saveliev2 (797914), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Рассмотрим распределение электронов по уровням зоны проводимости в металле. При абсолютном нуле на каждом нз Ф/2 нижних уровней будет находиться по два электрона, остальные уровни будут свободны. Такоераспределение показано на рис. !38 сплошной линией. По оси ординат отложено число электронов на данном уров- не [смысл обозначения 21(Щ станет ясен в дальнейшем1. В качестве индекса для обозначения уровня использована его энергия %'.
Собственно, в соответствии с тем, что уровни энергии дискретны, распределение изображается слева от 1Р',х совокупностью точек сординатой 2, а справа от (р „х — точками с ординатой О. Но так как расстояния между уровнями очень малы, эти точки располагаются весьма густо и образуют сплошную линию. и .. 1ЗЗ. Для верхнего заполненного при абсолютном нуле уровня квантовая теория дает значение В',„= — (Зпсп)"з, где й = 1,05 10-'4 дж*сек, л4 — масса электрона, ив число свободных электронов в единице объема.
Принимая и = 10хэ м з, получим Ю,44„= ' (3 3,14 ° 10 ) ~ =1,25.10 ~ дж = 8 эв. 2.0,91 ° 10 44 Если бы уровни зоны распределялись по осн энергии с постоянной плотностью (т. е. число уровней д», приходящееся на интервал энергий 4Пр, не зависело от ях)„ среднее значение энергии электронов было бы равно половине максимального. В действительности, плотность уровней пропорциональна3/Т1 , т.
е. 41» 'Г' 1Г 4(йх. Вычисления дают для средней энергии электронов прн абсо- 3 лютном нуле значение В' —. (Р„,„. Следовательно, даже при 04К электроны проводимости в металле обладают огромной кинетической энергией, равной в среднем примерно 5 эв.
Чтобы сообщить классическому электронному 201 газу такую энергию, его нужно нагреть до температуры порядка четырехсот тысяч градусов Кельвина. Столь же быстро движутся и валентные электроны в изоляторах. Однако они находятся в таких условиях, что электрическое поле не может изменить их состояние и 'вызвать преобладание движения в одном направлении. Выясним, какова. вероятность нахождения электронов на различных уровнях при температурах, отличных от 0'К.
В классической физике распределение частиц по состояниям с различной энергией характеризуется функцией Больцмана: [в ())7) = Ае ег (71.1) где А — коэффициент пропорциональности [ср. т. 1, формула (-109.6)). Эта функция определяет вероятность того, что частица будет находиться в состоянии с энергией В'. Распределение (71.1) было получено в предположении, что в каждом состоянии с данной энергией может находиться неограниченное количество частиц '). Функция распределения, учитываюшая принцип запрета Паули, была найдена Ферми. Она имеет вид 1 1(~ ) и-тт )уаг е( л +1 (7!.2) Здесь О7 — энергия данного уровня, Р7~ — параметр системы, называемый уровнем Ферми.
Функция (71.2) дает вероятность заполнения электронами данного уровня. Легко убедиться в том, что сплошная кривая на рис. 138 с точностью до множителя 2 совпадает с графиком функции (71.2) для Т = О. В самом деле, в этом случае 1(й7)= 1, если йт< 67л и 1(1(7)=О, если (Р') И7„. Таким образом, при О'К уровень Ферми совпадает с верхним заполненным электронами уровнем %', Йля Ю' = )т'л функция (71.2) при любой температуре имеет значение, равное 1)з. Следовательно, уровень Фер- ') При Т О функция (71.1) обращается в нуль нри всех значениях энергия, кроме й7 = О.
Это означает, что все частицы долж-. ны находиться на нулевом уровне. ми совпадает с тем энергетическим уровнем, вероятность заполнения которого равна половине .(на таком уровне в среднем находится один электрон). Значение Итг можно найти из условия ~ч,. 2((Уь) = У гце Ф вЂ” полное число валентнын электронов в кристал.
ле. Каждое слагаемое представляет собой среднее число электронов на А-м уровне. Суммирование производится по всем уровням валентной зоны и остальных лежащих над ней зон. Уровни в пределах разрешенных зон лежат очень густо. Поэтому сумму (71.3) моягно заменить интегралом. Всем уровням, лежащим в пределах небольшого интервала энергий тИ7, можно приписать одинаковую занятость 21(Ю). Если плотность уровней равна й(В), число их в интервале НГ составит й(И~)г()р.
На долю этих уровней придется в среднем йЧи = 21'(((г)а(йг)Н(Р электронов, А полное число электронов на всех уровнях должно быть равно ~д)Уэг= ~2((Ят)д()Р)П(Р'= ~ ~ . =й. (71.4) о а Зная вид д(ЪГ), можно вычислить интеграл (71А) (для интервалов энергий, соответствующих запрещенным зонам, а()Р) следует положить равной нулю). Получившееся выражение будет содержать )Рг и Т.
