blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Выражени (2.4.4) е ( .. ) показывает, Если соб как любое состояние ~ ф (1) ) эволюционн ет нрует во времени. наченпя гамильслп собственные состояния и собственные знач тониана Н известны, то можно предсказать динамическую эволюцию любого вектора состояния. Разложение (2.4.4) можно записать в более абстрактной фо м . П орме. режде всего (2.4.5) где зкспоненциальная операторная функция оп отношением к~ я определена со- — — Н! — —,„', Н>1з ..., (248) Действуя оператором (2.4.6) на (1ы) и за и затем применяя свойт о (, .
) к каждому слагаемому, можно получить вы аже~ ф(!»=е-ипон' ~„С„~р„)=е-""' "'! ф(0». (2.4,7) мым способом Функцию ~ф(1)) в виде (2.4.7) можно найти также бо так е олее прям способом, формально интегрируя уравнение (2.4.1). Оператор схр[ — (1/й)7!1) содержит всю информацию об эволюции во времени любого состояния (ф(1)), а следовательно, и о динамике системы. Если состояние (ф(0)) системы при 1= 0 известно, то состояние, представляющее систему в более поздние моменты времени 1, можно найти, действуя на (ф(0)) оператором ехр[ — (1/й)Н1). Если (ф(0)) является собственным состоянием )р,) полного гамильтонпана, то выражение (2.4.7) переходит в (2.4.3). Однако (2.4.7) представляет собой лшпь формальное решение уравнения Шредингера.
Действительно, для использования указанного выражения прп получении временной зависимости состояния необходимо знать действие экспоненциального оператора на (ф(0)); это в свою очередь требует, например, знания всех собственных состояний и собственных значений гамильтониана Н. Тем не менее запись решения в виде (2.4,7) оказывается очень полезной. Рассмотрим теперь случай, когда гамильтониан явно зависит от ерехчени.
В этом случае уравнение Шредингера й'~,',(О) =Н(1) ~ф(!» (2.4.8) ие имеет простых решений (2.4.4) и (2.4.7). Однако выражение (2.4 7) можно обобщить, вводя оператор (/(1) — так называемый оператор вретяеннбй эволюции, который переводит состояние (ф(0)) в состояние )ф(1)): ! ф (!» = Н (1) ~ ф (О» (2.4.9) и для сопряженных состояний (ф(1) ~=(ф(О) ~и(1)'. (2.4.9а) Подстановка выражения (2.4.9) в уравнение Шредингера (2,4.8) дает 11~ д ! ф(0» = Н (1)И (1)! ф(0)). (2.4.10а) Поскольку соотношение (2,4.10а) выполняется для любого состояния /ф(0)), его можно записать в виде операторного уравнения 1в "д,'" =Н(1)Н(1).
(2.4.10) В момент 1= 0 система должна находиться в состоянии (ф(0)), Чтобы обеспечить выполнение указанного условия, необходимо наложить дополнителыюе начальное условие У(0) =1. (2.4.1 1) Для сопряженного оператора имеем — (й — = Ь'(1) 0 (1). (2.4. 12) з .,гпз ГлАБА т Бт ОвшАя теОРия мАтРгпгы плотност!! Действуя на уравнение (2А.10) оператором (/' слева, а на уравнешгс (2.4.12) — оператором !/ справа, а затем вычитая полученные уравнения друг нз друга, находим Отсюда следует, что оператор иеи не должен зависеть от времени; принимая во внимание начальное условие (2.4.11) и(0)'и(о) = 1, (2.4.13) приходим к выводу, что (/ — унитарный операто, а и'и— единичный оператор. — " оператор, а Можно дать интерпретацию выражения (2,4.9) зам что величина ! я (, .
), заметив, ~<ф! р(/))!'=!(ф!и(/)!Ч~(о))!э представляет собой вероятность нахождения системы в момент времени / в состоянии ~ г!г), если в в момент времени / = 0 она находилась в состоянии ~гр(0)). мировать следугоСодержанпе этого раздела можно рсзюмиров шпм образом. Эволюцию во времени состояния ! г! (/)) можно определить, либо решая уравнение Шредингера (2.4.8), либо, что эквивалентно, находя и(/) путе, р 2.4. м решения уравнения грпруя (2.4.10), находим ( ..10). Если Н не зависит от времени, то, фо , формально пнтеи (/) = Е-!И!О и' (2.4.14) с начальным условием (2.4.1!).
