blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Аналогично, если всю установку повернуть так, чтобы градиент поля имел направление з', то оставшиеся частицы будут находиться в состоянии, характеризуемом квантовым числом пг' = + 1/2 (здесь т' — собственное значение оператора О, — компонен. ты оператора О в направлении з'). Если падающий пучок с самого начала содержит только частицы в состоянии с т = +1/2, то он пройдет сквозь установку, изображенную на рис. 1.1, без какой-либо потери интенсивности.
Во всех остальных случаях часть пучка будет отфильтрована и результирующий пучок будет иметь меньшую интенсивность, чем падающий. Однако путем поворота установки на различные углы относительно оси з' можно найти такую ориентацию магнита, прп которой пропускается полностью весь пучок. Например, если падающий пучок со- Рпс. 1сн а — спин «имеет направление» а! б — спин «нмеет направление» вЂ” а.
держит только компоненту спина, соответствующую т' = = +1/2 в системе координат с осью з', то он ослабляется при прохождении установки, изображенной на рнс. 1.1. Однако если повернуть магнит так, чтобы градиент поля был направлен вдоль оси з', то пучок будет проходить без ослабления.
В этом случае все частицы отклонялись бы одинаково; иными словами, в данном конкретном эксперименте онн все вели бы себя тождественно. Это позволяет нам дать следующее (предварительное) определение: Если возможно найти такую ориентацию установки в опыте Штерна †Герла, при которой данный пучок полностью пропускается, то говорят, что пучок находится в шгсгож гпиновол! состоянии Если обратиться к полукласспческой векторной модели, то пучок частиц с определенным значением квантового числа пг = +112 можно описать, считая, что вектор спина каждой частицы прецесспрует вокруг направления осн з, причем проекция его на ось г равна +1/2 (рнс. 1.2, а).
В таком случае говорят, что частицы обладают «спнном вверх» Аналогично главк 1 основные понятия 1з а сопряженные им состояния — векторами-строками (+ — ~=(1, 0); ( — ~ ~ =(О, 1). (1.1.1б) Вообще говоря, в пучке, выходящем из установки Штерна— Герлаха, в которой градиент магнитного поля направлен вдоль оси г', все частицы пучка находятся в состоянии с определенным квантовым числом пг' = +1/2 относительно осп г' как оси квантования. Совместное состояние всех частиц можно описать вектором состояния ~Х> = ! + 1/2, г'). Общее спиновое состояние ~Х> всегда можно записать как линейную комбинацию (суперпозицию) двух базисных состояний, например состояний ~ ч-1/2): !х)= ~+ з/+а ~ з/ (!.1.2) В представлении (1.1.1) это эквивалентно следующей записи: (!.1.2а) описывается н случай па = — 1/2 (рнс.
1.2,б) («спин вниз»); векторы спина частиц, находящихся в собственных состояниях вектора 5„прецессируют вокруг оси г. В случае чистого спинового состояния векторы спина частиц прецессируют вокруг только одного направления,параллельного такому расположению установки Штерна — Герлаха, при котором пучок проходит сквозь нее без ослабления.
Если известно, что состояние данного пучка является чисты»0 то совместное состояние всех частиц люжно представить с помощью одного и того же вектора состояния (1!>. Это существенный пункт, и мы проиллюстрируем его некоторыми примерами. Если пучок частиц полностью проходит через установку Штерна — -Герлаха„ориентированную вдоль направления г, то мы говорим, что все частицы в пучке находятся в тождественных спиновых состояниях с квантовым числом гп = 1/2 по отношению к оси г или что все частицы имеют спин вверх относительно оси г. Такое состояние можно описать, поставив в соответствие всему пучку вектор состояния )х> = !+1/2>, Аналогично пучок частиц с сп = — 1/2 можно охарактеризовать с помощью вектора состояния (Х> = = ~ — 1/2). В обычном представлении Паули векторы состояний можно представить двумерными векторами-столбцами Сопряженное состояние описывается вектором-строкой: (Х(=(а'о а,'); (1.1.2б) (здесь звездочка означает комплексное сопряжение).
Состояние ~х> нормируется следующим образом: (Х ! Х) = ! а, !' + ! а, !з = 1. (1.1.3) 1.1.2. Вектор поляризации Для более детального описания чистых спиновых состояний введем так называемый вектор поляризации Р, компоненты которого определяются как средние значения соответствующих матриц Паули; Р, =(од (!.1А) (! = х, у, г). В случае чистых спиновых состояний этп сред- ние значения определяются соотношениями (о~) =(Х!о; 1К). В представлении (1.1,1) матрицы Паули имеют внд (!.1.5) 0 ' " ' 0 ' ' 0 — ! ' (!'1'5) Средние значения (1,1.5) можно вычислить с помощью определений (!.!.2а)„(1.!.2б) и (1.1.6), рассматривая векторы- столбцы н векторы-строки как одномерные матрицы и применяя правила умножения матриц.
