Автореферат (786271), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации методы системного анализа применены для исследования сложных стохастических систем, проведено исследование задачи оптимизации, разработаны методы и алгоритмы их решения (области исследования 1, 4, 5 специальности 05.13.01). Апробация работы.
Рсзультаты диссертации вьшосилтлсь на обсуждение научного сообщества в ходе научных семинаров кафедры теории вероятностетл Московского авиационного института (рук. проф. Кибзун А.И.), 3-й и 4-й Традиционной молодежной Школы «Управление, информация и оптимизация» (Россия, Ярополец, 2011 г.: Россия. Звенпгород, 2012 г.), научного семинара лаборатории т1-' 7 Института проблем управления РАН (рук. проф.
Поляк Б.Т.) Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях: 16-я международная конференция «Системный анализ, управление и навигация» (Украина, Евпатория, 2011 г.), научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов «Молодежь и будущее авиацитл и космонавтики» (Россия, Москва, 2009 г.), Х|,|Х международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Россия., Новосибирск., 2011 г.), научнопрактическая конференция студентов и молодых ученых МАИ «Инновации в авиацтпл тл космонавтике 2011», 12-ая Международная конференция «Авиация и космонавтика-2013» (Россия, Москва, 2013 г.) Работа поддержана грантами РФФИ (11-07-90407-Укр-ф-а, 11-07-00315-а, 12-07-00191-а), и государственным финансированием ФЦП «Научные и научнопсдагогичсскис кадры инновационной России» (мероприятие 1.2.2, госконтракт Уо 14 740 11 1128) Публикации.
Основные результаты диссертацтли опубликованы в 3 научных статьях [1 — 3] в журналах, входящих в перечень ВАК, в 5 статьях [4 — 8] в различных сборниках и матертлалах конференций. Общее число публикаций — 8. Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, три главы, заключение, перечень сокращений и условных обозначений и список используемой литературы. Работа состоит из 118 страниц, включая 7 рисунков, 3 таблицы и список литературы, содержащитл 169 наименований. Содержание диссертации Во введении дано обоснование актуальности выбранной автором темы диссертации, сформулирована цель работы, аргументировала ее научная новизна - 7-- и практическая значимость, а также в сжатом виде изложено содержание глав диссертации и сформулированы результать1, представлясмьле к за1цитс. В первой главе рассматривается многоэтапная линейная по стратегиям задача стохастического программирования с квантильным критерием в априорной постановке.
Целевая функция потерь имеет следуниций вид: Ф (и, у( ), Л ) = — со и + а11(Х1) и + с1 у1(и, Х1) + а12(Х1 Х2) и + Л« -1 Х-1 + С2д2(и,Л1,Л2) + ... сОи+ ~~' а1 (Х )и+ ~~' с дл(и,Х ), где и Е лг' ' — план первого этапа.; д( ) — со1(у1( ), ..., у1и 1( )) — вектор- функция планов последунипих 1'11 — 1 этапов, выбираемая в классе измеримых функций со значениями в К~', Х вЂ” со1(Х, ..., Х11; 1), Х' — со1(Х,, ..., Х;), г— 1, Х вЂ” 1, — наборы случайных векторов Х, «=.
В."', а1,(Х'), л — 1, Х вЂ” 1, — заданные измсриълы«1 всктор-функции размерности (т х 1); со, с;, г — 1, 1'й — 1, заданные детерминированные вектор-столбцы размерности (т, х 1) и (т; х 1) соответственно. Предполагается, что случайный вектор Х имеет плотность распределения р(х), где х «= Й", и =- и1 + п2 + ... + п11« 1. Набор из Х вЂ” 1 ограничений имеет вид: Ф;(и, д'( ), Х') — А2,(Х')и+ Б,у'(и«Х') > ав,(Х'), г — 1, Х вЂ” 1, (2) где у'( ) — со1(у1( ), ..., у,( )) — наборы вектор-функций д,( ) «= В~', Л21(Х'), г — 1, Х вЂ” 1, — заданные измеримые матричньле функпии размерности (»; х т); О,, г' — 1, Х вЂ” 1 - заданная матрица размерности (», х т,;); аз,(Х'), г — 1, 1й — 1, — заданные измеримые вектор-функции размерности (э, х 1).
Рассмотрим функцию вероятности Р, (и, у(.)) = 1 1Ф~'(и«у( ), Х) < р, Ф;,(и, д'(.), Х') > ав;,(Х'), г = 1, У вЂ” 1), (3) где Р— вероятностная мера, порожденная распределением случайного вектора Х; а также функцию квантили, представляющую собой минимальное пороговое значение р«при котором выполняется вероятностное ограничение: р (и,у( )) = п11п~«12: Р, (и,д(.)) > о1,а Е (0,1).
Х-этапная задача стохастического программирования с квантильным критерием в априорной постановке формулируется в следующем виде: р = п11п «12,(и,у(.)), и, =- аг) ппп(ппп р,(и.,д(.)))« иЕК у«)ЕУ иЕГ д«)ЕУ где à — заданное множество допустимых стратегий первого этапа, а 12 — множество допустимых стратегий последующих этапов, имеющее вид --8-- Под решением задачи (5) понимается пара (,р, и ). Если пе существует и, тю. мипимум в задаче (5) пс достигается, то считается, гто решение в задаче (5) пе существует.
Исследуемая задача записана в априорпой постановке, когда оптимальпыс стратегии на всех этапах, кроме первого, выбираются в классе функций, зависящих от всей предыдущей информации. Для решения поставленной задачи далее будет предложен алгоритм, основанный иа. следующей схеме дискретизации. Предположим, что вероятностная мера, порожденная распределспием случайного вектора Х, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и существует плотность р(х) случайного вектора Х. Дискретизирусм вероятностную меру следующим образом.
Пусть х~, й — 1, К, — точки, сгенерированные случайным образом согласно плотности р(х). Определим меры этих точек как р~ — Р(Х вЂ” х~~ — 1/К, к — 1, К. Ь Пусть Х =- со1(Х1, ..., ХА 1) — случайный вектор, соответствующий этим мерам, т.е. Р(Х = х~1 = р~, где случайныс подвекторы Х; имеют ту же размерность, что и Х;, г — 1,Ж вЂ” 1. Пусть Рк(х) — фупкция распределения случайного вектора Х. Рассмотрим выборочную функцию распределения Тгк(х), соответствующую случайному вектору Х, реализация которой есть Гк(х). Имеет п.н.
место сходимость Рк(х) — — +Г(х) при К вЂ” + оо для всех х (п.п. — почти наверное), где Г(х) — фупкция распределения случайного вектора Х. Далее под дискретным распределением Гк(х) специального вида будем понимать дискретное распределение, полученное путем дискретизации непрерывного распределения с помощью описанной выше схемы дискретизации. Верно следующее утверждение.
ЛЕммА 1.1. Пусть случайный вектор Х вЂ” со1(Х1, ...,ХА 1) имеет дискретное распределение Ук(х) специального вида. Тогда существуют детерминированные функции 1,,(Х1) такие, что 'Р(Х, = /;(Х1)) = 1, г = 2, Х вЂ” 1, 'Р— вероятпостпая мера, аппроксимирующая меру 'Р. Благодаря описанной схеме дискретизации меры все компоненты случайного вектора Х определяются первой компонентой Х1, поэтому удается свести мпогоэтапную задачу стохастического программирования к двухэтаппой задаче.
Верна следующая теорема об эквивалентности многоэтапной липейпой относительно стратегий задачи стохастического программирования и двухэтапной задачи в априорных постановках. ТЕОРЕМА 1.1. Х-этапная задача в априорной постановке (5) с дискретным распределением Р~(х) случайного вектора Х эквивалентна двухэтапной задаче стохаст,ического программирования специального вида. Доказательство осповапо на сведении трсхэтапной задачи в априорной постановке к двухэтаппой задаче с последующим обобщением на случай - 9-- сведения Х-этапной задачи к двухэтапной по индукции. Структура ограничений полученной двухэтапной задачи повторяет структуру ограничений исходной задачи, кроме того, совпадают значения фупкцнй потерь обеих задач.
Под эквивалентностью задач в теореме 1.1 и в последующих утверждениях понимается следующее. то по оптимизирующей последовательности стратегий достигаются, одной задачи по явно описанному алгоритму указываетсл оптимизирующая последовательностг для другой задачи. Сформулируем задачу кваптильной оптимизации в апостериорной постановке. Пусть известны реализация х Е Й." случайного вектора Х и стратегии первого этапа и Е Г С Й"', а множество допустимых стратегий второго этапа задается как У = (у: у Е В"", у > 0).
Сформулируем задачу второго этапа в виде: Ф(и, х) — ппп(с, у~А2(х)и+ Ву(и, х) ) аз(х))., аеУ где с~ — вектор размерности т~. Если для некоторого и Е Г и х из множества допустимых реализаций не существует у Е У, удовлетворяющего (6), будем полагать, что Ф(и., х) =- +ос. Следует отметить, что матрица А2(Х) и вектор аз(Х) могут зависеть от случайного вектора Х. Определим функцию вероятности р (и) а 'р( т(Х)и+ Ф(и, Х) < р), Определение 1.1. Две задачи оптимизации будем считать эквивалентными, если: 1) либо обе эти задачи имеют допустимые решения (с конечными значениями целевых функций), либо обе не имеют таких решений; 2) если эти зада чи имеют допустимые решения, то оптимальные значения их целевых функций 'оконечные или бесконечные) совпаданиц 3) если оптимальные значения их' целевых функций конечны, то эти значения в обеих задачах, либо достигаются, либо не достигаются; 4) если оптимальные значения целевых функций достигаются, то по оптимальному решению одной задачи с помощью явно описанного алгоритма указывается оптимальное решение другой задачи; 5) если оптимальные значения целевых функций конечны, но не и фупкцшо кваптили ф (и) — ппп(р: Р, (и) > о1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
