blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Наибольший набор взаимно коммутп- 50 ГЛЛВЛ 2 1 г(г) = ~ а„1ф„) (2.1,2а) (ф„~ф,») =б«», рующих независимых наблюдаемых г',Ьг, Ям ..., который можно найти для систельы, дает се наиболее полное описание. (Вагиным примером такого описания является классификация состояний с помощью интегралов движения.) Измерение любой другой переменной, которая соответствует оператору, не коммутирующему с набором г,Ьг, (г», ..., с необходимостью вводит неопределенность по крайней мере в одну из ранее измеренных переменных, Поэтому становится невозможным дать более полное описание системы.

Таким образом, в общем случае максимальную информацию (в квантовомеханическом смысле), которую можно получить о системе, дают собственные значения гьг, ггм ... полного набора коммутиругоших наблюдаемых, полученных в результате измерения («полный эксперимент»). Если иад системой проведен полный эксперимент, то можно с уверенностью утверждать, что состояние системы действительно точно совпадает с соответствующим собственным состоянием набора операторов Ь)г, г„г», ..., сопоставляемых измеряемым собственным значениям дг, дм ....

Тогда система полностью определяется вектором состояьшя 1г)г, дм ...), который ставится ей в соответствие. Если сразу вновь повторить измерение наблюдаемых гег, Ям ... в состоянии ~гЬг, д», ...), то можно быть уверенным в том, что будут получены тс же значения гьг, ггм ... Необходимое и достаточное условие, определяющее состояние с «максимальной информацией», состоит в существовании такого набора экспериментов, для которого результаты могут быть предсказаны с полной определеииостью (Еапо, 1957). Состояния с лгаксилгальной информацией назыеаютея чистылги состояниями.

Чистые состояния представляют собой предельный допускаемый принципом неопределенности результат, получаемый с помощью точного наблюдения; такие состояния являются квантовомеханическим аналогом классических состояний, для которых известны все координаты и импульсы всех частиц.

Как показано в квантовой механике, вопрос о том, в каком случае набор коммутирующих операторов является полным, может быть решен только с помощью эксперимента. Полный эксперимент можно поставить так, чтобы подействовать на систему фильтролг, который «приготовляет» систему в чистом состоянии. Например, для пучка свободных электронов полный набор коммутирующих операторов дается оператором импульса и а-компонентой 5, оператора спина. ОБИЫЯ ТГОРгщ Х! ТТРПЦЬ! ПЛОТИОСТИ Направим пучок электронов на последовательную комбииа.

цию дву: фильтров (считающихся идеальными): один из них отбирает частицы, имеющие точное значение импульса р, вто- рой — частицы с точным значением ьн вели ь ы ч ьн О . Таким способом моькио приготовить пучок в состоянии ьр, лн), Это означает, что частицы пучка, прону!ценные обоими фильт- рами, имеют одинаковые значения р и ггг. Последний факт можно проверить, направляя полученный пучок иа второй иабо фильтров (идентичный первому): пучок должен быть пропущен полностью.

Эксперимент можно нов!орать вновь и вновь; мы всегда обнаружим одни и тс же значения р и щ, и такой результат можно предсказать с полной определен- ностью. ресуют только спиновые свойства пучка, заЕсли иас интер висимость состояния от всех других переменных может быть оп щена (как, например, в том случае, когда рассматри- ваготся пучки, в которых все частицы имеют одинаковый им- пульс). Тогда вектор состояния можно оГ>означать просто че- рез 1пг), как это и было сделано в гл. 1. Полный набор коммутирующих операторов можно вы- брать ис единсгвсинььм образом. Например, вместо разложе- ния чистого спинового состояния по собственным состояниям , ги) оператора импульса и а-проекции спина ., моььио псп ль спользовать собственные состояния гр, щ') оператора им- пульса и .

» . Я»О где оси е и з' нс совпадают друг с другом. Р смот им два набора наблюдаемых ьЬг, гг», ... с собственнымп состояниями ! ф) = ~ д!, а„..., !ф)=~г)', 0„...), где по крайней мере одни пз операторов (); не коммутирует с операторами из первого; .б . Е данная система описывается вектором состоя1ф), о все~да мол.но записать в виде линейнои ком- Р бинации всех собственных состояний операторов ь,ьг, ььь ... (2.1.1) где индекс н нумерует различные собственные состояния. ч, . (2.1.1) является математическим выражением ьгринбчрорггула липа суиерпозиции. Отдельные состояния ~ф«), использованные в разложении (2.1.1), называются «базисными состояниями»; при этом говорят, что состояние )г(г) записано в (ьф«))-представлении, сегда предполагать, что базисные состояния явмы будем всег, ляются ортонормированными: гллвл з ов|цля твояия млтеиць~ плотиости и составляют полную систему: 2. ! Р.>(ф.(=1.

(2.1.2б) Из свойства (2.1.2а) циенты азло ( .. ) непосредственно вытекает, чт жения а. даются выражением о коэффиа„= (й„)|Р>. (2.!.3) Выберем нормировку так, чтобы (2.1.4) (ф1ф) = ~ /а л где использована формула (2.1.2а) .. а совместно с разложением (ч|! =. ~ а„" (ч' ~ (2.1.5) для сопряженного состояния (ф1. Напомним, что квадраты модулей |а.!з дают в бу ' ружена ии система будет обна Из формулы (2.1.1) следует, что ч з у, что чистое состояние можно п„определя|ощие состояние,'ф) ч ния п|е,'.') через собственные состоя||ф„) другого набора наблюдаемых. Обычн соб оказывается бочес удобным Практически полного приготовления удается достичь и в б , и в ольшннстве случаев изме этом динамические переме . о на временные не составляют полног наора. результате состояние системы не являет и его нельзя представит ы не является чистым р, остоин я.