Приведем несколько Чистое спиновое состояние можно характеризовать, задавая либо направление спиноз (например, с помощью полярных углов в пашей фиксированной системе координат), либо коэффициенты а, и а, в разложении (!.1.2), В следующем разделе мы выясним связь между этими двумя описаниями н получим явное выражение для коэффициентов а1 и аь Установка типа изображенной на рнс. 1.1 действует в качестве фильтра, так как незавпснмо от состояния падающего пучка выходящий из нее пучок находится в определенном спиновом состоянии, которое зависит от ориентации магнита. Пропускание пучка через фильтр можно поэтому рассматривать как способ приготовления пучка частиц в чистом состоянии.
17 ОСНОВНЫВ ПОНЯМ!Я ГЛАВА ! 1В примеров с целью продемонстрировать важность понятия вектора поляризации. Пучок частиц находящихся в чистом состоянии 1 + 1/2), Обладает всктором поляризации с компонентами Р„=(1 О) . О О =О, (1.1.7а) Аналогично для ансамбля частиц, находящихся в чистом состоянии ) — 1/2), вектор поляризации имеет компоненты Р„=О, Р«=0, Р,= — 1. (1.1.7б) а, = соз (О/2), аа = е'в з|п (О/2); (1.1.8) здесь б — относительная фаза коэффициентов а! и аа. Используя (1.1.8), запишем (1.1.2а) в виде сов (О/2) (А) га е'а з!п (О/2) (!.1.9) Для выяснения физического смысла параметров 9 и б рассмотрим вектор поляризацпв, соотвстству!ощпй состоянию Таким образом, состояния (+ 1/2) и ( — 1/2) характеризуются векторами поляризации единичной длины, направленными сОответстВеннО ВдОль Оси (+3) и ( — в).
ПоэтОму сОстояния ~ + 1/2) и ~ — 1/2) можно назвать состояниями с противоположной поляризацией. Рассмотрим теперь чистое состояние общего вида(!.1.2). Прежде всего удобно параметрпзовать коэффициенты а! и аа, которые являются комплекснымп чпсламп и определяются че. тырьмя действптельнымн числами, характеризующими величины и фазы. Полная фаза состояния (1.1.2) не имеет физического смысла и может быть выбрана произвольно; например, можно потребовать, чтобы коэффициент а, был действительным.
Из этого требования совместно с условием нормировки (1.1.3) следует, что чистое сппновое состояние общего вида (1.!.2) полностью определяется заданием двух действительных чисел. В качестве таких чисел удобно ввести параметры 9 и б, определив их равенствами (1.1.9). Тогда получим Г О 1 '! /' (9/2) Р„=(соз(0/2)е !вз!п(9/2))! 1 ! /! !в, ) =з!НОсозб, (1.1.10а) Р = з!п О з!и б, (1.1.10б) Р, = созО. (1.! . 1Ов) Вектор поляризации (1.1.10) имеет единичную длину: ~ Р!=(Ра+Р'+Р,')'~*=1. (1.!.1 1) Из выражений (1.1.10) следует, что параметры 0 и б можно рассматрпнать как полярные углы, определяющие направление Р, причем 9 представляет собой угол В у между вектором Р и осью з, а относительная фаза б — азиму- 1 тальный угол вектора 1 Р (рис.
1.3). Можно ввести но- 1 вую систему координат х', у', г' так, чтобы ось была параллельна в 1 вектору Р, Выбирая ось 1 В' в качестве оси кван- .! тования, получим в новой системе координат = 1, т. е. все частицы обладают «спином вверх»относительно оси Рпс. 1.3. Направление вектора р. г'. Это означает, что направление вектора поляризации совпадает с тем, «вдоль которого ориентированы спины», Если направить пучок через фильтр Штерна — Герлаха, расположенный параллельно вектору Р, то весь пучок пройдет через фильтр полностью. Выражения (1.1.9) и (1.1.10) позволяют построить в явном виде спиновые функции для любого чистого состояния.
Пусть, например, данный пучок частиц находится в чистом состоянии, при котором спины ориентированы вдоль осн х исходной системы координат. Тогда соответствующий вектор поляризации также направлен вдоль оси х и, следовательно, имеет полярные углы 0 = 90', б = О. При этом, как видно пз 18 ГЛАВА 1 ( .1.9), вектор состояния имеет вид (1 (1.1.12а) Пучок частиц со «спином вниз по вектор поляризации, направл " 1 ), з» по отношению к оси х п авленныи вдоль ( — х), и ха ризуется полярными углами 9 = 90', Ь = 180'. Соот Ший Вектор состояния имеет Ви И )-й( ') (1.1.12б) Аналогично векторы состояний вверх (вниз)» относительно оси б пучка частиц со «спи ном ветственно ве кторами-столбцами но оси и будут представлены соот~л-.
)--'(,) ~ —. )=-.В(,) След ет замети у етить, что четыре состояния (1.1.12) ст как суперпозиции состояний ~ + 1/2) с различными относительными фазамп. Соответств сон 1 в зависимости от того, какова относительфаза (сдвиг фаз) между состояниями ) ~!/2). !.1.3. ..3. Смешанные спиновые состояния Чистые спиновые состояния не яв состояниями, в кот являются наиболее общими Пусть, нап име, в ями, в которых может находиться ансамб ль частиц. р р, два пучка частиц приготовлены независ один в чистом состоянии ~ + 1/2), а зависимо, нии ( — 1/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
