saveliev2 (797914), страница 37
Текст из файла (страница 37)
134). Начнем тормозить его с ускорением тч. Продолжая двигаться по инерции, носители заряда приобретут относительно проводника ускорение — эг. Такое же ускорение можно сообщить носителям в неподвижном проводнике, если создать в. нем электрическое поле напряженности Е = — —, э'о — -ш т. е, приложить к концам проводника разность потен- тщ1 рис. !34. цналов 0 = 1Е = —— э' (1 — длина проводника, гп — масса, а е' — заряд носителя).
В этом случае по проводнику потечет ток силы и 1 = †, где Й вЂ” сопротивление проводника. Следователь. тельно, за время пт через каждое сечение проводника пройдет заряд ему и! й~ = (гй = — —, сИ вЂ” —, гЬ. е'Й е'и За все время торможения пройдет заряд д=~ Ид=- ~ —,и'о= — —. (69.!) Гт1 мйм 3 е'И 8' Й Величины д, 1, оа и Я поддаются измерению. Таким образом, затормозив проводник и измерив проходящий при этом в цепи заряд„можно найти удельный заряд носителей.
Направление импульса тока даст знак носителей. Первый опыт с ускоренно движущимися проводниками был поставлен в 1913 г. Мандельштамом и Папалекси. Они приводили катушку с проводом в быстрые крутильные колебания вокруг ее оси. К концам катушки подключался телефон, в котором был слышен звук, обусловленный импульсами тока.
,Количественный результат был получен Толменом и Стюартом -в 1916 г. Катушка из провода длиной 500 м приводилась во вращение, при котором линейная скорость витков составляла 300 м/сек Затем катушка резко тормозилась и с помощью баллистического гальванометра измерялся заряд, протекавший в цепи за время торможения. Вычисленное по формуле (69.1) значение удельного заряда носителей получалось очень близким к е/и для электронов. Таким образом, было экспериментально доказано, что носителями тока в металлах являются электроны. Ток в металлах можно вызвать весьма малой разностью потенциалов. Это дает основание считать, что носители тока — электроны перемещаются по металлу практически свободно.
К тому же выводу приводят и результаты опыта Толмена и Стюарта. Существование свободных электронов можно объяснить тем, что при образовании кристаллической решетки от атомов металла отщепляются слабее всего связанные (валентные) электроны, которые становятся кколлектнвной собственностью> всего куска металла. Если от каждого атома отщепится по одному электрону, то концентрация свободных электронов (т. е. их число л в единице объема) будет равна количеству атомов в единице объема. Произведем оценку н.
Число атомов в еди- Ь нице объема равно — У, где б — плотность металла, А р — масса кнлограмм-атома, /Уз — число Авогадро. Для металлов значения б/и заключены в пределах от 20 клоль/и' (для калия) до 200 клюнь/мз (для бериллня). Следовательно, для концентрации свободных электронов (илн, как их еще называют, электронов проводимости) получаются значения порядка и= 10 —:- 10' м (10 —: 10" см '). (69.2) $70. Элементарная классическая теория металлов Исходя из представлений о свободных электронах, Друде разработал классическую теорию металлов, которая затем была усовершенствована Лоренцем.
Друде предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя подобно молекулам идеального газа. В промежутках между соударениямн они движутся совершенно свободно, пробегая в среднем некоторый путь Х. Правда, в отличие от молекул газа, пробег которых определяется соударениямн молекул друг с другом, элек- 240 троны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами, образующими кристаллическую решетку металла. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решеткой.
Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, оценку средней скорости теплового движения электронов можно произвести по формуле (см. т. 1, формулу (1ОБ.12Ц (70.1) Для комнатной температуры (-300' К) вычисление по этой формуле приводит к следующему значению: б= у ' ' = 10' м/сск. Гз >,зз ю " зоо з,и озн >о->с При включении поля на хаотическое тепловое движение, происходящее со скоростью (70.!), накладывается упорядоченное движение электронов с некоторой средней скоростью й. Величину этой скорости легко оценить, исходя из формулы, связывающей плотность тока 1 с числом л носителей в единице объема, их зарядом е и средней скоростью й: (70.2) (=лей.
Предельная допустимая техническими нормами плотность тока для медных проводов составляет около 10 а/льчз = 10> а/мз. Взяв для п значение 10э' см з = = 10~э м-з, получим 1 >о -з й = — = = 1О л/сек. еи >,б. 10 'э ° >оз> Таким образом, даже при очень больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения зарядов (й) в 10з раз меньше средней скорости теплового движения (й).
Поэтому при вычислениях модуль результирующей скорости 1ч+ и ! всегда можно заменить модулем скорости теплового движения ! ч 1. >ч и В совеп.в,ъп 241 Найдем вызванное полем изменение среднего иначе. ння кинетической энергии электронов. Средний квадрат результирующей скорости равен (ч + н)'- чз+ йтн+ нз = из+ йт н+ йз'). Но среднее значение ч равно нулю (см. $3!). Поэтогну (и+н)'= а+из Следовательно, упорядоченное движение увеличивает кинетическую энергию электронов за в среднем на Ьер= (70.3) Закон Ома.
Друде считал, что сразу после очередного соударения электрона с ионом кристаллической решетки скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение, равное еЕ/т, и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет в среднем значения (70.4) где т — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределения электрбнов по скоростям н приписывал всем электронам одинаковое значение скорости о. В этом приближении Л о' где Л вЂ” среднее значение длины свободного пробега„ и — скорость теплового движения электронов (мы воспользовались тем, что )и+ н) практически равен )т)), Подставим это значение т в формулу (70.4): (70.5) ') Если две случайние величины а и Ь везависнны друг от друга (что справедливо для скоростей й н «), то среднее значение их произведения равно произведению средних аначеяий из=о Ь.
Скорость и изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального: 1 ейЛ Й= — Й мее 2„ Подставив это выражение в формулу (70.2), получим Л (= — Е, 2еиг Если бы электроны не сталкивались с яонами решетки, длина свободного пробега, а следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соудареннями свободных электронов с ионами, помещающимися в узлах кристаллической решетки металла.
Закон Джоуля — Ленца. К концу свободного про. бега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию, средняя величина которой согласно формулам (70.3) и (70.5) равна — ий, „еЛ -2 22 Ьее "'" = — Ет. 2 2иФ (70.7) Столкнувшись с ионом, электрон по предположению полностью теряет приобретенную им за время пробега скорость, т. е.
передает энергию (70.7) кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, проявляющееся в его нагревании. Каждый электрон претерпевает за секунду в среднем 1/т = о/Л соударелий, сообщая всякий раз решетке энергию (70.7). Следовательно, в единице объема за единицу времени должно выделяться тейло 1 — иееЛ га = п — Ьзе = — Ее, т 2ие 1бе Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля. Следовательно, мы получили закон Ома. Согласно (33.4) коэффициент пропорциональности между 1 и Е представляет собой проводимость ие% о=в 2ИР ' где и — число электронов проводимости в единице объема. Величина ш есть не что иное, как удельная мощность тока (см. 3 34).
Мноиситель при Ез совпадает со значением (70.6) для о. Таким образом, мы пришли к выражению (34.5) закона Джоуля — Ленца. Закон Видемана — Франца. Из опыта известно, что наряду с высокой электропроводностью металлы отличаются также большой теплопроводностью. Видеман и Франц установили в 1853 г, эмпирический закон, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности и к коэффициенту злектропроводности о для всех металлов приблизительно одинаково и изменяется пропорционально абсолютной температуре. Так, например, при комнатной температуре это отношение равно для алюминия 5,8 ° 10 е, для меди 6,4 10-' н для свинца 10 — г дж ам сеа град ' Способностью проводить тепло обладают и неметаллические кристаллы, Однако теплопроводность металлов значительно превосходит теплопроводность диэлектриков.
Из этого можно заключить, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а электронами. Рассматривая электроны как одноатомный газ, для коэффициента теплопроводности можно заимствовать выражение кинетической теории газов (см. т. 1, формулу (113.6)) 1 к = — ллсойсг з (через пт обозначена плотность газа, вместо Р взято о). Удельная теплоемкость одноатомного газа равна 3 я 3 а с, — — = — —.
Подставляя зто значение в выраже- 2 и 2т' ние для и, получим н = — л1гиХ. ! 2 Разделим и на выражение (70.6) для о х Ьпо' о ег тот 3 Произведя замену —, = —, лТ, приходим к соотно- 2 2 шению которое выражает закон Видемана — Франца. Подставив й = 1,38. !0 2' дж/град и е = 1,60 10 'в к, получим — 2,23 ° 10 Т. При Т = 300' К для отношения х/о получается значе— 6 дЖ ОМ ние 6,7 ° 10, д, очень хорошо согласующееся с сеа град ' экспериментальными данными (см.
приведенные выше значения для А1, Сп и РЬ). Однако, как выяснилось впоследствии, столь хорошее совпадение оказалось случайным, ибо когда Лоренц уточнил расчеты, учтя распределение электронов по скоростям, для отношения х/о полу/в~2 чнлось значение 21 — 1 Т, которое хуже согласуется с данными опыта '). Итак, классическая теория смогла объяснить законы Ома и Джоуля — Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана — Франца. Вместе с тем эта теория встретилась с весьма существенными затруднениями. Из них основными являются два.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