В этом сл 'чае (2.4.9 имеем я к ( .. ). Соответственно для сопряженного опера о ератора и (/)т егггг! нг (2. 4,14а) В общем случае, однако, Н содержит явную зависимость от времени, и решение уравнения (2.4.10) будет значительно более сложным, чем уравнения (2.4.1). Мы ассмот им задачу в равд. 2.4.3. 2.4.2. Уравнение Лиувилля П усть в момент времени / = 0 некоторая смесь оп сывается оператором плотности я смесь описы- р <о) = ~ (У„! у <о)„) <ф (о)„!.
Состояния (г[г(0) ) изменяются во времени согласно соотношению (2.4.9); следовательно, оператор плотности становится зависящим от времени: р(!) = Х (У.!Ч (/).)(ф(!).[= = ~ й~„и(/) ~ф(%)(ф(о)„!и(!)', г откуда р (/) = и (/) р <о) и (/)'. (2.4,1 5) Если Н не зависит от времени, то р (/) = е агА' "' р(0) еи "! "'. (2А.!5а) Дифференцируя (2.4.15) по времени ! и применяя уравнения (2.4.10) и (2.4.12), получаем гл й! =- гйг уг Р(0) (/(/)Э+ Рги (/) Р(0) = // (/) и (!) р (О) и (!)ь - и (/) р (О) и (/)" Н (!); подставляя сюда (2.4.!5), находим гугппэ(0 [Н(/) р(/)) (2,4.16) где квадратные скобки обозначают коммутатор [Н (г), р (/)) = Н (!) р (!) — р (/) Н (!). (2.4.17) где гамильтониан Н, предполагается не зависящим от времени, а (/(!) описывает зависящее от времени внешнее поле, индуцпруюшее переходы между собственнымп состояниями Таким образом, зависимость от времени оператора плотности может быть найдена или с помощькг выражения (2.4.15), или, что эквивалентно, с помощью (2,4.16).
Дифференциальное уравнение (2.4.16) часто называют уравнением Лиуеилля, так как оно имеет тот же впд, что и уравнение движения для функции распределения вероятности (в фазовом пространстве) в классической механике (см., например, То!тап, 1954).
Урпенения (2.2.9) и (2.4.16) являются основнылмг урпенениялш теоршг. Одноврелгенное решенпе этих уравнений дает урпенения движения для наблюдпемьх. Мы приведем явный прпмер в равд. 2.5. Положим теперь, что можно записать Н(/) =На+(г(!) 68 ГЛАВА О ь9 ))л„) ильтониана Но. Используя эти собств (о>х гам ния в качест е б о.. уя эти собственные состояестве азисных, запишем 1>(>(!) ) = ~„С(!)и~)>(!)'„~) = ~, С(!) е 1"' " )>1>о>); (2 4.!8) и и здесь учтено, что временная эволюция со эволюция собственных состояний сто Е о описывается выражением (2.4.3), г сто, подставлены собственные зн енные значения Е„''> гамильто. на,. Зависимость от времени, об словлс силой (л(!), полностью ший раздел).
т времени, если )л(!) = О (см. предыду- П олучим теперь выражение, описывающее в ромен'>у>о эво >Н(!)~ „( >) Е>о>б +( >о> ~ )л(!)>1>о>) (2 4 18) Если умножить на 'о> и у. ь уравнение Лиувплля слез ( '">,( ва на ((л,( и справа ) )л ) и ввести обозначения р(!), =( >о>, получим =1)л„(~р(!)~)>1„>), то др (!) .„, 73 д! = ) '(Е>'>,б 'Р(!)и,„+(ПР~1 (!) ~ П>„'>) Р(!)„„,— (,(!) Е б р(!) ()1>о>~)л(!)>),>о>)~ = сЕ>о> — Е(о> — сЕ> > Е(о>) р (!) + ~ ~()лю) ~ )л (!) / )>>о>) р (!) и — р (!),„,„(р„> ~ (Л (!) ~ П>о>)1.
(2.4.2О) Это уравнение можно записать в др (Ои,ои в эквивалентной форме: 13 —,— (Е, Е )р(!) Ли+()лР~((л(!), р((Н~ "') (2.4.21) что и представляет собой требуемый результат. 2.4.3. П редставление взаимодействия Основная тема этого раздела — п нбл ние опера ора в"е ременнбй эволюции. На выражений б " мы о судим также решение авнени ц . На основе полученных я, точное решение уравнения (2.4.)О) невозсто, однако, взапмодействп )л(!) впе ( ) в уравнении ОБШАЯ ТЕОРИЯ О1АТРИЦЫ ПЛотНОСтн (2.4.17) является малым возмущением, и уравнение (2.4.10) можно решить с помощью методов нсстационарной теории возмущений.
