vmetf (810776), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Процессрассматривается на дискретных временных шагах. Центры масс при этом перемещаются в пространстве, подчиняясь соответствующему уравнению движения. Вместе с ними переносятся определенныев этих центрах газодинамические параметры системы. Чтобы получить значения параметров в каких либо точках пространства, на новом временном шаге эти параметры интерполируются в соответствующие точки с заданной весовой функцией. Если (⃗′ ,) - какой-либо параметр, определенныйв точках ⃗′ , то значение этого параметра в точке ⃗ вычисляется какˆ(⃗,) = (⃗,⃗′ )(⃗′ ,) ⃗′ (⃗,⃗′ ) - весовая функция. Условия на интерполяционнное ядро:∙ сглаживающая функция должна быть сферически симметрична∙ быстро стремится к нулю при удалении от центра´∙ отвечает условию нормировки (,′ )′ = 12В качестве ядра может быть использована, например, функция Гаусса: = 1 − , = /ℎ, =|⃗ − ⃗′ |, - нормировочный коэффициент, ℎ - параметр "размазки"Пусть теперь (⃗′ ,) задана в дискретных точках области , которые мы будем считать центрамимасс макрочастиц: = (⃗ ,), 1 ≤ ≤ .
Тогда интерполяционная формула в произвольной точкепространства может быть представлена в дискретном виде:ˆ(⃗′ ,) ′ ∑︁⃗ = (⃗,⃗ ) ; = ∆′ ∆ ′ ∆ ′ (⃗,⃗ )(⃗ ,)′(⃗ ,)=1′(⃗,) =′Найдем пространственные производные функции: (⃗,⃗ )(⃗,) ∑︁==1очевидно по и по вычисляется аналогичным образом714.Вывод уравнений плотности, скорости и энергии для сглаженной частицы.Запишем систему уравнений газовой динамики в Лагранжевых переменных:⎧⎪= −div ⃗⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⃗ = − 1 ∇⎪⎪⎪⎪= − div ⃗⎪⎪⎪⎪⎩ = (,)Берем рассчетную область, разбиваем ее на отдельные ячейки, выбираем центр масс ячеек. В каждом центре масс задаем плотности, давления, скорости и внутренние энергии.Ищем величины в точках по точкам с помощью интерполяционной функции и ее пространствен∑︀∑︀ (⃗,⃗ ),)= ных производных: (⃗,) = (⃗,⃗ ), (⃗=1=1 =∑︁ (⃗ ,⃗ ) ==1∑︁ =1Хотим интерполировать градиенты. Чтобы это сделать, перепишем уравнение следующим образом:= −div ⃗ + ⃗∇ = −∇(⃗) + ⃗∇отнесем уравнение неразрывности к точке пространства, совпадающей с центром масс -ой частицы= −∇(⃗) + ⃗ ∇и выразим производные ∇(⃗ ) и ∇∇(⃗ ) =∑︁ ⃗ ∇ ; ∇ ==1∑︁ ∇ =1подставим это в уравнение: ∑︁= (⃗ − ⃗ )∇ =1Аналогичным образом выводятся уравнения для скорости и внутренней энергииПредставим уравнение для импульса в виде:⃗= −∇(︂ )︂(︂ )︂∑︁− 2 ∇ ; ∇= 2 ∇ =1тогда уравнение для скорости приобретает вид:(︂)︂∑︁⃗=−+ 2 ∇ = ℱ2=1Перейдем к уравнению энергии: ∑︁= − 2 [∇(⃗) − ⃗∇] ;= 2 (⃗ − ⃗ )∇ =1815.Уравнения движения и ограничения на шаг по времени для сглаженных частиц.)︂(︂∑︁=−+ 2 ∇ = ℱ2=1Для интегрирования по времени обычно используется какая-либо экономичная разностная схема,например схема leap-frog:⎧11⎨ ⃗+ 2 = ⃗− 2 + ℱ ⎩ ⃗+1 = ⃗ + ⃗+ 12 {︁}︁Шаг по времени задается переменным и выбирается из условия < 0.5∆, ∆ = min |ℎ | , ℱℎ , ℎ , = 1,2,..., .(это писать/говорить не обязательно: Следует помнить также о следующих физических соображениях.
