vmetf (810776), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поэтому призадании координат частиц часто используют "спокойный старт когда координаты частиц задаютсярегулярным образом по детерминированному алгоритму.+1 = +2(1 + cos ),0 ≤ ≤ , = 0,1,..., − 1, 0 < < 1, 0 = , = 0,5Будем далее считать, что расчетная область ограничена 0 < < .
Если в начальный момент времени плазма занимает всю расчетную область, то = , если локализована в расчетной области,то > . Разобьем интервал на равных ячеек размером ∆ = / и зададим распределение модельных электоронов и модельных ионов. Учитывая, что в безразмерных переменныхсредняя плотность электронов и средняя плотность ионов (для электронейтральной плазмы) равны1, имеем, что каждая макрочастица дает вклад в плотность, равный: = , = .Вычислим теперь в какие ячейки попали макрочастицы. Будем нормировать ячейки по их левомуграничному узлу целыми числами (0 ≤ ≤ ).
Координаты узлов ячеек обозначим заглавнымибуквами . Чтобы определить в какую ячейку попалает частица, имебющая координату , достаточно взять целую часть от отношения Δ .Пусть в -ую ячейку попало частиц. Тогда плотность частиц в этой ячейке можно вычислитьпо формуле: = . Для сглаживания скачков плотности используем линейную интерполя−цию плотности каждой частицы (в ячейке ) в близжайшие узлы сетки: = + +1Δ , −+1 = +1 + Δ .
Просуммировав вклады от всех частиц получим плотность заряда в каждомиз узлов сетки: = − .1219.Решение уравнений движения для макрочастиц при численном моделированиибесстолкновительной плазмы.Первым этапом решения уравнений движения для макрочкастиц является нахождения электрического поля.Для этого, используя дискретный аналог уравнения Пуассона, вычислим потенциал поля в узлахсетки.
Достаточно использовать трехточечную аппроксимацию второй производной:+1 −2 +−1= −Δ2Уравнение решается при заданных граничных условиях, о чем более подробно сказано в билете 24.Далее по значениям потенциала электрического поля в узлах сетки определяются значения напряженности поля: ( ) = −[(+1 − (−1 ))]/2∆.Получив значения напряженности поля в узлах сетки, нетрудно рассчитать силы, действующие намакрочастицы.
Пусть частица сорта имеет координату , лежащую между значениями координатдвух соседних узлов сетки ≤ ≤ +1 . В большинстве вариантов методачастиц напряженностьполя в точке положения частицы рассчитывается линейной интерполяцией по значениям соседнихузлов:+1 − − + (+1 )( ) = ( )∆∆Тогда отнесенная к массе частицы сила, действующая на частицу сос тороны поля, будет равна: ( ) = ( ){︃+ 1, = , = 1− 1, = , =Зная силу действующую на каждую частицу, решаем уравнения движения (схема "leap-frog"):{︃11+ 2 = − 2 + ( )1 = −1 + + 2 Видим, что в этой схеме скорость и координаты частицы должны быть разнесены на половинувременного шага.
Так как скорости частиц задаются случайным образом, то для расчета характеристик на полуцелом шаге вполне достаточно использовать любую простую разностную схемунебольшой точности. Например, "предиктор-корректор":⎧ 1⎨ 4 = 0 + 04⎩ 12 = 0 + ( 41 )2Определив скорости и координаты частиц на следующем временном шаге, при необходимости поним можно вычислить вид функции распределения электронов и ионов на данный момент временив каждой ячейке пространтвенной сетки.Вычисление новых значений координат и скоростей модельных частиц завершает расчет на данном−временном шаег. Далее по полученным координатам с ипользованием формул = + +1Δ , −+1 = +1 + Δ , = − определяются плотности заряда в узлах пространственной сетки,и процесс повторяется.1320.Погрешности при численном моделировании бесстолкновительной плазмы.
Δ) ΔΔ = sin(- ошибка, связанная с расчетом поля4 sin2 ( 2Δ )Стремится к единице при ∆ стремящимся к нулю.[︁]︁2( )2 sin( Δ/2)2Получается из дискретного аналога решения: ( ) = 2 , = Δ/2и из напряженностиэлектрического поля:]︁2[︁( ) = −˜ ( ), где ˜ = ( ) sin( Δ/2) Δ/2Сложным является вопрос выбора корректного числа частиц.
Ведь если их недостаточно, то возможны значительные флуктуации плотности → значительные флуктуации плотности заряда → развитиеновых неустойчивостей, соответствующих физике модели, но не соответствующих реальному исследуемому физическому процессу. Учитывая, что бесстолкновительное приближение Власова справедливо на расстояниях больших , естественно линейные размеры счетных ячеек выбирать равнымиили несколько превышающими .