Сделаем сначала несколько предварительных замечаний. Прежде всего заметам, что временная зависимость векторов состояния )4>(!)) определяется в основном гампльтонпаном Но. Это достаточно хорошо видно пз выражения (2.4.18), которое содержит быстропеременныс множители ехр ~ — (1/6) >( ХЕ>о>(]. Эту явную зависимость можно исключить, записав и (2.4.18) в виде 1>)>(!)) =е "'">"' ~~> С(!)„~ (>>о>) =е ш> н>(ф(!)!), (2422) и где оператор ехр [ — ((/й) Но!) определяется выражением (2.4.б), а — ! 10> (2.4.23) )ф(!),) Е „()(р„) Подставляя разложение (2.4.22) в уравнение Шредингера (2.4.8) и полагая, что выполняется (2.4.17), находим д) 9 (!) ) ) Н„-1~м и >) ф (!) ) + 13 ( -н(о> и,>) Х.
д! (, Л = (Но+ 1 (!)) е (1>М и">) ф(!)!) Члены, содержащие Но, взаимно уничтожаются, п мы получаем уравнеице движения для вектора состояния (>)>(!)>): а! (2,4.24) где введено определение (л (!) е>нм н„>1> (!) е-(шо и ! (2.4.25 ) Из уравнения (2.4.24) видно, что д) ф (!) >)/д! = О, если )>(!) = О, т. е. врел>енная зависимость )ф(!) >) полностью создается внешним погенциалои Ъ'(!). Если )л(!) — малое возмущенно, то (>)>(!)>у будет медленно меняться во времени. По указанной причине уравнение (2.4.24) можво решать приближенно в рамках нестационарной теории возмущений; оно значительно удобнее для практических вычислений, чем (2.4.8).
Рассмотрение в разд. 2.4.1 и 2.4.2 базировалось на том факте, что векторы состояния 1>1(!)) содержат всю зависимость от времени, обусловленную Н, и )л(!), и всю информац ию о времепнбй эволюции системы. Такой способ описания е а. временной эволюции называется представлением Шредингер . Как было показано выше, часто бывает удобно устранить цз ГЛАВА г состояний быстропеременные множите., б ли, о условленные ио. Как видно из выражения (2.4.22), этого можно о меняя оператор , этого можно достичь, при- и (/).'= еп/м 'л (2.4.26) ко всем состояниям (лр(/)) в представлении Ш едпнге а в результате чего получаем ( лР (/)») = ел ИА~ нц ~ „Р (/>> (2.4.27) В то же время все операторы 1,1(/) можно преоб азовать, как это сделано с (/(/) в (2.4.25), п ), лл оллределить новые опе)л следующим образом: Ь я (/) = сом' н л(> (/) е-пля и»'.
(2.4.28) Соответствующие обратные преобр разования имеют впд ~ лР(/)>=с снм"'( ф(!) ) (2.4 28а) д (/) е-плАл нлг» (/> плч Я,л, — — /е '. (2 4 28б) Очевидно, оператор и(1)ч — унита пый. В е ий ~'( ),) порождается теперь слагаемым а временная эволюция операто ов г»(/) пх собственной зав~с ров г»( )л ооусловлсна ремени и, кроме того, слаавпснмостью от в м м писание временнбй эволю р ' олюции с лломощью сор лл( )л называется предстпвлед ления Взал!модсиствпя и ра совпадают при / = 0: (ф(0)> =~ ф(0),>.
(2.4,28в) После этих вводных замечаний об атимся к и ратимс к роблеме навременибй эволюции. Это ения взаимодействия. Завися (/) ) .вается выражением (2.4.9). А в представлении Ш е инг ) ' р ение можно .. ), налогичное вы аж взаимодейст ия )„р( ),), П ы в представлении с ответствующей величины в п .чаем одставляя (2.4.9) в (2.4.27), полу. ! лг» (/)/> = еплнл н,ги (/> ~ лР (0>> -Применяя соотношение (2.4.28в), имеем (ф(/», =и(г>/) ф(0»,, где (2.4.29) (/(/)/ — (есцвл нп> и ((> (2,4.30) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ а обратное соотношение имеет впд и (/) = (е "'"' н') и (/)/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
