vmetf (810776), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тригонометрические множители в выражениях для и компонент определяют случайный наклонветора скорости по отношению к координатным осям. ˜ - средняя тепловая скорость, соответствующая температуре стенок ( = 0,1). Если частица отражается от правой стенки (индекс "1"), то к еетепловой скорости следует добавить скорость стенки: = (−˜12 ln 2 )1/2 cos (20 ) + 1 .
Случайныечисла 0 ,1 ,2 - разыгрываются для каждой молекулы заново.После того, как пробная молекула покидает стенку, необходимо вычислить длину пробега, чтобыопределить произойдет ли столкновение прежде, чем молекула пересечет первую зону. Вероятность того, что столкновение пробной молекулы произойдет на отрезке пути между и + :) = exp (−/, где - средняя длина свободного пробега пробной частицы, движущейся со скоростью ⃗ , которая считается постоянной в данной зоне. Случайное значение для длины свободногопробега подчиняется распределению: = − ln . После того, как разыграна длина свободногопробега, её сравнивают с расстоянием , которое молекула должна пройти до границы зоны.
в которой она находится. Если > , то частица помещается на границу со следующей зоной с прежнейскоростью, и процедура повторяется. В противном случае считается, что в рассматриваемой зоне происходит столкновение пробной частицы с фоновой, и вычисляются скорости столкнувшихся молекулпосле взаимодействия. Далее по новой скорости рассчитывается новая длина свободного пробега,производится сравнение срасстоянием до границы и повторяется вся описанная выше послдовательность действий. Так, пробная молекула передвигается из одной зоны в другую.
История пробноймолекулы заканчивается, когда она возвращается на поверхность, с которой вылетела.2533.Принцип получения макроскопических характеристик газа методом молекулярной динамики. Постановка задачи.В методе молекулярной динамики начальные значения координат частиц задаются либо случайнымобразом, либо, наоборот, частицы помещаются в узлы воображаемой периодической решетки. Начальные скорости обычно выбираются одинаковыми по абсолютной величине, но случайным образомраспределенными по направлениям в пространстве.
При этом полная кинетическая энергия должнасоответствовать заданной начальной температуре. После того как атомы сдвинутся(после первогошага по времени), система начнет релаксировать к равновесному состоянию, определению которогои является целью большинства задач.Принципы, заложенные в основу метода молекулярной динамики, чрезвычайно просты. Если намизвестен потенциал взаимодействия между молекулами, то можно определить силы, действующиена каждую частицу со стороны всех остальных молекул, и выписать уравнение движения для молекул.
Таким образом, задача сводится к численному решению системы этих уравнений и далее - квычислению макроскопических характеристик среды, исходя из распределения молекул в фазовомпространстве.Будем считать, что сила взаимодействия любых двух молекул зависит только от расстояния междуними. В этом случае полная потенциальная энергия определяется суммой двухчастичных взаимо∑︀действий: = * (12 ) + * (13 ) + ... + * (, −1 ) = * ( ), - расстояние между -ой и -ой̸=частицами. Такое приближение встречается достаточно часто, например, для описания взаимодействия инертных газов.За потенциал двухчастичного взаимодействияможно принять, в частности, хорошо известный потен[︁(︀ )︀(︀ )︀6 ]︁ 12*− .
Соответствующая этому потенциалу сила межциал Ленарда-Джонса: () = 4 [︁ (︀ )︀(︀ )︀6 ]︁* 122−. Зная зависимостьмолекулярного взаимодействия имеет вид: () = − () = 24силы, действующей на выбранную -ю частицу, от расстояния до остальных частиц, нетрудно получить суммарную силу взаимодействия на -ю молекулу со стороны всех остальных ( −1) молекулансамбля[︃ (︂)︂12 (︂)︂6 ]︃∑︁∑︁1 = 24 =2−=1,̸==1,̸=Если ограничить радиус действия межмолекулярных сил некоторым предельным значением * , тосумма в правой части будет содержать только слагаемые, для которых < * .Уравнение Ньютона для молекулы можно записать в виде[︃ (︂)︂12 (︂)︂6 ]︃∑︁ 1⃗⃗= ⃗ ; = ⃗ = 242−, <*Масштаб:доли мм,микроны.метод относится к стационарным задачам2634.Уравнения движения частиц в методе молекулярной динамики.При численном интегрировании уравнений динамики частиц необходимо применять методы повышенной точности по сравнению с теми, которые используют в методах частиц в ячейке для газодинамических и кинетических задач, т.к.
в методах частиц в ячейке информация, переносимая частицами интерполируется на каждом временном шаге в узлы пространственной сетки и, тем самымпогрешности в расчете динамики отдельных частиц усредняются по пространственным ячейкам, чтокомпенсирует отдельные численные флуктуации и, соответственно, подавляет нарастание неустойчивостей в системе.
В то же время в методе молекулярной динамики траектория каждой частицырассчитывается индивидуально на протяжении всего вычислительного процесса, при этом возникающие погрешности накапливаются и могут в конечном итоге существенно повлиять на качестворасчетов. В качестве алгоритма повышенной точности для решения уравнений[︃ (︂)︂12 (︂)︂6 ]︃∑︁ 1⃗⃗= ⃗ ; = ⃗ = 242−, <*предлагается алгоритм Верле. Выпишем разностную схему только для одной компоненты скорости,при этом опустим индекс и обозначим ⃗ = ⃗ /:11+ )+1 = + + 2 ; +1 = + (+122 Алгоритм Верле имеет третий порядок точности по координате и второй порядок по скорости и считается одним из самых "быстрых"в классе алгоритмов повышенной точности.
