blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3). Любое состояние [ф(0);) с определенной энергией Е~ эволюционирует с течением времени по закону ! ф (!)!) = охр [ — (е/6) Ес!! ! ф (О) ). Если релаксация возбужденных атомов описывается феномевологически множителем ехр [ — (1/2)уй[, то временная зависимость состояния (2.3.1) дается выражением ! эр (!)) = а, ехр [ — Цй) Е,! — (у,/2) ![! <р (О),) + + ахехр [ — (э/Ь) Е»1 — (уе/2) !! ! ф(0) ), (2 3 2) где у! и ув — соответственно коэффициенты затухания состояний [ф!) и [фв). Выражение для интенсивности света, б! овщля анония млтющы плотности ГЛАВА В излучаемого в момент времени Е, можно получить на основа элементарной теории излучения; оно имеет внд Е (Е) ! (0)в г1ф (Е)) !' ! а, (О ! е г ! ф (Е) ) + аа(0 ! е г ! ф (Е),) !', (2.3.3) где е — вектор поляризации излучаемых фотонов; г — оператор дипольного момента.
Обозначая матричный элемент аре»«и Рис. 2.2. Явление «квантовых биений». (О/е г/ ф;(0)) через А» а (1/2) (у~+ ух) — через у и используя выражение (2.3.2), получаем Е (Е) — ! а, А, !а ехр ( — уЕ) +! а,А, !а ехр ( — уЕ) + + а,а'А,А; ехр [ — (ЕЕй) (Е, — Е,) Š— уЕ~ + + а",а,А;А, ехр [+ (ЕЕй) (Е, — Е,) Š— уЕ~.
(2.3.4) Выражение (2.3.4) показывает, что интенсивность излучения Е(Е) меняется периодически с частотой (1/й) (Е, — Еа) (рнс. 2.2). Это явление известно под названием квантовых биений; его можно понять как интерференционный эффект в смысле выражения (2.3.3).
Именно, для получения интенсивности Е(Е) следует сложить амплитуды до взятия модуля матричного элемента. Выражение (2.3.4) показывает, что малые разности энергии можно измерять, определяя частоту биений. Такой метод широко используется в настоящее время в атомной спектроскопии (см., например, статьи в книгах» Нап!в, К!е(прорреп, 1978,!979).
2.3.2. Понятие когерентной суперпозиции Полезно провести следующее обобщение выражения (2.3.4). Оператор плотности возбужденных атомов непосредственно после возбуждения дается выражением (ф(0))(ф(0) ). Используя состояния (ф~) и )фа) с определеннымп энергиями в качестве базисных, можно найти элементы матрицы плотности (в энергетическом представлении) и для возбужденного состояния; онп имеют вид (ф,.)р(0)[ф,) =Р,.Е =а«аЕ (Е, Е = = 1, 2), Разумно поэтому сделать следующее обобщение уравнения (2.3.4) (формальное доказательство будет дано в гл. 5).
Пусть в момент времени Е =0 возбужденное состояние атома не является чистым, но представляется 2 )«', 2-матрицей плотности р(0) с базпсными векторами (ф~) н )фв). В этом случае выражение (2.3.4) все еще сохраняет силу, если вместо величин а,а' подставить элементы матрицы плотности рп.
Отсюда следует, что квантовые биения связаны с эволюцией ео времени недиагональных злелеентое матрицы плотности возбужденного состояния р(0). Если матрица плотности Р(0) диагональна в энергетическом представлении, то никаких интерференционных членов в выражении (2.3.4) не возникает. Указанная связь между интерференцией н недпагональными элементами соответствующей матрицы плотности носит общий характер, что будет видно из дальнейшего обсуждения. Дадим поэтому следующее определение. Если данную систему можно охарактеризовать матрицей плотности, записанной в представлении с базиснымн векторамн 1фл), то система представляет собой когерентную суперпозпцию базисных состояний !фв), если ее матрица плотности недпагональна в (~ ф„))-представлении.
Если, кроме того, система находится в чистом состоянии, то ее называют полностью когерентной. Если матрица р диагональна, то система представляет собой так называемую некогеренгную суперпозицию базисных состояний (при условии, что имеется более одного отличного от нуля элемента) (Сопев-Таппоп)о)1, 1962). В этом смысле временнйя модуляция интенсивности 7(Е) служит проявлением когерентного возбуждения состояний е различной энергией (см. (2,3.1)]. Различие между полной когерентностью и просто когерентностью часто несущественно, и в литературе термин «когерентность» обычно применяется в обоих случаях.
Мы также будем следовать этому правилу, когда нас не интересует, находится ли рассматриваемая система в чистом состоянии или ГЛАВА 2 нет. Понятие когерентиой суперпозиции зависит от выбора представления для матрицы плотности. Например, смесь независимо приготовленных состояний (2.2.1) представляет со-' бой некогерептную суперпозицию состояний ~ар.), но в общем случае она является также когерентной суперпознцисй базисных состояний (как видно из (2,2.3) и (2.2.4)(.
