Диссертация (785777), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Каноническая форма исходной теоретической модели (5.18), (5.20), дискретизированной с использованием явного метода Адамсаu(t) и начальных условий x0 . При этом используется случайный входной управляющий сигнал u(t) специфического вида (пример такого сигнала показан на рис. 2.32a), определяющий,наряду с начальными условиями x0 , поведение моделируемого объекта и его наблюдаемыевыходы. Такая форма сигнала u(t) обеспечивает представительность обучающей выборки,так как позволяет обеспечить требуемое разнообразие состояний, в которых может находиться объект моделирования, а также разнообразие скоростей перехода между состояниями.
Дляt2[0; 100℄ и шага дискретизации t = 0:025 с в рассматриваемойдемонстрационной задаче количество примеров в обучающей выборке будет N = 1000.временного интервала4. Если при фиксированной структуре за счет обучения не удается добиться от НС-моделитребуемой точности, это означает, что в ней необходимы структурные изменения, которыеосуществляются на основе предварительно сформулированных гипотез относительно возможных причин неудовлетворительного поведения модели. Применительно к рассматриваемой задаче можно предположить, например, что требует замены линейная связь между величинамина нелинейную в уравнении (5.20), либо надо дополнительно учесть в нем влияние величиныx2 .238y(k + 1)x1 (k + 1)x2 (k + 1)431T1Tw2nwn+111q −12wn1w1u(k)x1 (k)x2 (k)РИС.
5.8. Каноническая форма полуэмпирической модели (метод Эйлера), уточненная путем введения нелинейности в уравнение (5.20)5.5 Экспериментальная оценка полуэмпирической модели1. Будем рассматривать систему (5.18), (5.20) на временно̀м интервале t 2 [0; 100℄ с шагомt = 0:025 с и начальными условиями x1 (0) = x2 (0) = 0. Вектор состоянияявляется частично наблюдаемым: y (t) = x2 (t), с аддитивным белым шумом со среднеквадратическим отклонением (СКО) = 0:01, воздействующим на выход системы y (t).дискретизацииВ идеальном варианте, когда НС-модель абсолютно точно воспроизводит исходную систему дифференциальных уравнений (5.18), (5.19), ошибка моделирования будет полностьюопределяться шумом, воздействующим на выход системы.
Из этого следует, что сопоставление ошибки моделирования с СКО шума позволяет судить о степени успешности решениязадачи моделирования рассматриваемой системы, а заданное значение СКО шума можно принять за целевое значение ошибки моделирования.Обучение проводилось средствами системы Matlab для сетей в форме LDDN (LayeredDigital Dynamic Networks), по общему для данного класса сетей алгоритму [77].
Для оптимизации параметров сети используется алгоритм Левенберга-Марквардта, вычисление мат239y(k + 1)x2 (k + 1)x1 (k + 1)43q −11f2 (k − 1) f2 (k − 2) f2 (k − 3)u(k)x1 (k)x2 (k)f1 (k − 1) f1 (k − 2) f1 (k − 3)РИС. 5.9. Каноническая форма полуэмпирической модели (метод Аламса), уточненная путем введения нелинейности в уравнение (5.20)рицы Якоби осуществляется по алгоритму RTRL (Real-Time Recurrent Learning) [74]. В качестве критерия оптимизации используется среднеквадратичная ошибка предсказания моделина обучающей выборке:vuutN1X(5.25)(d y )2 ;N i=1 i iгде N — количество элементов обучающей выборки, d = fd1 ; : : : ; dN g — вектор целевых значений наблюдаемой переменной (согласно модели (5.18), (5.19), а y = fy1 ; : : : ; yN g — векторRMSE =выходов нейросетевой модели.2. Пусть на первом шаге проводимого вычислительного эксперимента теоретическая модель, отвечающая объекту (5.18), (5.19), точно не известна.
Мы знаем точно только вид первого уравнения (5.18) из этой модели, вид второго уравнения (5.19) нам не известен. Примем вкачестве рабочей гипотезы, что требуемое второе уравнение можно записать в виде (5.20). Если полученную таким способом модель использовать непосредственно для анализа поведениярассматриваемой системы, привлекая методы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, то результат оказывается неудовлетворительным.
Как показывает вычислительный эксперимент, среднеквадратичная ошибка, получаемая при такоммоделировании, равняется0:1347 при использовании метода Эйлера и 0:0434 при использо240ТАБЛИЦА 5.1. Ошибка моделирования для системы (5.18), (5.19)МетодОДУНС-1НС-2НС-3OptЭйлер0.1347 0.1278 0.1252 0.0141–Адамс0.0434 0.0390 0.0375 0.0119–NARX––––0.0258вании метода Адамса, что многократно превышает целевое значение0:01.
