blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 4
Текст из файла (страница 4)
По сл , а другой в чистом состояод словом «независимо» здесь понимается т, зовое соотношение (этот б первый пучок сост Ас т пункт удет пояснен ит нз с частиц, а второй — пз Ас Будем изучать состояние поля иза ии его через ф е поляризации всего пучка, направляя ез фильтр терна †Герла п и Ос е него Т огда мы обнаружим, что н ру, невозможно нанти цию фильтра, при кото ой че ез Весь чок и~~но О пучок по определен с ью. тсюда следует, что объединенный нием. нию не является н . чистым спнновым состояф» Состояния, не являющиеся сианньыси состояниями, или слсе ся чистымн, называются,с и смесялссь с, се- ОСНОВНЫЕ ПОНЯТ11Я Теперь следует рассмотреть проблему описания состояния объединенного пучка.
Очевидно, это невозможно сделать с помощью одного лишь вектора состояния )Х), так как с любым таким состоянием обязательно связано некоторое направление, вдоль которого ориентированы все спины, именно направление вектора поляризации. Тогда, ориентируя вдоль этого направления фильтр Штерна — Герлаха, мы должны были бы получить на выходе весь пучок без ослабления, Поскольку, однако, такого направления не существует, смешанное состояние (смесь) невозможно описать с помощью лишь одного вектора состояния. В частности, смесь нельзя представить в виде линейной комбинации состояний ) + 1/2) и ( — 1/2), соответствующих каждому из двух составляющих пучков.
Чтобы построить такую линейную комбинацию, необходимо знать величины коэффициентов ас и аь н их относительную фазу Ь. Прн этом квадраты модулей 1а11' и )аь11 представляют собой соответственно вероятности (ссс и 1лсь обнаружить частицу в состоянии 1+1/2) и ) — 1/2). В рассматриваемом случае смеси эти вероятности известны: (Тсс = №/№ Юь = №/№ Ас =- Асс+ й м и их можно использовать для определения величин коэффициентов Ж'1 — 1а11', Р я =)а,1', Однако существенный момент состоят в том, что оба пучка приготовлены независимо, так что между ними не существует определенного фазового соотношения, а без определенного значения фазы б нельзя построить вектор состояния (х), описывающий объединенный пучок. Смесь следует описывать, точно указывая способ ее приготовления. Например, в случае рассматриваемого пучка известно, что Асс частиц приготовлены в состоянии 1+1/2), № частиц — в состоянии ) — 1/2) совершенно независимо друг от друга.
Это утверждение содержит всю имеющуюся информацию о смеси. Продолжвм рассмотрение нашего примера и вычислим вектор поляризации, описывающий объединенный пучок. Вектор Р можно получить, беря статистическое среднее по обоим составляющим пучкам: (!!) ( 1 ! ) Нетрудно установить, что Р = 0 Ре 0 Р ()тс Ю з (Асс Ь/ )/№ (1. 1. 13) Следует заметить, что длина вектора поляризации меньше единицы, причем она пропорциональна разности заселенности двух состояний (+ 1/2) и ( — 1/2).
В более общем случае, когда пучок приготовлен путем смешивания Лс, частиц в состоянии )Хд и уь частиц в состоя- ГЛАВА 1 ОСНОВНЫВ ПОНЯТИЯ нпи )Хь), компоненты вектоРа полЯРизации оп е елЯ тем статистического с е н ным пучкам: о усреднения по независимо приготовле- отовленРь = 1)!а(Ха !Оь !Ха) + (Рь(Хь (оь !Хь) = (1 1 ° 14) ,оц (ы — а~г + (а Ьрв (1.1. 14 а) Здесь (ь'а = Уа/?У, (Ь' = йГ /йГ Р! ~ Рм~— — ь — ь,;, ~ — компоненты векр в поляризации, соответствующих каж ом соотношен (1 1 5' ' С сать в векторном виде; .. ) „'. оотношенне (1.1.14) м ( ..
) можно перепн- Р йг Рип ! (Гг Р~ы (1.1.14б) ся соот ' ! = 1, длина вектора Р определяетРз =(Ю',Р(а) -! пг р(ы)ь 'а (Р ) + "' ь (Р~м)г + 2(Ра!Хг Р(а~ Р~ы,= „+ ь+ 2(а' (а ь = (йха + (Рь)г = ! (1 ° 1.15) Здесь чтено, учтено, что скалярное произведение Рин Р"> двух различных единичных векторов всегда меньше ныне единицы. в ( .1.15) имеет место лишь прп Рьн Р<ь! = = 1, т. е. когда оба п чка и рнзации. В этом сл чае об учка имеют одинаковые векторы поля. у а составляюших пучка находятся в одинаковых сппновых состояниях !описываем и ., ),', так что и объединенный пучок на- п' ходится в чистом спиновом состояниь.
11 учка смешиваются в тождествен - апротпв, если ва д то ственных сппновых состояниях, результирующий пучок состоит пз частиц, нахо я в тождественных спиновых пз частиц, находяшихся ется вектором поляризации единичной длины. П ове бшнть на случай жно ез тр да обоб я пх олее чем из двух пучков. Итак, получен следующий результат: длина вектор ризации ограничена условием тора поля- 0 < ! Р ! < 1, (1.1.16) Максимально возможное значение ! Р! = 1 догт . только тгд~), когд аг ког а рассматриваемый пучок находится в пистоль состоянии, Сльеси всегда ха акте и поляризации, д и, лина которого меньше единицьь, а а характеризуются вектором Полученный результат вновь подтверждает основное тождественных состояниях, п ояния: все частицы нах одятся в иял, причем все спины ориентированы в одном и том же направлении, а именно в направлении вектора поляризации Р.
