saveliev2 (797914), страница 32
Текст из файла (страница 32)
цией (см. рис. 103) от ! (через Н), и, поскольку В= = )го)зН, зависимость Ч' от ! также будет довольно сложной. Однако соотношение (59.1) распространяют и на этот случай, считая индуктивность Ь функцией от !. При неизменной силе тока ! полный поток Ч' может изменяться за счет изменений формы и размеров контура.
Из сказанного следует, что индуктивность 1. зависит от геометрии контура (т. е. его формы и размеров) и от магнитных свойств (от р.) окружающей контур среды. Если контур жесткий и поблизости от него нет ферромагнетиков, индуктивность 1. будет постоянной величиной, За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 а возникает полный поток Ч', равный 1 вб. Эту единицу называют генри (гн).
Выражение, определяющее индуктивность (.„имеет в гауссовой системе едшнщ внд Ч' 'Р = — = с —.. (!)с) ! ' Чтобы найти размерность величины (59.2), воспользуемся тем, что в гауссовой системе В имеет размерность, равную согласно (49.5) размерности силы тона 1, деленной иа размерность с и на азмерность длины (последнюю мы будем обозначать символом ))).
Следовательно, [Ц - [с1 —. - И вЂ” [с) . - [)). [ч') [в[ [з) [в) [!)з [!1 [г) [!) Таким образом, в гауссовой системе индуктивность имеет размерносп длины. В соответствии с этим единицу индуктивности в втой системе называют сантиметром. Индуктнвностью а 1 см обладает такой контур, с которым при силе тока в 1 СГСМ-единицу (т. е. 1О а) сцеплен поток, равный 1 мкс (!О ' вб). ') Устаревшее название втой величины — коэффициент само- индукции.
Между единицами Е в СИ и в гауссовой системе имеется следующее соотношение: 1 гн 1 вб 10т мкс 1 а О,! СГСМ 1О' см. (бз.з) Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соленоид такой длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При протекании по нему тока 1 внутри соленоида возбуждается однородное поле, магнитная индукция которого согласно формулам (42.6) и (44.24) равна В = »го»гпй Поток через каждый из витков будет Ф = ВВ, а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом, равен Чг = 11Ф = п1ВБ = рс»апЧБ1, где 1 в длина соленоида (которая предполагается очень большой), В в площадь поперечного сечения, и — число витков на единицу длины (произведение п1 дает полное.
число витков »т). Сопоставляя (59.4) с (59,1), получаем для индуктивности очень длинного соленоида следующее выражение: Е = р рпЧЯ = »гс»гпт»' (59.5) где Р = 1 — объем соленоида. Заменив в (59.5) и через )т11, получим Ь=»ьй —,В, »ут (59.6) В гауссовой системе формула для иидуктивности соленоида имеет следующий вид: Е = 4пват18. (бй.т» В соответствии с (59.6) размерность ро равна размерности индуктивности, деленной иа размерность длины (напомним, что относительная магнитная проницаемость »г — безразмерная величина). Следовательно, в СИ ро измеряется в генри на метр (см. (38.3)).
Прн изменениях силы тока в 'контуре возникает з.д.с. самоиидукции д'„равная (см. формулу (56.11)) д' = — — = — — = — ~Š— '+1,— ). (59.8) аУ а(е1) / еп . ае т и лч '1 а .'Пг )' Если Е при изменениях силы тока остается постоян« ной (что, как уже отмечалось, возможно лишь при отсутствии ферромагнетиков), выражение для еТ, имеет внд ~ дг (59.9) В гиуссоиоа системе Ю = — — й —. 1 гн ст ос (ов.10) Соотношение (59.9) дает возможность определить индуктивность Ь как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в контуре и возникающей вследствие этого э. д. с.
самоиндукции. Однако такое определение правильно лишьвслучае,когда Е = сопи!. В присутствии ферромагнетиков Е недеформируемого контура будет функцией от 1 (через Н); сле- Ж Ж Ж доаательно — можно записать как —.—. Произведя о1 сд мт ' такую подстановку в формуле (59.8), получим (59.11) откуда видно, что при наличии ферромагнетиков коэфгд фициент пропорциональности между — н Р, отнюдь не равен Е. В случае, когда 1. сопя(, изменение силы тока со скоростью ! а/сек в проводнике с Е = 1 гн приводит согласно (59.9) к возникновению д', = 1 в. в 60. Ток при замыкании н размыкании цепи По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи.
Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно. Пайдем сначала характер изменения тока при размыкании цепи. Пусть в цепь с не зависящей от (индуктивностью Е и сопротивлением )с включен источник тока, имеющий э. д. с.
