blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть лишь одна из систем (для определенности ср) подвергается наблюдению после взаимодействия. Несмотря на то что обе системы находились первоначально в чистых состояниях, взаимодействие создает корреляцию между двумя системами; следовательно, в более поздние моменты времени система ср будет обнаружена в смешанном состоянии. Таким образом, тот факт, что система Ф не подвергается наблюдению, прссводссг к потере когврвнгности в систгнг ср. Это важное следствие из принципа несепарабельности проиллюстрировано различными примерами в равд. 3.3 и 3.4, где обсуждается когерентность ') Разъяснение парадокса Эйнштейна, Розена п Подольского дало Н. Бором (УФН, 1966, т.
16, с, 446); см. также статью Бора гцпскуеспп е Эйнштейном о теоретпко-познавательных пробгсезсаз в атомпоп фпзпкеь в лппге «Философессссе вопросы современной фссзссксс».— Мл 11зл.во Л11 СССР, 1969. — Прозе ред. связлнссык системы 81 только между вырожденными состояниями, Более общий случай когереитио возбужденных состояний с различными энергиями требует более детального обсуждения временной эволюции системы и будет рассмотрен в гл. 5.
3.2 Взаимодействие с системой, не подвергаемой наблюдению, Приведенная матрица плотности Рассмотрим две (или более) взаимодействующие квантовые системы. Во многих случаях интерес представляет только одна из двух подсистем, а другие не подвергаются наблюдению. Обозначим состояния интересуюшей иас системы через )ср;), состояния всей остальной (не подвергаемой наблюдению) системы в совокупности через )Ф,), а элементы матрицы плотности р(1), описываюшей полную систему в момент времени 1, через(Ф, срс 1р(1) )Фдс). Как показано в предыдущем разделе, вследствие наличия взаимодействия система ср находится в смешанном состоянии, Поэтому необходимо рассмотреть, как можно построить матрицу плотности р (ср, 1), которая характеризует только интересуюшую нас систему.
Рассмотрим оператор 1,)(ср), дсйствуюший только на переменные системы ср; его матричные элементы даются выражением (3.2.1) (Ф 'рс' ) с~ (ср) 1 ФсФ1) = (срс') ьг (ср) ) 'рс) бсзь причем предполагается ортогональность состояний (Ф,), Среднее значение Я(ср)) можно найти, используя выражения (2.2.9) и (3.2.1): (с,)(р, 1)) =1гр(1)1;)(р) = = ~: (свгф, 1р(1))Фспс)(Ф,ср1)О(ср))Фсср,) = с!1'1 (Фссрс ) р (1) ~Фссрс)1(срс) 11 (ср) ! срг).
(3.2.2) 1'с ь с Определив элементы матрицы р(ср,1) следующим образом: (ср, (р (ср, 1) с ср)) = х (Фссрс ) р (1) ~ срсср1), (3 2 3) 83 вг ГЛАВА 3 сВязкнные систГиы можно записать соотношение (3.2.2) в форме В» М(р, 1)) = Х (гр~ )р (р, 1) 1 М (я; 1 Я(Чр)(грр) =- =-1г рЬ, 1)Я(р). (3.2;4) совпадающей по виду с (2.2.9). Вся информация относительно системы гр может быть выражена через средние значения Я(гр, г)) того числа опсраторов, которое необходимо для ес описания. Из соотношения (3.2.4) следует, что любое вз этих средних значсшгй можно найти, если известна матрица р(~р,1).
й указаниоти смысле Аштрица р(ср, 1) содержит опо информацию о сап егпе гр. Матрицу р(гр, Р) называют обычно приведенной, или радуг(ированнай, латрицей плотности. Как видно из выражения (3.2.3), эта матрица получается путем взятия тех матричных элементов полной матрицгя плотности р(1), которые диагональны по нс подвергаемой наблюдению переменной й с последующим их суммированием по всем значсниям й Таким путем можно исключить вес нссугцсственныс индексы. Фактически вычисляется полная матрица плотности р(1), которая затем проектируется на интересующее нас надпространство. В этом состоит наиболее ценное свойство матрицы плотности, и мы будем широко сто использовать в остальной части книги. Для удобства введем сокращенное обозначение 1Г Р(Е)=Х(Ф(РР)!ГР), где 1г, указывает иа взятие следа по всем переменным, не подвергаемым наблюдению.
Тогда выражение (3.2.3) можно записать в виде (ч'1р(» ') 1~~>=(р;11Х(ф 1р(01б';>11 ~;>=-(чк11Г. р(1) 1т,> илп в операторной записи р(р, 1) =1г„р(1). (3.2. 5) Замкнуто« квантовомсханичсская система (изолированная от всего остального мира) обладает «гамильтоновой» эволюцией; это означает, что существует не зависящий от времени гампльтонпан Н н унитарный оператор (l(г) = ехр( — йт1)й), такой, что временная эволюция системы определяется унитарным преобразованием (2.4.!5) или, что эквивалентно, уравнением Лиувилля (2.4.16). Прн такой эволюции чистое состояние всегда преобразуется в другое чистое состояние, так что статистические смеси не могут ни создаваться, нн разрушаться. рассмотрим теперь взаимодействие между квантовой системой и виешнимп «классическими» силами. Термин «классический» означает здесь, что можно пренебречь обратным действием системы на источник полей.
