vmetf (810776), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Решим с их учетом уравнение: 21 −20 =−0 ∆2 . Так как потенциал определяется с точностью до константы, положим 0 = 0. Тогда 1 =2− 02Δ . И далее по рекуррентной (зависит от предыдущих членов) формуле: +1 = 2 − −1 − ∆2 , = 1,..., − 1.1525.Численное решение стохастических дифференциальных уравнений.Если частота столкновений в плазме становится соизмеримой с электронной плазменной частотой ≤ , бесстолкновительное приближение Власова становится уже не применимым.
В этом случаев кинетическое уравнение динамики плазмы следует включить интеграл столкновений. При этом динамика частиц в плазме может быть представлена подобной броуновскому движению в приближениималого изменения импульса частиц при столкновениях.Математические модели процессов, подобныхброуновскому движению, описываются уравнением Фоккера-Планка:1 2=−[ (⃗ ) ] +[ (⃗ ) ]2 = ,, -ф-я распределения электронов и ионов (функция распределения частиц, участвующихв броуновском движении (в данном случае)). Конкретный вид функций (⃗ ) и (⃗ ) зависит отфизической природы (в данном случае - броуновское движение) сил взаимодействия.Для численного решения уравнения Ф-П обычно предлагаются конечно-разностные алгоритмы, новозникают трудности при описании развития коллективных неустойчивостей, сопровождающихсявсё большим дроблением масштабов в фазовом пространстве, а также при описании процессов, связанных со значительным ускорением частиц и расширением области, занимаемой частицами.
Наилучшие результаты даёт моделирование макрочастицами. Однако применение метода частиц требуеттеперь введения в уравнения движения макрочастиц эффективной силы, результат действия которойбыл бы эквивалентен наличию кулоновских столкновений. Для нахождения этой силы ограничимсярассмотрением пространственно однородной плазмы в отсутствие внешних полей. Изменение скорости частицы в системе с кулоновскими столкновениями можно представить как результат воздействия на частицу нелинейной силы трения со стороны остальных частиц и диффузии в пространствескоростей. Это позволяет преположить, что движение макрочастиц в численной модели может бытьописано нелинейнымуравнением Ланжевена, являющимся обощением уравнения движения для бро⃗уновской частицы: = ℎ (⃗ ) + (⃗ ) ().Заметим, что хотя уравнение имеет формально точно такой же вид, как соответствующее детерминированное уравнение движения, представленная запись некорректна, так как включает неопределенное как с математической так и с физической точек зрения понятие - случайным образомзаданную производную.
Однако оно приобретает смысл, если его переписать в терминах приращений: опустим индекс "") = ℎ (⃗ ,) + (⃗ ,) (), где () - приращение винеровского процесса(время непрерывно, приращения за непересекающиеся промежутки времени взаимно независимы ипри этом ( + ∆) − () при любом имеют нормальное распределение с нулевым мат ожиданиеми дисперсией ∆). Выражение связывает приращение скорости, определяющей случайный процесс сприращением винеровского процесса и в такой записи вполне определено.Очередная сложность возникает при попытке проинтегрировать уравнение и определить случайный процесс (). Если формально проинтегрировать уравнение по времени на интервале (0 ,1 ), томожно записать:ˆ1ˆ1 (1 ) − (0 ) = ℎ (⃗ ,) + (⃗ ,) ; = 1,2,3.00Если в данном представлении первый интеграл правой части является обычным интегралом КошиРимана от детерминированной функции, то второй интеграл нельзя трактовать ни как интегралКоши-Римана, ни как интеграл Лебега-Стилтьеса, или любой другой интеграл, определяемый вклассе детерминированных функций.
Необходимо дополнительно определить, что понимается подним.Строго математически обоснованы два определения стохастического интеграла: в смысле Ито и всмысле Стратоновича. В обоих случаях под стохастическим интегралом понимается предел сходящихся в среднем квадратично определенных интегральных сумм. Каждый из указанных случаевпри этом отличается способом построения интегральных сумм.Для моделирования методом частиц плазмы с учетом кулоновских столкновений существует схема16"предиктор-корректор":+0.5 = + ℎ (⃗ , ) + (⃗ , )[∆ ]1/2 ; +1 = + ℎ (⃗ +0.5 ,+0.5 ) + (⃗ +0.5 ,+0.5 )∆2√[∆ ]1/2 = 0.5 , - случайная величина, равномерно распределенная по нормальному закону с нулевым средним и единичной дисперсией.
Эти уравнения полностью определяют численнуюсхему вычисления скоростей частиц в столкновительной плазме, описываемой уравнением ФоккераПланка. Решение каждой задачи начинается с задания скоростей модельных частиц при = 0 согласно начальному распределению. Далее по начальным функциям распределения с помощью формул (⃗ )ˆ∞( − ′ )1 ∑︁ + / (⃗′ )⃗ ′ ; / = ln Λ(4 / )2=−′3⃗4 |⃗ − |−∞ (⃗ )[︂]︂ˆ∞ (⃗ ′ )( − ′ ) ( − ′ )1 ∑︁ / −⃗ ′=′′2⃗⃗4 |⃗ − ||⃗ − |−∞вычисляются коэффициенты А и В в уравнении Ф-П для каждого сорта частиц, а затем рассчитываются коэффициенты ℎ , в стохастических конечно разностных уравнениях.
