blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Мы показали, что в общем случае не существует вектора состояния, описывающего динамическое поведение подсистемы, связанной с другими квантовыми системами. Лоэтому открытую систел!у следует характеризовать с помощью ее приведенной матрицы плотности.
В принципе все физические системы взаимосвязаны друг с другом, так как невозможно полностью изолировать систему. Поэтому обычная схема построения квантовой механики, основанная на использовании векторов состояния, все~да является идеализацией. Затем была рассмотрена временная эволюция открытой квантовомеханической системы под влиянием ее окружения. Соответству!ощая теория должна быть основана на уравнении Лиувплля, которое дает полное микроскопическое описание замкнутых систем.
Уравнение, описывающее динамическое поведение открытой системы, можно получить путем построения соответствующей приведенной матрицы плотности (точнее, путем исключения всех не подвергаемых наблюдению переменных). Результаты, полученные в равд.
3,1 и 3.2, имеют фундаментальное значение в квантовой теории измерения. Мы не будем здесь обсуждать этот интересный, но в высшей степени противоречивый раздел современной фпзнкп. Читателю рекомендуется обратиться, например, к книге д'Эспанья (й'Езрадпа1, 1976) и приведенным там ссылкам; в качестве введения можно рекомендовать книгу Яуха (йапс(>, 1973)'). З.З. Анализ света, излученного атомами (ядрами) 3.3.1.
Свойства когерентности состояний поляризации Чтобы проиллюстрировать теорию, развитую в предыдущих разделах, рассмотрим релаксацию ансамбля возбужденных атомов (нли ядер) за счет излучения фотонов. В частности, изучим когерентность, которая существует между состояниями с различной поляризацией. Рассмотрим для начала ансамбль возбужденных атомов, находящихся в тождественных состояниях, описываемых вектоРом состоЯниЯ )ао>оМо), где >о н Мо — соответственно Угловой момент атома н его е-компонента, а ао описывает совокупность всех остальных переменных, необходимых для полного задания состояния. Для анализа результирующей объединенной системы атомов и фотонов воспользуемся процедурой, описанной в равд.
3.1, Начальное состояние 1>(ч„) является чистым, поэтому возможно поставить в соответствие ') См. также монографию: Холево А. С. Вероитиоетиые и стаю!етиче. ение аспекты кеантовоа теории. — Мл Наука, 1980. — >три,и перев. глявл з сВязАнные системы ат объединенной системе атомов и фотонов один вектор состояНия (трон/): ! ф,„) =- ) а,У Ме) ! т(/оы). Здесь вектор !фош) можно разложить по набору базисных состояний )се/У/М/) и )о//п/Х/), характеризующих соответственно конечное состояние системы атомов и фотонов. с!исло возможных комбинаций (а/У/М/)!от/п/Ус/) конечных состояний ограничено относящимися к данной задаче законами сохранения (в данном случае законами сохранения энергии и углового момента).
Вектор )т(/сь/) можно получить тогда путем умножения всех разрешенных комбинаций )сс/У/М/) )о//п/1,/) на соответствующие вероятности перехода с последующим суммированием (интегрированием) по всем дискретным (непрерывным) переменным. Условия, существующие в данном эксперименте, приводят к отбору конкретного набора состояний нз всех состояний, дающих вклад в разложение (т(/еь/). Примем для простоты, что детектор фотонов может быть настроен так, чтобы он принимал лишь фотоны с одной частотой, например, от =/о/с / Кроме того, пусть положение детектора фотонов определяет и направление распространенна детектируемых фотонов и/ = п',.
Таким образом, наблюдение ограничено фотонами, имеющими строго определенную частоту от/, и строго опреде. ленное направление распространения п',, /!оскольку наблюдаемые фотоны имеют фиксированную энерппо, излучившие эти фотоны атомы обладают с~рого определенными значениями сс/ и У, (например, а', и У',), причем энергия должна сохраняться: Е(а,'У',) = — Е(а„Уо) — йты/с Следовательно, интересующий нас вектор конечно~о состояния описывается разложением )ф„н) = ~', а (М/) „М„) )а',У',М,) ~ от',п',)и).
(3.3.1) Вслв поляризация фотонов не измеряется, квантовые числа М, и Х/ остаются неопределенными, и, как видно пз (3.3.1), следует взять сумму по этим не подвергаемым наблюденио переменным. Коэффициенты а(М/1,/, Мо) представляют собой амплитуды вероятности соответствующего перехода (а„УсМс)- )а/У/М/)!/о1/т,')ч), а квадраты пх модулей )а(М/)./, Мо) !Я дают вероятности нахождения атома в конечном состоянии !а/У',М/) при условии, что детектором обнаружен фотон в состоянии !ет',и/Х,). В дальнейшем мы опустим зависимость состояний от всех фиксированных переменных. Следует заметить, что вектор состояи/я (3.3.1) описывает только подансамбль атомов и фотонов, именно только тех фотонов, которые регистрируются детектором п имеют строго определенные ет,' и п,, и только тех атомов, которые излучили детектированиые фотоны.
