blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. 5 — (1и рч) =]п 2 (1) + ~ ~Рг(1)(мг). Неравно- 1 весный статистический оператор р мол.но найти как частное решение уран. пения Лпувняля (24.1б], зависящее от времени лишь через параметры Р,(1) Это можно сделать с помощью изложения соответствующего граничного >словпя н уравнению Лиувилля, добавив к кему бесконечно малый член, отбирающий такие решения, что х1р/да+ (1)2Й)1р, Н) = — е(р — р„), где е-1-+О после термодкнзмического предельного перехода Если выбрать дг1я однокомпонентной жидкости в качестве О1 величины н(х), р(х), п(х), 77 ГЛАВА Я та (2.6.4) (2.6.9) Я = (1/2) 1г [Оехр( — [)Н)], (2.6.5) Н = — )ь ° Н = — уйН,О,/2.
гп — — о' (х, !) и (х)) с!х~ 2 Оператор плотности (2.6.1) играет ту же роль в квантовой статистике, какую каноническая функция распределения играет в классической статистической механике, Эту эквивалентность можно показать, рассматриная энергетическое представление Н~п) = Е,[п), в котором элементы матрицы плотности да!отса выражениями (и' ~ р [и) = [ехр( — ]зЕ„)/2] бп „.
Диагональные элементы (п[р]п) дают вероятность нахождения системы в состоянии с энергией Е„. Поэтому система в тепловом равновесии описывается нскогерентной суммой собственных состояний и оператора энергии со статистическими весами, пропорциональными больцмановскому множителю ехр( — РЕ„). Среднее значение ((,~) оператора Я, действующего на систему, дается выра!кепием которое вытекает из (2.2.9). Выражения (2.6.1) и (2.6.4) будут использованы в гл. 7. Здесь мы проиллюстрируем их на простол! примере. Рассмотрим систему частиц со сппном 1/2, на которую действует статическое магнитное поле Н, в направлении осп г. !"ампльтониан такой системы дается выражением (2.5.2): Макроскопическая намагниченность йй системы определяется следующим образом; М! = Л'уй(а!)/2, (2.6.6) где Л( — число частиц в единице объема.
В условиях теплового равновесия матрица плотности диагональна и заполне- то получим квазправповесное, или локально-ранновссное. распределение рч — — Я (!) екр ( — ~ Р (ь, !) (П (х) — т (х, !) р (х) — р (х, !)— где т(х, !) — гндроданампческая скорость, р(к, !) — химический потенциал. Нсравновесный статастпческий оператор, вычисленный на основе ро дает для параметров !1(х, !) и ч(х, !) уравнения теплопроводности н уравнение Навье — Стокса. таким образом, приведенное выше определеиве знтроппи неравновесного состояяпя согласуется с уравнениями неравновесной термодинамики (см.
Зубарев, 1971, гл 1Ч, прнло.кеиие 111). — Прил! ред. От!и!и ТНОРИЯ ЛтАТР!и!Ы ПЛОТНОСТИ нпе магнитных подсостояний соответствует распределению Больцмана (2.6.4) . Отсюда ясно, что М = М„= 0 н М, = Л уй(г [ехр( — рН) а,]/22. (2.6.7) Пусть температура достаточно высока, !тобы было приме. пнмо разложение схр( — рП) = 1 — [)Н = 1+ руйН,б,/2; используя раненства 1го,=-0 и !гав,'- =2, почучаем М, = Н[)узйгзН,/22.
1Лз определения (2.6.2) имеем в высокотемпсратурном пределе 2 = ~~' (лч ~ ех р ( — 6 Н) ~ т) = 2. (2,6,8) Окончательно получаем М, = Лг[)утйзН,/4, что представляет собой закон К!ори для намагниченности ча- стиц со спипом 1/2. СВЯЗАННЫЕ СИСТЕМЫ Связанные системы 3.1. Несепарабельность квантовых систем после взаимодействия В гл. 2 были получены основные уравнения движения (2.4.15) и уравнение Лиувилля (2.4.!6). Они были применены к описанию взаимодействия между квантовой системой и внешним классическим полем.
В этой главе мы рассмотрим проблему описания состояния квантовой системы, взаимодействующей с другими квантовыми спстемамв (над которыми может и не производиться процесс измерения). Эта тема очень важна и по существу имеет первостепенную важность для всего дальнейшего обсуждения. Квантовомеханические теоремы, которые будут сформулированы, дают основу для понимания таких явлений, как квантовые биенвя, угловые корреляции и эффекты сппновой деполяризации. В разд. 3.1 и 3.2 изложена необходимая общая теория, а в равд.
3.3 — 3.5 приведены примеры, иллюстрирующие смысл и применение общих теорем. Начнем с анализа следующей ситуации. Две первоначально отдаленные друг от друга невзаимодействующне системы частиц сводятся воедино и получают возможность взаимодействовать друг с другом, Рассмотрим проблему анализа конечного состояния всей системы, когда составляющие ее системь1 вновь разделяются и взаимодействие между ними прекращается.