Размеры счетной области выбираются, исходя из качественнойоценки развития исследуемого процесса, так чтобы размеры области были не меньше, чем наибольшая из длин волн, которые могут возбуждаться в системе. Разумным же условием выбора количесвтамакрочастиц может служить условие бесстолкновительности: ln / ≪ 1, - число частиц вдебаевской сфере. При выполнении этого условия воздействие соседних макрочастиц друг на другабудет экранировано полем окружающих зарядов.
Опыт показывает, что хороших результатов можнодобиться уже при использовании лишь 10 макрочастиц в дебаевской сфере.21.Какие законы сохранения выполняются при численном моделировании бесстолкновительной плазмы.Выполняются закон сохранения импульса, массы, заряда.Закон сохранения энергии не выполняется (ДОПИНФА: но схему можно медрнизировать исходя извариационных принципов, чтобы это выполнялось).22.Показать сохранение импульса при моделировании бесстолкновительной плазмы.´=(,)(,) - скорость изменения суммарного импульсаПокажем, что ЗСИ выполняется: 0Пусть частица с координатой передает часть своего заряда в -й узел сетки с помощью интерполяционной функции ( − ), и с помощью этой же функции интерполируется напряжённостьполя из узлов сетки в место нахождения частицы.∑︀∑︀В общем случае: = ( ) = ( − ), = ( ) = ∆ ( − ) следует определять таким∑︀образом,∑︀ чтобы сумма зарядов во всех узлах сетки равнялась суммарному заряду всех частиц ∆ = .(︃∆∑︁ ∑︁∆ ( − ) =∑︁ ;∑︁)︃∆∑︁( − ) − 1 = 0∑︁( − ) = 1 - условие на интерполяционную функциюТак как производная по времени от суммарного импульса системы частиц равна сумме сил, действу˜ющий на все частицы, получаем для дискретного аналога полного импульса системы :∑︁∑︁∑︁ ∑︁∑︁˜ ∑︁= = ∆ ( − ) = ∆ ( − ) = ∆ ⏟⏞Мы получили дискретный аналог скорости изменения суммарного импульса, что и означает сохранение импульса.1423.Доказать, каким условиям должна удовлетворять интерполяционная функция вметоде частиц для бесстолкновительной плазмы.Пусть частица с координатой передает часть своего заряда в -й узел сетки с помощью интерполяционной функции ( − ), и с помощью этой же функции∑︀ интерполируется напряжённостьполя из узлов сетки в место нахождения частицы.
= ( ) = ( − ). следует определятьтакимчтобы сумма зарядов во всех узлах сетки равнялась суммарному заряду всех частиц∑︀ образом,∑︀∆ = .(︃∆∑︁ ∑︁∆ ( − ) =∑︁∑︁∑︁ ;∆)︃∑︁( − − 1) = 0( − ) = 1 - условие на интерполяционную функцию(для линейной интерполяции очевидно.)24.Решение уравнения Пуассона для разных типов граничных условий при моделировании бесстолкновительной плазмы.2Уравнение Пуассона : 2 = −(,). Его разностный аналог (трёхточечная аппроксимация второй−2 +производной в левой части уравнения): +1 Δ2 −1 = −Уравнение решается при заданных граничных условия в точках 0 = 0 и = (M ячеек размером ∆ = / , расчётная область: 0 < < ).
В задачах динамики бесстолкновительной плазмына границах, как правило, задаются либо периодические гран условия, либо условия зеркальногоотражения, либо задаётся значения потенциала в граничных точках.В случае периодических граничных условий: 0 = , −1 = −1 . Последовательность действийпри решении уравнения Пуассона с использованием прямого и обратного быстрых преобразованийБПФОБПФФурье можно представить следующей схемой: () −−−→ () → () −−−−→ () → (). Длярешения конечно-разностного уравнения Пуассона используем дискретные преобразования Фурье.Начнём с преобразования Фурье к плотности заряда, определённого в узлах сетки, учитывая приэтом условие периодичности ( ) = ( + ):( ) = ∆−1∑︁( ) exp (− )=0Волновой вектор задается дискретным набором = (2/).
Обратное преобразование Фурьеопределяется выражением1( ) =/2∑︁=−/21( ) exp ( ) ; ( ) =/2∑︁=−/21( ) exp ( ) =/2∑︁( ) exp ( ∆)=−/2[︃]︃2 Δsin( )2( ) =; 2 = 2 Δ22Конечно разностное решение сходится к решению дифференциального уравнения при уменьшенииразмеров ячеек, когда ∆ → 0В случае зеркального отражения: −1 = 1 , −1 = +1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