Такое ить одним векто ом с но описать, указав, что система им ленные вероятности Кь К, ... нахо | а имеет опреде- И |, и НаХОДИТЬСЯ В ЧИСТЫХ СОСТОЯ" соответственно, В сл чае у неполног при ходимо использовать статист ход . . ическое описание ханике. . е, что н в классической статистической е,что нв "ме- Ь Сист емы, которые нельзя оха акте ром состояния, . р рпзовать одним векто'ояния, называются статиетическилт ел|ееялца Рассмотрим ансамбль частиц в ЧИСТОМ СОСТОЯНИИ то состояние не является одним из собственн ний для наблюдаемо" Я зической величины дадут набор е й, то измерения соответств юп ей то ых а ор результатов, каждый из кор х является собственным значе | с.

О, Е н | м О, Если бы такие измерения были проведены над очень большим числом частиц, которые все находятся в одном и том же состоянии )ф), то, вообще говоря, были бы получены все возможные собственные значения Я. Среднее от полученных результатов дается средним значением (О) наблюдаемой Я, которое определяется матричным элементом %> = (ф19 ! ф> (2.1.6) при условии нормировки (2.1 4). Для получения Я) в случае смеси состояний 1ф), ~~,), ... следует вычислить средние значения Я„) = =(ф,)г|(ф.) для каждой ко~пон~~~ы (чист|их состояний) и затем усреднить пх, суммируя по всем чистым состояниям (предварительно умножив пх на соответствующий статистический вес Ук): (||>= Х (Тл«(ф«!Я1ф.).

(2.1.7) Следует отметить, что статистика входит в (2.1.7) двумя путями: прежде всего через квантовомеханическое среднее значение Я,), а кроме того, через среднее по ансамблю этих значений с весами )Р'„. Первое усреднение связано с возмущением системы во время измерения и потому внутренне заложено в самой идее квантования.

Второе усреднение вводится ввиду отсутствия информации о том, в каком именно нз ряда чистых состояний может находиться система. Последний тип усреднения очень сходен с используемым в классической статистической механике; его удобно проводить с помощью техники матрицы плотности, которую мы опишем в следующем разделе. 2.2. Матрица плотности и ее основные свойства Рассмотрим смесь независимо приготовленных состояний )|р„) (и =- 1, 2, ...) со статистическими весами )р'„.

Эти состояния не обязательно должны быть ортонормированы по отношению друг к другу. Оператор плотности, описывающий смесь, определ|пся тогда следующим образом: р = Е )р.1ф.> (ф. 1, (2.2.1) где суммирование ведется по всем состояниям, имеющимся в смеси; р называют также статистическим оператором.

Чтобы представить оператор (2.2.!) в матричной форме, следует прежде всего выбрать удобный набор базисных 54 55 ГЛАВА 2 (2.2,7) (5' (ф) = (ф ~р 1 4» ('2.2.3) (2.2,8а) (2.2.9а) 'остоянии, например )ф!) (ф,) условию (2.1.1). Используя принцип суперпозпцпп, имеем )2)!„) = ~, аф! ф,„,), (ф„) = ~„а!„"!*(ф !; (2.2.2а, б) тогда выражение (2,2.1) принимает впд )5 им)„м! ~ф )(ф Оаэи Беря матричные элементы выражения (2.2.3) между состояниями )ф,) и (ф!! и применяя условия ортонормировки (2.1.2а), получаем (ф,, ( р ! ф,) = ~, ю' и',"'а!"!*. (2.2.4) а Набор всех элементов (2.2.4), где ! и 1 пробегают по всем базисным состояниям, которые включены в сумму (2.2.2), дает явное матричное представление оператора (2.2,1), плп так называемую А!атрицу плотности.

Поскольку прп этом использованы базисные состояния 1ф„), принято говорить, что набор (2.24) дает элементы матрицы плотности в (1ф„))- представлении. Теперь выведем и обобщим некоторые важные свойства матрицы плотности, с которыми мы познакомились в г,. 1. П режде всего нз формулы (2.2.4) видно, что р представляет собой эрхчигов оператор; это означает, что для матрицы (2 2.4) выполняется следующее условие: В (ф;1р1ф!) = (ф; ~ о1ф!)*. (2,2.5) Далее, поскольку вероятность обнаружить систему в состоянии 1$,) равна %'„и поскольку вероятность того, что 1ф,) можно обнаружить в (чистом) состоянии 1ф ), равна ~а~"'(2, вероятность обнаружить систел!у в сосголн!ьи 1ф ) дастся диагональным элементом 1..

= Х )5'„!"„;"В . 1'.2.6) а Э то выражение позволяет дать физическую интерпретацию диагональных элементов р. Физическое значение недпагональных элементов будет рассмотрено в равд. 2.3. Поскольку вероятности — положительные числа, из выражения (2.2.6) следует, что р„„> О.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы