел. Мы складываем случайные величины, поэтому не обязательно сходится. Доказано, что сходится в следующих случаях:∆ = (∆)1/2ˆ1−1∑︁Ито:(,) = lim(( ), )[(+1 ) − ( )]→∞0ˆ1Стратанович:0=0)︂−1 (︂∑︁+1 + +1 + (,) = lim,[(+1 ) − ( )]→∞22=0В случае статистики Ито = 0, Стратановича - =уравнения1.2Эти значения мы и подставляем в наши29.Стохастическое уравнение движения макрочастиц при моделировании переносапримеси в турбулентном потоке.Итак, в постановке задачи мы определились, что решаем уравнение (рекомендуется прочитать вопрос 26):(︃ 3)︃33∑︁ ∑︁ ∑︁ += =1=1=1Теперь надо написать уравнения Ланжевена и выбрать статистику.В общем случае оно выглядит так:(︂)︂1 1 ℎ = +− + 22 2 = - коэффициент турбулентной диффузии - положительно определенная, симметричная матрица.Напомню, что считаем, что ветер направлен по х ( = 1) вдоль земли, так же, как и у ( = 2), z: = 3Задачу не решить без дополнительных предположений (не хватит уравнений).
Тогда пусть12 = 21 = 23 = 32 = 0, 13 = 31 ̸= 0. Корреляция между подъемом вверх и движением поветру существует,нет корреляции движения вдоль 1 и 2 и 2 и 3Наш⎛ тензор примет⎞ вид:11 0 13⎝ 0 22 0 ⎠31 0 3321Это приводит нас к следующим уравнениям:⎧211⎪⎪⎪⎨ 222⎪213⎪⎪⎩23322+ 13= 112= 22= 13 11 + 13 3322+ 33= 13Решая систему, получим:2 1/22 1/222 = (212 )1/2 , 11 = (211 − 13) , 33 = (233 − 13) , 13 = ...решается через биквадратноеуравнениеБудем искать решение в виде:1 = 1 (3 )(1 )301 (3 ) = 0 ln 3−, = 0.35, 30 определяется шероховатостью поверхности 30 ≈ 10−2 м, 0 - ско30рость на выходе ∼ 10 см.
ℎ ∼ 1.5 м или высоте человека3 = (3 )(1 )Остается написать систему уравнений, соответствующую выбранной статистикевыбираем Ито:+1= ℎ + ℎ (+1,)∆ + (+1 , )∆ (∆)∆ (∆) = (∆)1/2Отметим напоследок, что вихри, турбулентность, взаимодействие вихрей - причина осаждения примеси ( в уравнениях нет силы тяжести, но это и не может быть механизмом)(частицы легкие иразмером до 100 мкм)2230.Решение задачи о динамике разреженного газа методом Монте-Карло. Постановказадачи.В тех задачах, где газодинамическое или кинетическое приближения оказываются неприемлимыми,остается только способ прямого расчёта динамики частиц под действием сил межмолекулярного взаимодействия. К методам Монте-Карло часто относят вообще все численные алгоритмы, в которыхдля получения результатов используются выборки случайных чисел.Применим метод Монте-Карло к моделированию динамических процессов в газах.
В этом подходевыбирается частица и прослеживается её движение в среде. При этом акт взаимодействия выбранной(пробной) частицы с молекулами окружающего газа рассматривается как вероятностный процесс.Рассмотрим задачу о течении и теплопередаче разреженного газа между двумя бесконечно параллельными стенками, имеющими различную температуру. Пусть левая стенка имеет температуру ˜0 ,а правая - ˜1 (˜0 > ˜1 ), и правая стенка движется снизу вверх со скоростью 1 . Средняя плотностьгаза между стенками равна . Газ считается достаточно разреженным ( > св.пр.
), так что уравнения газовой динамики в данном случае неприменимы, и динамика молекул описывается уравнениемБольцмана.Решение задачи начинается с выбора модели взаимодействия молекул между собой и ограничивающими стенками. Предположим, что молекулы сталкиваются, как твёрдые сферы, а коэффициентаккомодации (характеризует эффективность захвата стенкой подошедшей к ней молекулы) стенокравен единице, т.е.
молекулы, отражаясь от стенок, имеют максвелловское распределение, соответствующее температуре стенок. Все модельные частицы в рассматриваемом методе разделяются надва класса: пробные молекулы и фоновые молекулы. Процесс решения сводится к прослеживаниюдвижения пробных частиц с учётом их столкновений с фоновыми молекулами. Определяя далеехарактеристики пробных молекул в выбранных областях между пластинами, восстанавливаютсяфункции распределения частиц и макроскопические свойства потока, такие как профили скоростии температуры, поток тепла, касательные напряжения.
Расстояние между стенками разбивается назоны, и прослеживается движения пробных молекул поперек канала.2331.Задание начальных данных в решении задачи о динамике разреженного газа методом Монте-Карло. (Задание пробных и фоновых частиц).Из = 0 вылетают частицы со случайными скоростями. Это пробные частицы. Есть еще фоновыечастицы. (для них просто задаем параметры).Все модельные частицы в рассматриваемом методе разделяются на два класса: пробные молекулыи фоновые молекулы.Предполагается, что в каждой зоне распределение тепловых скоростей фоновых молекул являетсядвухпотоковым. Каждый из потоков описывается максвелловским распределением частиц со средними скоростями, направленными навстречу друг другу.
Таким образом, суммарная функция распределения частиц между пластинами содержит два слагаемых:(︂ 2 )︂⃒(︂ 2 )︂⃒210 ⃒⃒ ⃒20+ 3/2 3 exp − 21 ⃒⃒ = 0 0 + 1 1 = 3/2 3 exp − 2 ⃒ 00 >0 11 >0→←20 =√︁√︁20 + 20 + 20 , 21 = 21 + 21 + 21 - средние скорости потоков.2432.Розыгрыш траектории пробной частицы в задаче о динамике разреженного газа.По условиям задачи, молекулы, отражаясь от стенок, имеют максвелловские распределения, соответствующие температурам стенок (считаем, что пробные частицы распределены по Максвеллу, в´′′ () = ) → их скорости при отражении должнытепловом равновесии со стенкой: ( ) =−∞задаваться случайными, нормально распределенными по модулю и равномерно распределёнными понаправлению векторами. Алгоритм задания случайных значений компонент скоростей отражённыхчастиц: = (−˜2 ln 1 )1/2 ; = (−˜2 ln 2 )1/2 sin (20 ) ; = (−˜2 ln 2 )1/2 cos (20 )0 ,1 ,2 - случайные величины с равномерной функцией распределения на интервале (0,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