Обозначим этн подсистемы соответственно че. рез г!) и ф. Полный набор ортогональиых векторов состояния ~ Ф;) можно выбрать так, чтобы описать систему Ф, т. е. любое состояние этой системы может быть записано в виде линейной комбинации базисных состояний !Ф;). Аналопшно можно выбрать набор базисных состояний ~ф,), описывающих систему ф.
Индексы 1 и ! относятся к наборам квантовых чисел, необходимых для полной характеристики каждой системы. Если до взаимодействия две отдаленные друг от друга системы находились в чистых состояниях, описываемых соответственно векторами !Ф„) и 1фр) (эти состояния не обязательно входят в число выбранных базисных состояний), то состояние объединенной системы до взаимодействия зредставляется хорошо определенным вектором состояния ~ ф,) = ~ Ф.> !„>-. ! ф(а())„.,>, (3.1.1.) здесь стрелка символизирует действие оператора эволюции во времени.
Состояние ~ф(а(!)ьм) зависит от переменных обеих подсистем. Это можно увидеть явно, разложив (ф(ай)ьм) по базисным состояниям ~Ф)!ф!)=~Э ф,) разьсдиненной системы: 1ф(ай),„,) = ~> а(!1, ар)1Ф,.)1ф,.), (3.1.1 б) где сумма может включать интегрирование по непрерывным переменным. Коэффициент а(!у, а13) представляет собой амплитуду вероятности перехода 1Ф„)!фв) — ~/Ф,) /ф,), так что квадрат его модуля ! а (!!Т ай) 1~ дает вероятность нахождения частицы системы Ф в состоянии 1Ф,) и одновременно частицы системы ф в состоянии !ф,) после взаимодействия. Вклад в разложение (3 1 1) дают только те комбинации (Ф) ~ф), которые допускаются законамн сохранения.
Другими словами, данное конкретное конечное состояние )Ф,) коррелироваио с одним (или песколькнмн) конечными состояниями !ф,) таким образом, что все необходимые законы сохранения выполнены. Вообще говоря, сумма в выражении (3.!.1б) содержит более одного слагаемого. Существенно, что амплитуды зависят от переменных обеих подсистем. Следовательно, невозможно записать соотношение (3.1.1б) в виде ('ф,н) =(Ф)(ф), где ( Ф) — вектор состояния, зависящий только от переменных системы Ф, а 1ф) — вектор состояния, зависящий только от переменных системы ф.
По существу разделение такого типа разрушило бы корреляции, которые обязательно существуют между двумя подсистемами. Чтобы разъяснить зто утверждение, рассмотрим случай, когда две системы вообще не взаимодействуют между собой Тогда вероятности найти систему Ф в состоянии (Ф,), а )Ф„) = (Ф.,))фв) в объединенном пространстве (см. приложение А). В процессе взаимодействия временная эволюция вектора состояния ~ф~п) определяется соответствующим оператором эволюции во времени, который является линейныл оператором в объеднненноти пространстве, Линейные операторы преобразуют один вектор состояния снова в один вектор состояния (не совпадающий с исходным), Поэтому начальное чистое состояние 1фь,) должно эволюционировать так, чтобы конечное состояние объединенной систетиы также можно было представить одним вектором состояния (мы обозначим его ) ф (ар) ом) ° 86 глава з систему ср — в состоянии )ср;) не зависят друг от друга, а амплитуды могут быть факторизованы, т.
с, записаны в виде а(11, и))) = а(1, а) а(1, 6) (см. приложение А). Подставляя последнее выражение в (3.!.1б), получаем 11 ср (а))),„с) = ( ~ а (с, а) ) Ф4 ( ~ а (1, Р) ( ср,.)) = / Ф) ! ср), (3.1.2а, б) где состояния )Ф) и )ср) определены соответственно первым и вторым сомножгпелями в (3.1.2а). В этом случае )Ф) зависит только от перелсениых системы Ф, а ~ср) — только от переменных системы ср.
Однако в общем случае, если две системы взаимодействовали друг с другом в прошлом, то амплитуды вероятности коррелированы и не могут быть факторизоваиы. Эти результаты можно резюмировать следующим образом. )ь Если две системы взаимодействовали в прошлом, то в общем случае невозможно приписать один вектор состояния любой пз двух подсистем. В этом состоит существо утверждения, иногда называемого прсснцссполс нвсвппрвбгльносгсс (д'Евра па1, 1976). Мы показали, что этот принцип является прямым следствием общих правил квантовой механики.
Следует заметить, что принцип несепарабельности имеет серьезный концептуальный смысл и вызывает многочисленные дискуссии, касающиеся интерпретации квантовой механики. По-видимому, высшим проявлением таких трудностей является знаменитый парадокс Эйнштейна — Розена — Подольского (см., например, б'Езрадпа1, 1976; 3апппег, 1974)'). Из указанного принципа вытекает важное следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