Последовательностьрасчетов в этом алгоритме такова: вначале по координатам, скоростям и ускорениям на -м временном шаге вычисляются координаты частиц на ( + 1)-м шаге. После этого по этим вычисленнымкоординатам вычисляются ускорения частиц на ( + 1)-м шаге, и по второму уравнению - скоростичастиц на ( + 1)-м шаге.Алгоритм Верле весьма распространен при решении уравнений движения взаимодействующих частиц, но его точность при численном моделировании наиболее тонких физических эффектов оказывается недостаточной.Выбирая один из методов интегрирования повышенной точности следует помнить о требовании экономичности, т.к.
высокоточные методы требуют выполнения большого количества операций.2735.Роль граничных условий в методе молекулярной динамики.Специфической особенностью метода молекулярной динамики является необходимость учета взаимовлияния сразу очень большого числа частиц. Сюда, в частности, относится проблема граничныхусловий.Пусть частиц находятся в объеме с характерным размером . Если при этом - плотность газаили жидкости, то ∼ 3 . Очевидно, что отношения числа частиц системы, находящихся вблизистенок , к общему числу частиц в объеме : / ∼ 2 /3 ∼ 1/ ∼ −1/3 .В реальной ситуации ∼ 1019 − 1023 , и доля пристеночных молекул по сравнению с общим количеством частиц пренебрежима мала. Поэтому не велика роль и граничных условий. В то же времяколичество частиц, которые можно изучать в методе молекулярной динамики обычно составляетпорядка 103 − 104 . Поэтому, помещая модельные частицы в резервуар с жесткими стенками, мырискуем серьезно исказить результаты моделирования из-за гипертрофированной роли граничныхэффектов.
Укажем, как можно ослабить эффект границы.Известно, что граничные эффекты оказывают минимальное влияние на макроскопические характеристики системы, в случае, если заданы периодические краевые условия. Поэтому при численноммоделировании большинства задач на решения уравнений движения накладываются периодическиеграничные условия: к координате каждой частицы добавляется величина, кратная = 1/3 , еслирасчетная область имеет кубическую форму. Чтобы удовлетворить периодическим гран условиям,требуется в одномерном случае 2 раза повторить расчетную область с имеющимся в ней распределением частиц, в двумерном случае потребуется 8 копий, а трехмерную область необходимо повторить26 раз. В результате, если одна из частиц покидает расчетную ячейку через какую-либо грань, то через противоположную грань в нее входит другая частица с тем же импульсом.
При этом плотностьэнергии системы сохраняется. Размер ячейки выбирается так, чтобы он был значительно большерадиуса действия потенциала * ≪ . В рассчетах силы, действующей на произвольную частицусо стороны другой, учитывается только та из множества вторых частиц (сама частица в расчетнойобласти плюс все ее копии), расстояние до которой получается наименьшим.2836.Построение TVD-схем с применением метода регуляризации.(мало используется) т.
Годунова: для линейных уравнений переноса среди линейных разностных схемне существует монотонных схем с порядком аппроксимации выше первого. Как из немонотоннойсхемы построить монотонную, сделав схему нелинейной ?+=0+1− − −1+=0∆не нарушили линейность. монотонная, первого порядка.+1− +1 − −1+=02∆немонотонная, 2 порядкакак мы определяли монотонность/немонотонность?Введем обозначения: −^ −−+1= ˆ , = , +12Δ−1 = , Δ−1 = ¯ , + ¯ ,нетрудно показать, что = ¯ + ∆¯^ −+ = 0+1 − −1 − −1 +1 − − + +1+1 − −1=+=2∆∆2∆2∆запишем вторую схему следующим образомˆ − + (¯ + ∆¯ )(︂)︂¯ˆ − + 1 + ∆¯¯⏟⏞**избавимся от возможности, что < 0 (если уж ошибаться, то хоть не с направлением) ¯¯→ ¯ 2¯|¯ |введем регуляризатор(︂)︂¯ ¯ˆ − + 1 + ∆¯ = 0|¯ |2 + 2 ∆2 |¯ |2|¯ |2 + 2 ∆2 |¯ | + ∆¯ ¯ > 0[︂]︂∆2∆222(¯ ) −(¯ )2 + 2 ∆2 |¯ |2 > 0(¯ ) + ∆¯ ¯ +44⏟⏞полн.квадр.>0 2 > 14 , >122937.Построение TVD-схем путём ограничения полной вариации.второй подход (широко используется).
введем понятие полной вариации ( ) =+∞∑︁|+1 − |=−∞ (+1 ) ≤ ( )так можно перестроить почти каждую схему для примера возьмем схему Лакса Вендроффа+1− +1 − −1 1 2 +1 − 2 + −1= −+ 2∆2∆2Введем вспомогательное соотношение:+ 1 = 0.5(1 − )(+ 1 − )22Тогда схема запишетсяв виде: = Δ(︁)︁−)+−−(+1=−1−1/2+1/2Видоизменим функцию следующим образом (введем управляющий параметр): + 1 = 0.5(1 −2)( )(+ 1 − )= −−1+1 −2Функцию ( ) зададим следующим образом:⎧⎪⎨(2,), > 1( ) = (2, 1), 0 < < 1⎪⎩0, < 0Пусть > 1 и > 2 ⇒ () = 2|1 − −1 | > |+1 − |(+1 − −1 )+1= − 2Δ3038.Построение разностных схем с заданными свойствами (уменьшение схемной вязкости) Хотим минимизировать схемную вязкость.+1 − +1− − 122= −∆=Δ{︃+1 =2−1 + (1 − − ) + +1 , > 0+2 + (1 − − )+1 + , < 01) = 0, = 21 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