Возмущение в задаче переносится со скоростью звука (рассматриваем не сверхзвуковые процессы), но в схеме - "мгновенно". И это проблема. Шаг по времени не должен быть слишком маленьким.Но в конечном итоге этот вопрос надо рассматривать с привязкой к сфере влияния, ведь именно нанее должно успеть распространиться возмущение, так как мы учитываем только зваимодействиерассматриваемой частицы с частицами, находящимися в ней.)916.Математическая модель динамики бесстолкновительной плазмы.В физической кинетике для описания взаимодействия частиц друг с другом вводится понятие "столкновений". Если столкновениями в системе можно пренебречь (эффективная частота соударениймала, по сравнению с характерной частотой изменения внешнего поля; длина свободного пробегавелика, по сравнению с характерной длиной волны поля), то для функции распределения ( = (,,, , , ) ) справедлива теорема Лиувилля, согласно которой вдоль траектории частиц сохраняется полная производная от функции распределения / = 0.
Дифференцируем (⃗,⃗ ) как сложную функцию и подставляем:⃗⃗+ ∇ + ∇ = 0Координаты ⃗ и скорости ⃗ вдоль траекторий частиц связаны уравнениями движения:⃗⃗⃗= ⃗ ;=Поскольку частицы не взаимодействуют друг с другом, их скорость вдоль траектории сохраняется и⃗ = 0. Однако если все частицы находятся в некотором внешнем силовом поле с потенциалом (⃗),то ⃗ = ∇ ̸= 0. Уравнение Лиувилля (оно же уравнение Власова, оно же бесстолкновительноеуравнение Больцмана) приобретает удобный для численных рассчетов вид:⃗+ ⃗ ∇ + ∇ = 0В плазме силами межчастичного взаимодействия являются дальнодействующие кулоновские силы.Поэтому каждая частица плазмы движется под действием суммарной силы со стороны коллективаокружающих ее частиц. При этом в среднем по времени действие этой суммарной силы превосходитвзаимодействие частицы со своими близжайшими соседями при их приближении на близкое расстояние. В случае достаточно разреженной взаимодействием отдельных частиц на близком расстоянии,т.е.
столкновениями, можно пренебречь, считая что на все частицы плазмы действует электромагнитное поле, создаваемое совокупностью этих же самых частиц. Т.е. частицы плазмы находятсяв самосогласованном поле, которое определяет их движение и в свою очередь само определяетсявзаимоположением электронов и ионов плазмы, формирующих плотность заряда и токи в среде.Получаем систему кинетических уравнений многокомпонентной плазмы.(︂)︂⃗1⃗⃗⃗+ ⃗ ∇ +∇ = 0 ; = + [ ,]Это уравнения Власова.
Они решаются совместо с системой уравнений Максвелла.Чтобы избежать излишней сложности, основные подходы к численному моделированию бесстолкновительной плазмы мы в дальнейшем будем рассматривать на примере плазмы с одним сортом ионовв самосогласованном электрическом поле в одномерной постановке.⎛ ∞⎞ˆˆ∞ +−=0;++=0;= 4 ⎝ − ⎠ −∞−∞⃗ = −∇, то уравнение для поля принимает вид:Если ввести потенциал электрического поля ⎛ ∞⎞ˆˆ∞2 = −4 ⎝ − ⎠2−∞10−∞17.Метод частиц в ячейке для численного моделирования бесстолкновительной плазмы. Постановка задачи.Динамика высокотемпературной плазмы в электромагнитном поле определяется сложными нелинейными процессами развития целой серии плазменных кинетических неустойчивостей с последующимвыходом системы на соответствующее квазистационарное состояние.
Искомая функция распределения определена в фазовом пространстве, где координатами являются как пространственные координаты, так и скорости. Любая выделенная в начальный момент конфигурация в фазовом пространствев процессе развития плазменных неустойчивостей имеет тенденцию к усложнению.В области физического пространства задается эйлерова сетка. В начальной момент в каждой ячейке сетки размещаются частицы с заданным отношением заряда к массе, моделирующие электронную и ионную компоненты.