Примерами могут служить иолуклассичсские теории излучешгя пли теория потенциального рассеяния, в которой действие мишени на налетающие частицы может быть приближенно описано потенциальной функцией. Временная эволюция квантовой системы описывается унитарным оператором ~/(1), и система подчиняется уравнению Лиувилля (или уравнению Шредингера в случае чистого состояния). Для зависящвх от времени внешних спл наблюдаемые, в частности гамильтониан, зависят явно от времени (см. обсуждение в разд.
2.4). В тех случаях, когда нсльзя пренебречь обратным действием (реакцией) квантовой системы (гр) на внешнее окружение (бп), можно расширить систему ~р, добавив к ней Ф; тогда объединенная система оказывается замкнутой и обладает гамильтоиовой эволюцией. Часто система Ф не подвергается наблюдению. В этих случаях мы будем называть <р открытой квантовомсхаипчсской системой.
Динамическая эволюция такой открытой системы радикально отличается от эволюции закрытой системы. В частности, как видно из обсуждения в равд. 3.1, система будет обнаруживаться в смешанном состоянии после взаимодействия с нсподвергасмой наблюдсишо квантовой системой даже в том случае, если до взаимодействия обе системы находились в чистых состояниях. Следовательно временная эвол|оцпя открытой квантовомеханической системы не может описываться уравнением Лиувилля (илн уравнением Шредингера).
Другими словами, соответствующую приведенную матрицу плотности р(ц,р) нельзя представить в виде унитарного преобразования матрицы плотности р(гр, 0) в более ранший момент времени 1= О. В этом состоит важное различие между открытыми н замкнутыми системами (или спстемамп, описываемыми квазнклассичсски). Указанное различие сыгра.по важную роль, например, в недавних дискуссиях о применимости так называемых «неоклассических» тсорнй излучения, Детали см.
прежде всего в статье Чоу и др. (С11отв, Зсц!1у, 31опег, 1975). С»справной точкой ири обстждсиии Врсмсннои эволюции открытых систем служит уравнение Лиувплля для соотвсгствучощсй «расширенной» системы, Включающей в себя все 84 ГЛАВА а СВИЗАПН!!Е СПС!ЕГМЫ 88 взаимодействующие системы. Предположим, например, что замкнутую систему можно разделить на две взаимодействующие квантовые системы ч> и Ф. Объединенная система описывается гампльтоннаном Н, состоящим из трех слагаемых: Н = Н(ч>)о+ Н(Ф)о+ ~'(ер, Ф) Эти слагаемые относятся соответственно к свободному дви>кению систем и взаимодействию между тр и Ф.
Примем, что экспериментальный интерес представляет только система ч> а система Ф не подвергается наблюдению. Из-за наличия члена взаимодействий )е, связывающего ер и Ф, не существует гамильтониана, описывающего только динамику системы ь Временная эволюция приведенной матрицы плотности р(ч>,1) получается посредством взятия частичного следа 1гю (по части переменных, описывающих Ф) в обеих частях выражения (2,4.15). Используя обозначения (3.2.5), имеем то~да р(ер,1)=1г, Л(1)р(0)(7(1) (3.2.6а) или, учитывая (2.4.16), р (тр, 1) = — (1/й) 1г,э ( Н, р (1)1, (3.2.66) Здесь р(1) и (/(1) — операторы замкнутой системы, а Н не зависит от времени.
С ледует отметить, что временная эволюция объединенной системы является обратимой, поскольку начальное состояние р( ) может быть получено математически из р(1) путем обратного преобразования ехр (тН1/1!) р(1) ехр ( — 1Н1/й). Открытые системы, однако, часто обнаруживают необратимое поведение. Это обусловлено взамодействпем открытой системы с системами, не подвергаемыми наблюдению (наприме, с термостатом»), н выражается формально с помощью с м'и и имер, мирования по всем подвергаемым наблюдению переменным в выражениях (3.2.6). Процедура взятия следа как раз и является фундаментальным квантовомсханпческим источником необратимости.
Мы обсудим этп вопросы подробнее в гл. 7. Абстрактные разультаты, полученные в настоящем и предыдущих разделах, заслуживают подробных пояснений и иллюстраций. Оставшаяся часть главы посвящена этой задаче; мы подробно рассмотрим некоторые простые примеры. Смысл выражений (3.2.6) и их применение рассматриваются в следующих главах. Итак, в так, в этом и предыдущих разделах мы столкнулись о с язанными квантовомеханическими системами, лишь одна с из которых (ч>) исследуется экспериментально. Поэтом ац ально найти сокращенное описание одной лишь системы ион ер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
