blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В этом случае Р„= Р, = О, Р, = ~ Р ~. Тогда в представлении с осью квантования г' матрица р имеет вид (1.1.34а) 0 1 — )Р1 илн, эквивалентно, р= — 1 — !Р1 +~ Р! . (1.1.34б) Если рассматриваемый пучок полностью полярпзован, ) Р~ = 1, то -(") (1,1.36) и пучок находится в чистом состоянии !+1/2, з'У. Если пучок ие полярпзован, то !Р/= 0 и соответствующая матрица плот- ности имеет вид (1.1.36) ния матрицы плотности любого пучка; в дальнешием мы будем с сигать лгатрицу плотности определенной выражением (1,!.ЗЗ).
Пропллюстрируем применение выражения (1.1.ЗЗ). Пусть пучок частиц, характеризуемый матрицей (1.1.33), проходит через фильтр, ориентированный в направлении а. Вероятность того, что частица пройдет через фильтр, согласно (1.1.28) определяется выражением ОСНОВНЫГ ПОНЯТИЯ глав» ~ зо !.!.б.б, Идентификация частых состояний В разд. 1.1.2 было показано, что данный пучок находится в чистом состоянии тогда и только тогда, когда длина его вектора поляризации имеет максимально возможное значение ~ Р~= 1. Представим теперь этот результат в другой форме, более полезной при описании более сложных сисгсм.
С помощью выражения (1.!.33) »южно показать, что след матрицы рэ дается выражением 1г (р») = (1/2) (1 + Р» + Рэ + Рэ) = (1/2) (1 +1 Р )э); следовательно, равенство 1г(р') =1 (1.1. 37 является необходилгым и достаточным условием того, что рассматриваемый пучок находится в чистом состоянии, [Заме тим, что равенство следа в (1.1.37) единице следует нз усло вия нормировки (1.1.25),] В случае чистого состояния условие (1.1.37) налагает до полнительное ограничение на элементы матрицы плотности Таким образом, чистое состояние характеризуется только дву мя нвзависил»ыии параметрами в соответствии с выражение (1.1.9).
1.1.6. Алгебра матриц Паули В равд. 1.1.5 было показано, что результат любо~о опыта проведенного с данным пучком, можно вычислить, если из. вестна соответствующая матрица плотности. До спх пор дл этого требовалось совершить математические действия, ис пользуя конкретное представление и применяя правила мат ричной алгебры. Такая процедура, вообще говоря, громоздк и трудоемка.
В этом разделе будет описан более экономны способ проведения подобных вычислений. Изложение базируется на следующем основном соотноше нни между матрицами Паули (1, ! = х, у, г); о,о! — — Ь01+ ! ~„еа»о», (1.1.3 где бу — символ Кронекера, 1 обозначает двумерную единич ную матрицу и 1, если 1, 1, Й являются четной перестановкой Х?"Л, е,!»= — 1, если 1, 1, й являются нечетной (1.1.39 перестановкой ХГЛ, О, если любая пара индексов совпадает, Например, при ! = ! соотношение (1.!.38) даст о-'. =1, (1.1,40а) а прп ! = к, !' = у имеем Охо =-1О», О О„= — Го,. (!.1.40б) Из формул (1.1.37) и (1.1.40) следует, что прн ! Ф ! о;о; + с.,о1 — — О. (1.1.40в) Соотношение (!.1.38) полностью определяет алгебру матриц Паули; его доказательство можно найти в любом учебнике квантовой механики, Важное свойство соотношения (!.!.38) состоит в том, что оно сводит квадратичные комбинации матриц Паули к линейным.
Это позволяет проводить поэтапное вычисление следов от произведений матриц Паули оь уменьшая на каждом этапе число матриц, входящих в данный след. Приведем несколько примеров. Прежде всего, как видно из определения (1.1.6), 1г ОО = О. (1.1.41) Беря след от обеих частей (!.1.38) и используя (!.1.41) полчзем полу- 1га;а;=2б,н (1.1.42а) Произведение трех матриц Паули можно сначала свестп к квадратичной комбинации с помощью (1.!.38); о;о о,„= Ь~ о,„+ ! ~х' е; »О»в беря затем след этого выражения и используя (11.41) и (1.1.42а), находим !го;ога = 2! х еп»б» —— 2!еы . (!.!.426) Еп!е одно важное свойство матриц Паули состоит в том, ч м, что вп у д умерную эрмитову матрицу можно представить в о, Расм де линейной комбинации единичной матрицы 1 н м н матриц ассмотрим, например, матрицу плотности. Предположим, что она имеет следуюгций вид: р=а1+ ~ЬО;; (1.1.43) в этом выражении неизвестны н подлежат определению четыре коэффициента а, Ь„, Ь,, Ь,.
Такое предположение допустимо, поскольку условие эрмитовости уменьшает число нева. ГЛАВА ! ОСГ!ОВНЫВ ПОНЯТИЯ (1.!.44а) (Х ! р ! 7) = 1/2. (1.1.48) р= —,'(! -;-т рвр). (1.!.45) 1.1.7. Выводы (1.1.46) = ! (1 ! Р<х!. Р). (1.1.47) я зрв, мв виспмых параметров, определяющих р, до четырех, а в выражение (1.1.43) входит как раз четыре параметра. Один пз нпх можно найти сразу с помощью условия нормировки (1.1.25).
