blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В разд. 4.5 рассмотрены акснально- и сферическп-симметричные ансамбли. В разд. 4.6 изучены следствия инвариантности относительно отражения от данно!1 плоскости, В разд. 4.6 продолжается обсуждение матрицы плотности возбужденных состояний, введенной в равд. 3.5, и рассмотрен другой важный аспект мультппольного разложения матрицы р.
Элементы матрицы р содержат полную ппформацшо о процессе рассеяния. Однако этим элементам трудно дать физическую интерпретацию; в связи со сказанным важную роль играют мультппольные компоненты р. Свойства мультппольных компонент часто можно предвидеть, рассматривая физику процесса столкновения. Мы продемонстрируем это на примере вектора ориентации.
!.1аконец, в равд. 4.7 рассмотрена временная эволюция мультиполей при налпчш1 внутреннего пли внешнего возмущения. Результаты настоящей главы используются в гл. 5 и 6, где в полной мере выявляется сила метода неприводимых тензоров, 4.2. Определение тензорных операторов 4.2.1. Общее правило построения Рассмотрим два ансамбля; в первом частицы обладают угловым моментом У', а во втором — угловым моментом Если два ансамбля взаимодействуют, то удобно классифицировать возможные состояния, исходя пз полного момента и его е-компоненты, которые мы обозначим здесь соответственно через К и ьУ.
Обычное правило сложения моментов дает !(У'У) К1,!)= 2 (У'М', УМ!КЯ)!У'Л1')!УЛ!). (4,2,1) ~иси >ОВ ГЛАВА 4 (У'М'!ХМ) = 6 я „буу, (4.2.2) т ц<м ко (Ут! Т (Х'Х)ко! УХУ) = что дает Состояния ~ УМХ ортонормпрованны: Теперь рассмотрим систему операторов (У'М'у(УМ(, определенных как внешние произведения состояний углового момента (см. (1.1.2!) ). Состояние (УМ) можно представить (2У + + 1) -мерным вектором-столбцом с единицей в М-й строке и нулями в остальных строках. Соответствующее сопряженное состояние <',ХМ) тогда представляется вектором-строкой с единицей в М-м столбце и нулями в остальных.
Внешнее произведение тогда можно представить матрицами, используя правило (1.1.21). Удобно ввести комбинацию операторов !У'М'у(ХМ), подобную (4.2,1). Система операторов Т(У'У)ко определяется соотношением ') ° Т(У У)ко= ~, ( 1)™(Х'М Х М! К(~)! У 4(') (УМ ! (4 2 3) мм Коэффициент Клебша — Гордана отличен от нуля только в том случае, когда удовлетворяется обычное правило сложе- ния угловых моментов: $» ( У' — Х !» К » ~Х' + У, — К » (Х » (К.
(4.2,4) Поэтому для любой данной пары угловых моментов У' и Х число операторов (4.2.3) ограничено; так, например, если Х' = = У = 1, возможны следующие операторы: один с К = О, три с К=! (Я=О, ч!) и пять с К=2 ((>= ч 2, ч1, О). Явное матричное представление операторов (4.2.3) можно получить, заключая соотношение (4.2.3) между состояниями <У'№~ и !УЬ) (№= У'...,, — У', У = Х, ..., — У) и применяя условие (4.2,2): = 7, ( — 1)- (КМ', У вЂ” М!Ка(У'№!У'М')(ХМ!Хй() = =( — 1)™(У'№, У вЂ” й>! К(>).
(4.2.5) '! Мы рассматриваем только операторы с целым К, ннпгпводпмыв компопю<ты млтгпцы плотности >бу Совокупность всех элементов данного оператора Т(У'У)ко определяет матрицу с (2Х'+ 1) строками и (2Х+ 1) столбцами: Ы>Л(т(ЛУ>К, >Ы> <Угп>т<тт>КО>У,У-П ... <У>л(т<тм>КО(У. -У< ы'. у'-» т(у(>к<у> ы> <у'. у'->( т<у'у>к<у> У, У-» ...<У'.У'-У(т(у у>КО(У.-П (У', -У'>т(У У>ко(УУ> (У', -У'(У<>У>к<у> УУ-<> ...(УЧ-У>т(УУ>ко >У,-У> (4.2.6) Еслп К = У, то получается (2У + 1)-мерная квадратная матрица.