В дальнейшем мы будем называть состояния с )Р!) 0 поляризованными, а состояния с !Р!=Π— неполяризованными. Чистые состояния с ! Р)= 1 будут называться полностью поляризованными. 1.1.4. Сравнение чистых и смешанных состояний Прежде чем перейти к дальнейшему анализу, важно четко осознать различие между чнстымн и смешанными состояниями. Рассмотрим этп состояния вновь с другой точки зрения. Именно, рассмотрим следуюшую задачу. Г1учок частиц, полностью поляризованный в направлении оси у, т, е, оппсы.
ваемый вектором (1.1,12в); ~+ —, у) = —,, (1+ — /+1~ — — )), (1.1.17а) падает на фильтр Штерна — Герлаха, ориентированный вдоль осп г. Что произойдет при этом? Как известно пз квантовой механики, хотя мы точно знаем, что каждая частица пучка находится в состоянии (+1/2, у), невозможно предсказать, пройдет ли данная отдельная частица через фильтр, Дело в том, что измеряемая система, вообще говоря, испытывает возмущение в процессе измерения. В данном случае измерительный прибор (фнльтр) совершенно неконтролируемым способом изменяет состояние падающих частиц. Иными словами, можно лишь предсказать вероятность того, что частица будет пропущена фильтром и после прохождения окажется в состоянии (+1/2) илн будет задержана им. Из выражения (1.1.17а) видно, что вероятность каждого из этих событий равна 112.
Единственный случай, для которого можно предсказать с полной определенностью, пройдет ли данная частица через фильтр илп нет, имеет место при ориентации фильтра вдоль оси йч именно то~да все частицы свободно пройдут через фильтр. Однако в общем случае процесс измерения может быть описан лишь статистически. В силу сказанного состояние, представленное линейной комбинацией вида (1.1.17а), следует интерпретировать следуюшпм образом.
До измерения все частицы находятся в тождественных состоянпчх вида (1.1.17а), так что все частицы обладают одинаковым квантовым числом пь' = 1/2, которое определено относительно оси у как оси квантования. Квантовое число ш относительно оси г остается полностью неопределенным в состоянии (1.1.17а) в том смысле, что любая частица в пучке обладает равной вероятностью как пройти 23 осиовныа понятия ГЛАВА 1 через фильтр, ориентированный вдоль оси г, так п быть задержанной им.
(Грубо говоря, можно сказать, что частицы в состоянии, описываемом линейной комбинацией (1.1.17а), «не знають своего значения т1, Если пучок направляется на фильтр, ориентированный параллельно оси г, взаимодействие с установкой изменяет состояние пучка и вынуждает частипу перейти в одно из собственных состояний. Рассмотрим теперь смесь, состоящую пз У! =М/2 частиц в состоянии !+ 1/2), Лс, = 1«/2 частиц в состоянии ! — 1/2), (1.1.17б) причем оба составляющих пучка приготовлены независимо. Как видно из равенств (1.1.13), результирующий пучок оказывается неполярпзованным.
Если этот пучок направить на фильтр Штерна — Герлаха, орпентярованный вдольоснг, пропущенный пучок будет обладать лишь половиной интенсивности падающего. В этом опыте смесь (1.1.17б) и чистое состояние (1.1.17а), хотя п по разным причинам, приводят к одинаковому результату. Если в случае состояния )1/2, у) все частицы пучка находятся в одном и том же состоянии, то в случае смеси (1.1.17б) мы располагаем меныпей информацией.
Об этой смеси известна лишь, что любая частица может с равной вероятностью находиться в состоянии ! +1/2) или ! — 1/2). В указанном смысле состояние смеси является неполностью определенным. При прохождении через фильтр частицы с т= — 1/2 задерживаются, так что через него пройдет лишь половина пучка, соответствующая частицам в состоянии ! + 1/2>. Этот пример показывает, что статистика необходима уже для описания начального состояния смеси; состояние частиц точно неизвестно, так что смешанному пучку нельзя приписать какой-либо единственный вектор состояния. В заключение подчеркнем, что при описании ансамбля частиц со свином 1/2 используется два типа статистического усреднения. Прежде всего статистические методы необходимо использовать ввиду неконтролируемого возмущения, которое вносит любое измерительное устройство.
Кроме того, при анализе смесей известно лишь, что частицы могут находиться в любом из возможных синцовых состояний. Статистнческое описание следует применять из-за отсутствия достаточной информации о системе. Именно для описания второй из этих ситуаций и был прежде всего разработан формализм матрицы плотности. Более систематический анализ поставленных выше задач проводится в гл. 2. 1.
° ° 15 Спиновая матрица плотности и ее основные свойства р — йт. !Х.)(Х. !+ урь! Хь)(Хь ! (1.1.18) 97„й!./й1, Уь = й/ь/М, М = й!. + й!ь в атарОМ ПЛОГНОСГа ИЛИ Статиетаса . р ' ф маццо о полном пучке. самым содержит всю инч ормац! ковитемса .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