Результаты моде-лирования для этого и всех остальных рассматриваемых случаев представлены в табл. 5.1,где сопоставляются данные, полученные с использованием методов Эйлера и Адамса (ОДУ— результаты, полученные непосредственным интегрированием исходной системы дифференциальных уравнений (5.18), (5.20); НС-1, НС-2, НС-3 — результаты для НС-моделей, полученных после первого, второго и третьего шагов структурной корректировки, соответственно, атакже с помощью чисто эмпирической НС-модели типа NARX (четвертый столбец)).3. Если попытаться проанализировать причины указанной неудачи, то можно сформулировать следующие утверждения и предположения. Как уже отмечалось, первое из уравнений(5.18) исходной теоретической модели точно описывает характер изменения величины x1 (t).Но относительно второго уравнения, имеющего вид (5.20), такой уверенности нет, следовательно, именно данное уравнение не позволяет получить требуемую точность описанияобъекта.
Возможные причины такого положения дел состоят в следующем:значениеw = 8:32 числового параметра в этом уравнении может быть неточным, т. е.следует попытаться подобрать другое значение данного параметра;вызывает сомнения линейный характер зависимости от x1 , используемый в правой части данного уравнения, т. е. если корректировка значения числового параметраw изпредыдущего пункта не позволит получить решение с требуемой точностью, необходимо попытаться использовать какое-либо нелинейное соотношение по x1 в правой частиуравнения (5.20);отсутствие переменной x2 в правой части второго уравнения также может послужитьпричиной недостаточной точности модели, т.
е. если меры, предложенные в двух предыдущих пунктах, не дадут требуемого результата, следует попытаться переформулироватьправую часть уравнения (5.20) с привлечением x2 .Полуэмпирическая форма представления модели дает возможность внести в нее подобного рода изменения. Это осуществляется путем введения модуля-подсети, реализующего241ТАБЛИЦА 5.2. Ошибка моделирования для системы (5.18), (5.26)МетодОДУНС-1НС-2НС-3OptЭйлер0.0644 0.0588 0.0582 0.0129–Адамс0.0285 0.0258 0.0253 0.0119–NARX––––0.0302ТАБЛИЦА 5.3. Ошибка моделирования для системы (5.18), (5.27)МетодОДУНС-1НС-2НС-3OptЭйлер0.0696 0.0622 0.0605 0.0117–Адамс0.0458 0.0421 0.0413 0.0112–NARX––––0.0258необходимую нелинейность, в НС-модель, полученную дискретизацией из соответствующейтеоретической модели. При этом, если изменения вносить в том порядке, в котором они перечислены выше, сложность модели будет последовательно возрастать и можно ожидать, чтоточность ее также будет возрастать.Как видно из второго столбца табл.
5.1, в сравнении его с первым столбцом, подстройказначения коэффициента в уравнении (5.20) позволила несколько улучшить точность модели,но совершенно недостаточно: ошибка моделирования снизилась с 0.1347 до 0.1278 для метода Эйлера и с 0.0434 до 0.0390 для метода Адамса при целевом значении 0.01. По этойпричине необходимо использовать второе предложение из списка, приведенного выше, направленное на повышение точности модели, а именно, следует заменить уравнение (5.20) слинейной зависимость в его правой части от величины x1 на уравнение с нелинейной зависимостью.
Эта зависимость вводится в нейросетевую модель путем замены в ней фрагментадля упомянутой линейной зависимости (нейрон, отвечающий правой части уравнения (5.20),на нелинейную зависимость, которая задается однослойной сетью с сигмоидальной активационной функцией и 10 нейронами в слое (число нейронов подобрано в вычислительномэксперименте).
Структурная схема НС-модели, отвечающая данному варианту применительно к схеме дискретизации Эйлера показана на рис. 5.8. Смещения нейронов скрытого слояздесь не изображены, чтобы не загромождать схему. Изменения в НС-модели, основанной насхеме Адамса, представлены на рис.
5.9.Введение нелинейности по x1 в уравнение (5.20), как следует из результатов, представлен-242y(k + 1)x1 (k + 1)x2 (k + 1)4311TT11q −121u(k)x1 (k)x2 (k)РИС. 5.10. Каноническая форма полуэмпирической модели (метод Эйлера), уточненная засчет введения величины x2 в уравнение (5.26)y(k + 1)x2 (k + 1)x1 (k + 1)43q −11f2 (k − 1) f2 (k − 2) f2 (k − 3)u(k)x1 (k)x2 (k)f1 (k − 1) f1 (k − 2) f1 (k − 3)РИС. 5.11.
Каноническая форма полуэмпирической модели (метод Аламса), уточненнаяпутем введения величины x2 в уравнение (5.20)ных в третьем столбце табл. 5.1, позволило улучшить точность модели совсем незначительно,а именно, ошибка снизилось с 0.1278 до 0.1252 для метода Эйлера и с 0.0390 до 0.0375 для243метода Адамса. Это означает, что только за счет подбора подходящего значения нелинейной зависимости от x1 в правой части уравнения (5.20) требуемой точности добиться нельзя,необходимо, очевидно, учитывать зависимость не только от x1 , но и от x2 , т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