Каждой частице приписываются координата и скорость таким образом,чтобы распределение макрочастиц наилучшим образом соответствовало заданному начальному распределению частиц плазмы в фазовом пространстве координат - скоростей. Далее заряды частицинтерполируются в узлы пространственной сетки и, если необходимо, на сетке вычисляются такжетоки, создаваемые усредненным движением заряженных частиц.
Используя вычисленные в узлахсетки плотности зарядов и токи, численно решается система уравнений Максвелла. Далее решаетсясистема уравнений движения частиц, в которой силой, действующей на каждую частицу, являетсясила Лоренца, рассчитываемая по характеристикам поля, определяемым из уравнений Максвелла.По новым координатам частиц вычисляются новые характеристики поля в узлах сетки, и процессповторяется. Зная на каждом временном шаге координаты и скорости частиц, можно восстановитьфункции распределения компонент плазмы, а также все характеристики электромагнитного поля,создаваемого заряженными частицами.Рассмотрим алгоритм применительно к простейшей одномерной задаче - расчету динамики электронионной плазмы в самосогласованном электростатическом поле.
Ей соответствует система уравненийВласова - Максвлла. При ее решении удобно перейти к безразмерным переменным. Выберем заединицу времени обратную электронную плазменную частоту, соответствующую средней невозмущенной плотности электронов, за единицу длины - начальный дебаевский радиус, за единицу заряда- абсолютную величину заряда электрона, за единицу массы - массу электрона. Тогда скорости частиц будут измеряться в единицах , а напряженность электростатического поля в единицах40 , где 0 - невозмущенная электронная плотность.
Уравнения примут вид:⎛ ∞⎞ˆˆ∞ +−=0;++=0;= 4 ⎝ − ⎠ /0 −∞−∞Последнее уравнение можно переписать в виде: = (,) − (,) ≡ (,), где (,) - безразмерная плотность заряда,(︂)︂ отнесенная к невозмущенной плотности электронной компоненты: (,) =´∞´∞ − /0 .−∞−∞Перейдя в уравнении для поля от к , можно использовать уравнение Пуассона:1122= −(,)18.Задание начальных данных и граничных условий при численном моделированиибесстолкновительной плазмы. 2+−=0;++=0;= −(,) 2Данная система уравнений решается при заданных начальных и граничных условияз. При решениикинетических задач в качестве начальных условий задаются функции распределения частиц каждогосорта по скоростям (,0) и плотность частиц в пространстве (,0),( = ,).
Обычно начальные22распределения(︀ представляютсяв простой аналитической форме, например: (,0) = 0 − /20 ,)︀ /0 , −∞ < < +∞, 0 ≤ ≤ . 0 , 0 , 0 , , - заданные постоянные. (,0) = 0 1 + cos 2[︂ ∞]︂−1´ −2 /220 Для электронейтральной плазмы 0 = 0 ≡ 0 . 0 =, 0 < < 1, - целое.−∞Очевидно, что начальные скорости и координаты частиу следует завадать так, чтобы удовлетворить начальным распределениям. Это можно достичь, используя датчики случайных чисел с соответствующими законами распределения.
Предположим, что мы должны распределить скорости частиц в соответствии с распределением (). Построим интегральную функцию распределения:´ ( ′ ) ′ . Здесь - максимальная по абсолютной величине скорость частиц при за() =−дании начальных данных. Для того, чтобы при переходе к конечным пределам интегрированияне нарушить условиенормировки,нормирующий множитель 0 также следует пересчитать в этих[︃]︃−1´ ()пределах 0 =. (− ) = 0,( ) = 1.
Пусть - случайные величины с равно−мерным распределнием в интервале 0 < < 1. Если теперь ( ) приравнять к и разрешить эторавенство относительно , то набор чисел { } будет удовлетворять распределению (). На практике выбирается случайных чисел { }, распределяются в порядке возрастания и последовательновычисляются чисел . По факту задача сводится к численному интегрированию с последовательным увеличением верхнего предела интегрирования.Описанный алгоритм аналогичным образом применяется к заданию начальных координат частиц судовлетворением распределению (,0). При не слишком большом числе модельных частиц это приводит к большим флуктуациям плотности, что существенно искажает искомое решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