Обратное к (4.2.3) соотношение можно получить, умножая обе стороны (4.2.3) на коэффициент Клебша — Гордана (У'№, У вЂ” Л'~КЩ и суммируя по всем значениям К и (< с учетом свойства ортогональностн коэффициентов Клебша— Гордана (см. приложение В): ~". (У'А", У вЂ” йУ~ КЯ) Т(У'Х)„= = ~( — 1)-л ~~ У (У'№, У вЂ” К !Ка(У'М', У вЂ” М (К® ~~ У'М')(ХМ != л('и (.КП = ( — 1)™ ! У'№) (ХЛУ ! пли ! У'№)(Уй> ! = ~ ( — 1)™ (Х'№, У вЂ” й> ! К(,>) Т (Х'У)кп.
(4.2,7) Наконец, если использовать 31-символы для коэффициентов связи, то определение (4.2.3) можно представить в виде о/Х' Х Ке Т(У'У) о = ~~ ( — 1)' ' (2К+ 1)" ~, ~ ) ! Х М') (УМ ! вгм (4.2,8) ,,/Х' У ~ (Х'М'! Т(У'У)кп !Уй)) = ( — 1)'- '(2К+ 1)"* ~,4, (4.2,9) 108 няппиводнмыв компонгнгы млтиицьг плотности 188 ГЛАВА 4 Эта частная форма очень полезна, так как специальные свойства симметрии ЗХ-спмвола 1см. (В.5)1 позволяют устанавливать соответствующие свойства симметрии тензорных операторов наиболее прямым путем.
4.2.2. Трансформационные свойства при поворотах. Матрица поворотов !УМ>= Х1Ут>0(ю)г»,. м (4.2.!О) Коэффициенты разложения можно интерпретировать как амплитуды вероятности обнаружить состояние (Хт) в данном состоянии )УМ), если новая система координат связана со Чтобы выяснить смысл определения (4.2.3), рассмотрим, как преобразуются тепзорные операторы при поворотах. Состояния углового момента (4.2.1) и операторы (4.2.3) определены относительно фиксированной координатной системы, имеющей, например, осн Х, У, Л.
Пусть вторая система с осями х, у, г получается из первой с помощью двух последовательных поворотов; 1) поворота на угол гр вокруг оси Х (в результате которого получаются новые оси х', у, Х) в 2) поворота па угол О вокруг осн у (который переводит х' и Л в х и г соответственно). Повороты совершаются против часовой стрелки, если смотреть с конца осп по направлению к началу координат. Углы Эйлера, определенные Эдмондсом (Ег(- >попав, 1957), таковы: а = гр, !> = О, у = О. Углы 0 и гр представляют собой полярные углы оси г относительно системы ХУХ (рис. 4.1). Ось х имеет полярные углы (О+ 90', гр), а ось у характеризуется углами (90', Ч> + 90'). Оператор углового момента Л имеет компоненту Хх относительно оси Х п компоненту У, относительно оси г.
Обозначим собственные значения Уг через М и собственные значения У, через т. Собственное состояние !УМ) оператора Уг не является собственным для оператора Х„ так как два оператора Уг и У не коммутпруют при Х~ . Используя принцип суперпозиции (2.1.1), состояние )УМ) можно представить в виде линейной комбинации собственных состояний !Уггг) оператора Хго коэффициенты которой зависят от квантовых чисел углового момента и углов Эйлера ю — — (у, (1, а). Обычно эти коэффициенты разложения обозначаются через 0(ю)г»и: старой угламн Эйлера го. Для данного У совокупность всех коэффициентов можно записать в виде матрицы, называемой лгатрийей поворотов; ее элеиентамп являются амплитуды 0(ю)">и') Явные выражения для различных У даны, например, в книге Эдмондса [Ебптопг(з, 1957), см.