Используя (1.1.41), имеем тогда а = 172. Умножая (1.1.43) на ей и вычисляя след полученного выражения с использованием равенств (1.!.41) и (1.1.42), находим !грц! — — 2 ~„Ь!Ь!! — — 2ЬР С другой стороны, след произведения р и а; дает соответствующие компоненты вектора поляризации, так что имеем Ь; = (1/2) Р!. (1. 1.44б) Подстановка результатов (1.1.44а) и (!.!.44б) в исходное ра- венство (1.1.43) дает Если матрицы Паули записаны в виде (1.1.6), то о можно получить в виде (1.1.33). В случае чистого состояния ]Х) оператор плотности записывается следующим образом: р'х! =! х)(к!; тогда, обозначая вектор поляризации состояния ]Х) через Р'х>, имеем Последнее выражение допускает простое вычисление вероятности (Х]р]Х).
В силу (1.1.31) можно записать (ь ! р ! А) = !г ! 7) (А' ! р. Используя этот результат в правой части (1.1.46), находим рр!рррр=-,'р.'!(! +Ерг",)(! р-Ер °)]- — — '!.(!.ргр .рЕр .р-Ер р..)- ! ! р! Последний результат можно интерпретировать следующим образом. Пучок частиц может характеризоваться матрицей пл !тиостн р. Этот пучок может проходить через фильтр Штерна . Гсрлаха с фиксированной ориентацией, полностью пропускшощпй лишь пучок в чистом состоянии ]у) (это означает, что фильтр ориентирован параллельно вектору Р!х!). Вероятность того, что частица данного пучка пройдет через фильтр, определяется тогда скалярным произведением р!х' Р двух векторов поляризации.
Вероятность прохождения максимальна, если вектор Р ориентирован в направлении пропускання фильтра (т. е. градиента мапштного поля), и мини!!альна в случае его антппараллельной ориентации. В частности, если пучок неполярпзован, то для любого фильтра Вывод соотношения (1.1.47) может служить первым прн. нером того, как мо>кно упростить вычисления, используя представление (1.1.45) и алгебраические свойства матриц Паули. Результаты, полученные в двух предшествующих разделах, позволяют дать новые определения некоторых из использовав!цихся до спх пор основных понятий.
Мы считаем начальной информацией о пучке значения трех компонент Р„, Р„, Р, его вектора поляризации. Вектор Р можно определить, например, с помо!цью соответственно подобранных экспериментов цо рассеянию. [Подробное обсуждение деталей таких экспериментов можно пайп!, например, в работе Кесслера (Кезз(ег, 1976).]. Если вектор поляризации известен, матрицу плотности можно найти с помощью выражений (1.1.33) и (1.1.45). Эти выражения в сжатой форме содержат всю информацию о пучке.
Полезность выражения (1,1.45) прн факышескпх вычислениях станет очевидной в равд 2.5. Если ~ Р~ = 1, то говорят, что пучок находится в чистом сппновом состоянии плп, что то же самое, все частицы находятся в тождественных состояниях. Совместное состояние Всех частиц данного пучка можно описать, сопоставив всему пучку один вектор состочнпя. В таком случае для полного описания сппнового состояния достаточно двух параметров, например полярных углов 6 и б для вектора Р. С пх помощью можно построить соответствующий вектор состояния, нспользТя выражение (1.1.9). Если (Р] ( 1.
то говорят, что пучок находится в смешан. ном состоянии. Такие состояния характеризуются тремя пара. метрами, например длиной и полярными углами вектора Р, ГЛАВА 1 ОснОВные пОнятпя 1.2. Состояние поляризации и матрица плотности для фотонов 1.2.!. Классическое понятие поляризации волны В этом разделе будет дано описание поляризации фотона.
Мы будем следовать рассуждениям равд. 1.1, с тем чтобы ближе познакомиться с введенными там абстрактнымп понятиями. Начнем с краткого описания поляризации света в классической оптике. Монохроматпческая электромагнитная волна характеризуется тремя величинами: угловой частотой ьз, волновым вектором й = (2п/Л)п (здесь п — единичный вектор в направлении распространения волны, Л вЂ” длина волны) и состоянием поляризация, которое определяется колебаниями вектора электрического поля Е. Вектор поля Е монохроматической волны можно записать в виде Е = Лев'("'™ (1.2.1) где Л вЂ” амплитуда волны, е — вектор поляризации. Ввиду поперечного характера электромагнитных волн вектор е перпендикулярен п В этом разделе мы используем систему координат х, у, г, В которой ось г параллельна п, и ограничиваем.
ся обсуждением свойств поляризации только световых волн. Если вектор Е колеблется вдоль оси х, то свет называют ли. нейно-поляризованным вдоль оси х. Вектор поляризации параллелен оси х и обозначается еа. Если вектор Е колеблется вдоль оси у, то поляризацию можно охарактеризовать, приписав пучку вектор поляризации еи, направленный вдоль оси у. Произвольный вектор полярнзаппя е всегда можно разложить по двум ортогональным векторам, например е, и е„; е = а,е, + а е!аеа, (!.2.2) где а! и иа — действительные коэффициенты. Наложим на (1.2.2) условие нормировки, состоящее в том, что вектор е является единичным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