Следовательно, для данного Й можно найти (гл как функцию Т. Выражение (71.4) представляет собой по существу условие нормировки функции 1()Р) (см. т. 1, $106, текст, предшествующий формуле (196.7)]. Вычисления, проведенные для металлов, показывают, что 1р„слабо зависит от температуры, так что значения уровня Ферми при не слишком высоких температурах (если ИТ<<В'го) мало отличаются от значения %';з при абсолютном нуле. При температурах, отличных от 0'К, распределение, описываемое функцией (71.2), имеет вид, показанный на рнс.
138 пунктирной кривой. Ордината кривой характеризует среднюю по времени занятость уровня; поэтому, например, ордината, равная 0,25, означает, что '44 времени уровень занят одним электроном (или '/з — двумя), а остальное- время пуст'ует. В области больших энергий (т. е. при йà — )Р~ >> ЙТ, что выполняется в области «хвоста» кривой распределения) единицей в знаменателе ' можно пренебречь. Тогда функция (71.2) принимает вид м-згр м 7(И') = е "' =сопз1 е ьг, (71.5) т.
е. переходит,в функцию (71.!) распределения Больцмана. Распределение электронов по уровням можно сделать очень наглядным, изобразив, как это сделано на рис. 139, кривую распределения Ферми совместно со схемой энергетических зон. Чем выше температура, тем более полого идет ни.
спадающий- участок кривой. Однако заметное отличие распределения при температуре Т от распределения при О'К наблюдается лишь в области порядка ИТ. СлеФПг7 довательно, тепловое дви- жение влияет на кинетичегис. 1И. скую энергию лишь неболь- шой части всех электронов. Поэтому средняя энергия электронов слабо зависит от температуры, Этим объясняется тот факт, что электроны проводимости не вносят заметного вклада в тепло- емкость металла. Таким образом, квантовая теория устраняет одно из основных затруднений, которого не могла преодолеть классическая теория. Для зависимости электропроводности металла от температуры квантовая теория также дает хорошо согласующиеся с опытом результаты. 2 72. Полупроводники Полупроводники обязаны своим названием -тому обстоятельству, что по величине электропроводности они ааннмают промежуточное положение междумегаллами и изоляторами.
Однако характерным для иихяв- ляется не величина проводимости, а то, что их проводимость растет с повышением температуры (напомним, что у металлов она уменьшается): Полупроводниками являются вещества, у которых валентная зона полностью заполнена электронами (см.
рис. 137,6), а шири. на запрещенной зоны невелика (у собственных полупроводников не более 1 ээ). Различают собственную и примесную и р о води мости полупроводников. еееа грютйеаазж Яатееиеееие ееее Рис, 140. Собственная проводимость. Собственная проводимость возникает в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в зону проводимости. При этом в зоне проводимости появляется некоторое число носителей тока — электронов, занимающих уровни .вблизи дна зоны; одновременно в валеитной зоне освобождается такое же число мест на верхних уровнях. Такие свободные от электронов места на уровнях заполненной при абсолютном нуле валентной зоны называют дырками. Распределение электронов по уровням валентной зоны н эоны проводимости определяется функцией Ферми (71.2). Вычисления по формуле (71.4) 'показы. вают, что уровень Ферми лежит точно посредине запрещенной зоны (рис.
140). Следовательно„для электронов, перешедших в зону проводимости, величине Ф' — йте мало отличается от половины ширины запрещенной зоны. Уровни зоны проводимости лежат на хвосте кривой распределения. Поэтому вероятность их заполнения электронами можно находить по формуле (71.5). Полагая в этой формуле Яà — («'г — — Л)Р/2, получим лм 1 ((1г) с ыг (72.1) Количество электронов, перешедших в зону проводимости, будет пропорционально вероятности (72.1).
Эти электроны, а также, как мы увидим ниже, образовавшиеся в таком же числе дырки, являются носителями тока. Поскольку проводимость пропорциональна числу носителей, она также должна быть пропорциональна выражению (72.1). Следовательно, электропроводность полупроводниковбыстро растет с температурой, изменяясь по закону д а=о«е ы' (72.2) Рчс !4!. где Л11« — ширина запрещенной зоны. Если на графике откладывать зависимость !по от ()Т, то для полупроводников получается прямая линия, изображенная на рис.
141, По наклону этой прямой можно определить ширину запрещенной зоны Л(Р. Тнпичныын полупроводниками являются элементы 1У группы периодической системы Менделеева — германий и кремний. Оии образуют решетку, в которой каждый атом связан ковалентными (парно-электроняымя) связями (см. т. 1, 5 139) с четырыяя равноотстоящими от него соседними атомами. Условно такое взаимное расположение атомов можно представить в виде плоской структуры, изображенной на рис. 142. Кружки со знаком «+» обозначают положительно заряженные атомные остатки (т. е. ту часть атома, которая остается после удаления валентных электронов), кружки со знаком « †» — валентные электроны, двойные линии — ковалентные связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