г также приложение В. Закон преобразова- ! ння для сопряженного ! состояния (ХМ! имеет впд 1см. (2.1.5)1: (УМ ! = ~ 0 (гп)" >;, (Ут !. (4.2.1 1) Свя>кеиг теперь опе- в ратор Т(У'У)ко, определенньш в системе ХУЛ, с оператором Т(У У)ач. определен ув ным в системс луг. Для этого подставим (4,2.10) и (4.2.11) в (4.2.3) и используем свойство с>гмметРпи м атРиЦы Рис 4 1 ПРимеР повоРота, опРеделиехгого поворотов углами 8 и гр. гг)* и — и гг> 0мм = ( — 1) 0-гв — м. Здесь ( — 1)'"-и = ( — 1)и-'", так как т — М есть целое число, и ыы получаем Т(Х'Х) = л' ( — 1)' "(У'М', У вЂ” М )КСУ) Х мм Х$ !У' '>0( )„')м,Я0( )Й(Хт!1= = ч' ! Х'гп') (Угп ! ~ (У'М', У вЂ” М !КЯ) Х вп лги ); ( — 1)г- 0 (в>)гг;>>и, 0 (ю)г» = (4.2 12) = ~~', ( — 1)' '"! У т)(Ут! ~ (Х'т, У вЂ” т )йгу) Х вг иг ачч )б ~ ~ (у'й!', у — М ! К1„1)(у'М', Х вЂ” М ! Хеу') 01м 1 = = ЕГ Х ( — 1)' "(У'т', У вЂ” т!КГХ)!У'т')(Ут(10(ю© ч ~игм 0 гйатрппу 00в))в~>г обвшно называют матрнпей конечных враше.
нпй — Прим. перев. 11О ГЛАВА ! непРПВОдпмыс кОмпОненты млтРнцы плотности 111 или, окончательно, Т(КХ) = ~, Т (Х'У), 0 (ы)Д, При выводе соотношения (4.2.13) произведение 0(ча)",1, >ч !!! и'М' у!',0(ы) л! было записано в виде линейной комбинации ма"!л! триц 0(ы)~~, [см. (В.17)], затем было выполнено суммирова- ние по М и М' с учетом соотношений ортонормпрованности для коэффициентов Клебапа — Гордана и, наконец, использо- вано определение (4.2.3). Соотношение (4.2.13) выра'кает опе- раторы Т(У'У)кш определенные в системе ХУА, через опера- торы Т(У'Х)к,, определенные в системе куг.
Операторы, которые при поворотах преобразуются соглас- но (4.2.13), называются неприводил!Ыла!г гензорныл!и операто- рами ранга К [Т(У'Х)кд есть (Х-компонента непрпводпмого тензорного оператора ранга К). Соотношение (4.2.13) пока- зывает, что ранг тензорного оператора остается инвариант- ным при поворотах. В следующем разделе мы обсудим не- которые примеры использования этого соотношения. 4.2.3.
Примеры В данном разделе мы рассмотрим случай, когда угловой момент имеет определенное значение (Х'= У), и обозначим соответствующие тензорные операторы через ТЯкд. Прежде всего покажем, что оператор ранга К= 0 есть скалярный оператор, т. е, остается инварпантным прп любых поворотах. Это можно сделать, доказав, что оператор ТЯРЕ пропорционален (2Х + 1)-мерной единичной матрице 1, Из определения (4.2.8) и соотношения (В.б) получаем (У).. = У;(-~) — ~, М,) [~~ >(Ы[= мм [УМ)(УМ [=, 1, (4.2.14) м где было использовано соотношение полноты 2 [ХМ)(УМ [= 1. Тензорные операторы ранга К = 1 называются векторными опеутаторал!и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