Приведенное выше определение можно рассмотреть и с другой точки зрения. Чистое состояние всегда можно записать в виде линейной комбинации базисных состояний; следовательно, оно является полностью когерентной суперпозицпей базисных состояний. Величины и фазы коэффициентов в этом разложении хорошо определены (с точностью до общей фазы); следовательно, между базпсными состоянпяаш существует определенное фазовое соотношенис. Другим предельным случаем является смесь независимо приготовленных базисных состояний !ф,), представляемых оператором плотности Р = 2: Ф' (ф ) (ф при отсутствии каких-либо определенных фазовых соотношений, Матрица Р диагональна в (!ф„))-представлении и, по определению, состояния ( ф„) складываются некогерентно. Смесь состояний (ф1), ! фа), ..., представляемых матрпцсй плотности, не диагональной в (!фа))-представлении (см., на пример, (2.2.3) и (2.2.4) (, относится к случаю, промежуточному между двумя предельными: полной когерентности и некогерентности по отношению к !фа).
Дадим теперь более общее определение. г> Система считается некогерентной супер11озиа!ией состояний )агч), (412), ..., если ее можно представить оператором плотности Если набор )а(аа) ортонормирован, эти состояния можно использовать в качестве базисных, и данное определение эквивалентно приведенному выше. В качестве примера рассмотрим атомную систему, представляющую собой когерентную суперпозпцию своего основного состояния (угловой момент ) = О) и возбужденного состояния с У = 1.
Элементы матрицы плотности для данной системы записываются в виде (2.3.5) овп1Ая твоРня мхтРи11ы п,аоп1остн В явной матричной записи Р имеет впд Р (01)а-1 ) (2.3. 6) Р (11)а-1 Р(11),, ! (Р(00)аа '. Р(0!)21 Р(0!)аа ~ Р(10),а : 'Р(11)н Р(11)ю (Р(10)а ', Р(11)а Р(11)аа (Р(!0) „: Р(!!) н Р(!!) „ 2.4. Временная эволюция статистических смесей 2.4,1. Оператор временной эволюции о ременп квантовомеханических состояний Эволюция в вр описывается уравнением Шредингера (2.4.1) ,„д! ) !'» Н!,Ь(!)); д! 1 равнение для с е для сопряженных состояний имеет впд (2.4.!а) д1 Гампльтониан может зависеть явно от времени, например Н ержнт член взаимодействия )1(!), обусловленный внешним полем, изменяющимся во времени, Мы, од пако, предположим ° ожим здесь, что Н не зпвисасг от врежени.
В еле мы рассмотрим, как можно иным полез- В этом раздел м ным способом выразить информацию, содержащуюся в урав. ненни (2.4.1). Обозначим собственное состояние Н с энергией Е„через 1!1а): (2,4.2) Н ! Р,) = Е, 1ра) Мат ица (2.3.6) распадается на четыре подматрицы. Верхняя состоит из одного элемента: вероятности р( )аа и . атрица е ы в своем основном состоянии, Элементы квадратной системы в с с бматрицы характеризу1от возбужденное состоянп .
сум р нахождения дна г опальные элементы описывают вероятности и . 1 атома в соответствующем подсостоянип с квантовым числом . е М. Неднагональные элементы описывают эффскты когено меж у различными частными состояниями. Ос таюлб е мат нцы щиеся элементы в первой строке и первом стол ц р (2.3.6) характеризуют интерференцию между возбужденным и основным состояниями. Матрицы плотности вида (2.3.6) " накачки, соответвозникают, например, в теории оптической ствующей переходам ( = 0 / = 1.
огщзя теогпя мхи ицы плотности бб глхвл з Если система при 1= 0 представляется собственным состоянием (1ь,), то в момент времени 1 ту же систему можно обнаружить в состоянии ~ р„(!» =е и~ ' ~ р„), (2.4.3) которое, очевидно, является решением уравнения (2.4.1). Таким образом, эволюция во времени собственных состояний полного гамильтопиана получается простым умножением состояний ~ и„) на множитель ехр[ — (1/Й)Е„11.
Соотношение (2.4.3) можно обобщить в следующем отношении. Любое решение уравнения (2.4.1) можно разложить по набору собственных состояний ~ 1ы): ~ ф(!»= ~, С„~Р„(!»= ~ С„е ппэв '~ Рп), (2,4.4) можно где коэффициенты С, не зависят от времени. П показать, подставляя (2.4.4) в уравнение Шредингера оследнее и применяя (2.4.2). В частности, в момент ! = 0 ~ф(О»= Х С„~р„). (2.4.4а) В этом случае, т. е. при использовании в качестве базисного набора собственных состояний не зависящего я его от времени полного гамильтониаиа, коэффициенты С , можно определить, задавая начальные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