Рассмотрим состояние поляризации фотонов. Выражение (3.3.1) можно записать так: !"Ф..т) =~> /М/) ~' а(М Хь Мс)!)Н)=~' !М/)!е(М Мс)) (332) где вектор состояния ! е(М/Мо)) ="уа(МА, Мо)! 1/) (3.3.3) описывает состояние поляризации подапсамбля фотонов, излучеипых прп переходе между состояниями )Мо) — ~!М/) (см. рпс, 3.1 для случая дппольного излучения), Выражение м/ = мое/ Рнс. 3.1. Ст/. объясненье в тексте, (3.3,3) показывает, что этп фотоны находятся в то>кдественных состояниях поляризации, характеризуемых вектором состояния !е(М/М,)). Таким образом, если детектор фотонов регистрирует только тс фотоны, которые были нзлучеиы прп переходе атомов в единственное состояние !М/), то детектпрованные фотоны находятся в чистом состоянии !в(М,Мс)).
В принципе этого можно достичь, пропуская атомы в конечном состоянии через фильтр Штерна — Герлаха (послсдиий пропускает только атомы с определенным значением магнитного квантового числа М,). Прошедшие фильтр атомы можно затем зарепктрпровать с помощью счетчика и фиксировать совпадения между счетчиком и детектором фотонов. Наблюдаемый таким способом подансамбль фотонов с необходимостью является полностью поляризованным (в смысле, обсуждавшемся в равд, 1.2). Именно, степень поляризации Р 89 сВязАНные снстемЫ 88 ГЛАВА 3 М,А',Л, ) фоы) =! О) ~~~' а(Л„М„) ! Л,ф (3.3.4) А(А1 имеет максимально возможное значение Р = 1. Действительное состояние поляризации определяется величиной и относительной фазой двух коэффициентов а(М1ЛН М,), где Л1 = = +1 или Л1 = — 1.
Например, если а(МН Л~ — — +1, Мо) = = — а (Мь Л1 = — 1, М,), то фотоны линейно-поляризованы в направлении оси х, что описывается выражением (1.2,12а). Существенно отметить, что для детектирования полностью поляризованных фотонов необходимо, чтобы наблюдение было ограничено только подансамблем фотонов. Исключение составляет лишь случай, когда атомы в конечном состоянии имеют угловой момент У1= О. Обозначая соответствующее состояние через )О), можно записать (3.3.1) в виде Поскольку все атомы находятся в одинаковом конечном состоянии, соответствующий вектор состояния можно выделить как общий множитель перед суммой в (3.3.4). Состояние фотонов тогда является чистым состоянием, описываемым выражением в квадратных скобках в (3.3.4); следовательно, в этом случае все фотоны, излученные в направлении и'„ с необходимостью являются полностью поляризованными.
3.3.2. Описание излученных фотонов Рассмотрим случай, когда нзлученные фотоны (имеющие частоту со,') детектируются в направлении и,', а атомы в конечном состоянии не подвергаются наблюдению. Тогда в состветствии с принципом несепарабельиости состояние детектированных фотонов нельзя описать с помощью единственного вектора состояния. Таким образом, детектируемое излучение не находится в чистом состоянии поляризации и с необходимостью является частично поляризованным (в соответствии с равд. 1.2.5 это означает, что Р ( 1). Последнее можно показать, построив приведенную матрицу плотности р(у), описывающую только систему фотонов.
Поскольку конечное состояние полной системы описывается вектором состояния )ф„Д, соответствующая матрица плотности имеет простой вид: р „=)ф ы)(ф ) = ~ а(МЛ'„М ) а(М,Л„М )*~МЛ)(МЛ, (; м1 м~ здесь было использовано разложение (3.3.2). Элементы приведенной матрицы плотности можно найти, применяя выражение (3.2.3); (Л1 ) р(у) (Л,) = ~(М,Л,') роы )М,Л,) = = 2 а (М,Л,', М„) а (М,Л„МВ)' (3.3,5) м| Полученная матрица соответствует оператору плотности имеющему впд р (у) = ~' а (М1Лн Мо) а (М|Лн Мо)*! Л() (Л1 ) = = л. Г ~".
а (М1Л(, Мо)! Л() 3о Г х: а (М|Лн Мо)" (Л~ ! лц ~ „. А, = ~ ~ е (М,Мо)) (е (М1Мо) ) (3 3 6) Выражение (3.3.6) позволяет дать следующую интерпретацию оператора р(у). Можно считать, что фотоны в различных состояниях поляризации (е(М1Мо)) испускаются независимо; тогда не существует никакого фазового соотношения между фотонами, излученными при переходах в различные атомные состояния.
Таким образом, в соответствии с определением, данным в равд. 2.3.2, систему, состоящую только из фотонов, можно рассматривать как некогерентную суперпозицию состояний )е(М|Мо)), соответствующих различным переходам. Поскольку не существует определенного фазового соотношения между фотонами, находящимися в различных состояниях поляризации, такие фотоны можно в принципе отличить друг от друга, (Например, для этого надо наблюдать атомы в конечном состоянии и фиксировать совпадение с излученными фотонами или использовать соответствующим образом подобранные поляризационные фильтры.) Различные состояния поляризации отвечают различным «способам», посредством которых возникает излучение (как схематически изображено с помощью стрелок на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