о (рис. 113). Под действием этой э. д. с. в цепи будет течь постоянный ток )о= о — и (60.1) (сопротивление источника тока считаем пренебрежимо малым). В момент времени ! = 0 отключим источник тока замкнув одновременно цепь накоротко переключателем П. Как только сила тока в цепи станет убывать, возникнет э.
д. с. самоиндукции. Следовательно, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи будет в соответствии с законом Ома удовлетворять уравнению гп Я=В = — Е— 5 ~! Перепишем это выражение так: — + — 1= О. Ж й л! г. (60.2) з Уравнение (60,2) представляет собой Рис 1!3.
линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные, т. е. записав в виде ч! и —. = — — б! 1 откуда !п 1= — — 1+!и сопИ Х (имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде 1п сопз1). Потенцирование этого соотношения дает 1= сопИ ° е (60.3) Выражение (60.3) является общим решением уравнения (60.2). Значение сопИ найдем из начальных условий.
При ! = 0 сила тока имела значение (60.!), Следовательно, сопИ = 1м Подставив это значение в (60.3), получим (60.4) Итак, после отключения источника э. д. с. сила тока в цепи йе обращается мгновенно в нуль„а убывает по экспоненциальяому закону (60.4). График убывания 1 дан на рнс. 114 (кривая 1). Скорость убывания опреде. ляется имеющей размерность с времени величиной ~ю т — , (60.5) Е которую называют п о с т о я иной времени цепи. Использовав обозначение (60.5), формуле Ю (60.4) можно придать вид Ркс. 114.
1= 1 е т. (60.6) В соответствии с этой формулой т есть время,в течение которого сила тока уменьшается в е раз. Из соотношения (60.5) видно, что чем больше индуктивность цепи Е и меньше ее сопротивление Й, тем больше постоянная времени т и тем медленнее спадает ток в цепи. Теперь рассмотрим случай замыйання цепи. После подключения к источнику тока, до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения (60.1), в цепи кроме э.
д.с. 8' будет действовать э. д.с. самоиндукции. Следовательно, в соответствии с законом Ома можно написать, что 11г = д'+ с" = д' — А — . ья З Ф' Преобразуем это уравнение к следующему виду: — + — 1=— ш и. ь' ш А е.' (60.7) Мы пришли к линейному неоднородному уравнению, которое отличается от уравнения (60.2) .лишь тем, что в правой части вместо нуля в нем стоит постоянная величина Е/Е. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего од. породного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид (60.3).
Легко убедиться в том, что 1 = 1ч = д'Я представляет собой частное решение урав- пения (60.7). Следовательно, общее решение уравнения (60.7) можно написать следующим образом; — ю и 1 1э+сопз1 ° е ь . В начальный момент сила тока ! равна нулю. Отсюда для сонэ( получается значение сопз1 = — Ум Таким образом, (=Уо(1 — е ' ). (60.8) ф 61. Энергия магнитного поля Рассмотрим цепь, изображенную на рис. !16. Сначала замкнем соленоид 7. на батарею д'; в нем установится ток 1; который обусловит магнитное поле, сцепленное с витками соленоида. Если, отклюяив соленоид от батареи, замкнуть его через сопроо тивление Я, то в образовавшейся цепи будет некоторое время течь постепенно убывающий ток.
Работа, совершаемая этим током за время сУ, равна дА д;гЖ = — — (Ж = — 1ИЧ'. (61,1) ИЧ . Если индуктивность соленоида не зависит от ((. = сонэ!), то ИЧ'= Ей и выражение (61Л) принимает следующий вид: (61.2) Функция (60.8) описывает нарастание тока в цепи после подключения к ней источника э.д.с. График этой функции дан на рис.
1!4 (кривая 2). Мы предполагали индуктивность Ь постоянной. Если цепь содержит катушку с железным сердечником, д', будет определяться формулой (69.8). В этом случае за . Ж счет слагаемого 1 — э. д. с. самоиндукции может до. а стигать очень больших значений. При этом сила тока может значительно превзойти !д. Проинтегрировав это выражение по 1 в пределах от первоначального значения 1 до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за все время, в течение которого происходит исчезновение магнитного поля: ыт А= — ) Пдт= — ' 2 (61.3) (6! .4) которая локализована в возбуждаемом током магнитном поле [ср. эту формулу с выражением (29.1) для энергии заряженного конденсатора).
В гауссовоз системе выражение лая энергии контура с током навет внн Заметим, что выражение (61.3) можно трактовать как ту работу, которую необходимо совершить против э.д.с. самоиндукции в процессе нарастания тока от 0 до 1, н которая идет на создание магнитного поля, обладающего энергией (61.4). В самом деле, работа, совершаемая против э. д. с. самонндукцни, А'= ~ ( — Ю,)1Л. в Работа (61.3) идет на приращение внутренней энер. гнн проводников„т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