Из них находятсязначения скоростей на следующем шаге и процесс повторяется. В заданные моменты времени пополученным скоростям восстанавливаются функции распределения каждого сорта частиц.1726.Решение уравнений конвективной диффузии методами стохастических дифференциальных уравнений. Постановка задачи.Расссмотрим этот вопрос на реальном примере. Случилась авария на Томском химическом комбинате. Из цеха с отходами вырвалось облако, которое стало подниматься вверх и распространятьсяпо пространству. По пути была тайга и поселки. Облако, распространяясь, вызвало радиоактивноезаражение территории.Рассмотрим, как промоделировать эту задачу.
Этот случай был удачной возможностью, чтобы отработать методы.Обычно большинство параметров уславливаются считать константой и тогда задача решается аналитически. Но это очень грубый подход, потому что это не даст возможность выделить участки, гдескапливается радиация.Столько-то тонн отходов было задейтсвовано, столько-то мегаджоулей выделилось. Облако вылетело. Надо решить вопрос о том, как оно осаждается.Мы знаем граничные условия у окна, из которого все вылетело.
Методом крупных частиц (3D) решалась задача, как распространяется не только примесь, но и взрыв (задействован воздух внутрипомещения и снаружи). Это все рассчитывалось на расстоянии 200 метров.Дальше задача рассматривалась, как точесный взрыв Седова. И продлевали распространение облака примерно на 1000 метров. Тогда скорость взорвавшейся массы становилась довольно мала иее можно было сшить со коростью ветра в атмосфере.
И начиная с этого момента задача становилась задачей распространения примеси в турбулентной атмосфере. Характеристики атмосферыбыли хорошо известны (погода утром/вечером и т.д. снег, дождь). То есть поле скоростей турбулентной атмосферы мы считаем заданным. Мы можем записать уравнения конвективного переноса(присутствуют турбулентная диффузия и конвекция одновременно).3 ∑︁ ( )+= ∆=1 - коэффициент молекулярной диффузии, - скорость атмосферного потока; - концентрацияСчитаем, что ветер направлен по х ( = 1) вдоль земли, так же, как и у ( = 2), z: = 3 = + ′ , - средние значения, ′ - турбулентные пульсации = + ′ - концентрация как сумма средних значений и турбулентных пульсаций концентрацииПодставим это в уравнение и усредним по турбулентным пульсациям:33∑︁ ∑︁ +=−=1=1 = ′ ′⟨ ′ ⟩ = 0, ⟨ ′ ⟩ = 0Возникает вопрос, как определить .Турбулентный перенос принято описывать следующим образом (первый порядок точности описания3∑︀турбулентных процессов)(молекулярная диффузия): = − - коэффициент турбулент=1ной диффузии - тензор -диффузия может идти по разному в разных направлениях.Получаем следующее уравнение:(︃ 3)︃33∑︁ ∑︁ ∑︁ +==1=1=1Возникает вопрос - куда делась молекулярная диффузия? Ее просто убрали, исходя из следующихсоображений.
Коэффициенты турбулентной диффузии оцениваются теоретически. Они на несколькопорядков больше коэффициентов молекулярной диффузии.Мы считаем, что скорости заданы, но в принципе, могла стоять и задача их вычислить, тогда надобыло бы писать уравнение Навье-Стокса, но это лишние сложности и разговор не об этой задаче.18Отметим, что полученное уравнение не является сложным - очень похоже на уравнение теплопроводности.Поэтому проблем особых нет, кроме того, что специфика этой задачи в том, что расстояние, на которое идет перенос - 100км вдаль, 20 км поперек и 2 км в высоту. Если даже взять ячейки по 1 метру,то получается огромное число ячеек 101 0 или больше.Если взять больший размер ячеек, то происходит следующее. Мы рассматриваем распространениепримеси.
В какой-то момент она одлетает к ячейке и проникает в нее, но тогда мы сразу считаем, чтопримесь распространилась по всему объему ячейки. За маенькое число шагов по времени примесьразмажется по ячейкам и мы не отследим ее распространение.Мешает только одно - мы не отслеживаем границу примеси. Казалось бы для таких ситуаций естьметод Харлоу.
Но метод частиц описан для гидродинамики и там нет диссипативного члена. Да, вметоде частиц можно вводить вязкость в гидродинамике, но в нашем случае у нас естьпримесь иименна на нее действует диффцузионный член. Он описывает изменение скорости частиц за счетстолкновений с турбулетными возмущениями, а изменение скорости приводит к изменению потока.В конечном итоге мы видим изменение потока за счет того, что поток примеси, сталкиваясь с турбулентными пульсациями, рассеивается. Таким образом, если использоать частицы, то они должнырассеиваться, иначе результат будет неправильным.Таким образом, такой класс уравнений необходимо рассматривать отдельно, а имеем мы дело с уравнением Фоккера-Планка.1 2=−[ (⃗ ) ] +[ (⃗ ) ]2 1927.Стохастическая эквивалентность уравнения Фоккера - Планка и стохастическихуравнений Ланжевена (связь между коэффициентами). ( , , ,) Диффузионный процесс ⃗ с плотностью вероятности , удовлетворяет уравнению Колмагорова, которое полностью совпадает с уравнением Фоккера-Планка:]︀1 2 [︀ =−[ (⃗ ) ] + (⃗ )2 (⃗ )где (⃗ ) = ℎ (⃗ ) + 12 (⃗ ) и (⃗ ) = (⃗ )(⃗ ) - по повторающимся индексам суммирование.Задача определения выражения для силы, действующей на модельные частицы, сводится к определению компонент вектора ℎ (⃗ ) и (⃗ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
