blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769479), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Трп векторных компоненты Т(У) !о связаны с компонентами Ух, Ха, Уг вектора углового момента Л относительно фиксированной системы ХУ2 следующим образом. Введем сферические векторные компоненты У~! =.т- (172') (Хх ~ !Уа) Уе = Уг' (4 2 16) Как следует нз (4.2.9), ТЯ!л представляется матрпцей иХУ Х 1) (,М' — 1 ОУ'= = ~ (27+ 1) (у + 1) у ] Мб,и'м (4,2.166) Аналогично, используя стандартный результат теории углового момента У~ [ УМ) = ~ (1Х2ч') [(У ~ М) (У ~ М + 1)[' ~ У И ~ 1), получаем матричное представление для других компонент: (Ум' [ У~ ! [ Ум> = =а- (172 А) [(У!-м) (У~ м+ 1))ь 6аг, м ~ ! (4.2. 17а) С другой стороны, пз (4.2.9) имеем у-м (УМ'[Т(У)е ..[УМ> =( — 1)™ 3ч ~ — б,и м ~ !, (4.2,176) 22! [ (2У+ П(У+1) У Сопоставляя (4.2.16а) и (4.2.17а) соответственно с (4.2.!66) и (4.2.176), получаем операторное соотношение з 1!А Т(Х)„=~(„+,) „+,),] У,.
(4.2.18) Таким образом, векторные операторы Т(У)!о пропорциональны сферическим компонентам оператора углового момента. Подобным образом тензор второ~о ранга Т(У)гд можно связать с квадратичными комбинациями компонент вектора углового момента, Сферические компоненты Т(У)го тензора второго ранга связаны с декартовымн компонентами следую- шими соотношениями (приводятся без доказательства): Т (У) о = (ХХ.>ба ) (ЗУ', — У), Т (Х)ь ~ ! = ~ (А!ТХ2) РхУг + УЕУ х) ~ !' (ХТУг + Ух~а)) Т (Х)ь ьг = (А! Х2) [Ух Уа О.; ! (УАУГ + ХГХх)1 (4 2.
19) 1', (4 2,29) где ~ (2У -1- 3) (2У + 1) У (2У вЂ” 1)(У + 1) 1 тогда У,[УМ> = М[ХМ>, и величину Хл для определенного У, можно представить (2У+ 1)-мерной диагональной матрпцей с элементами (УМ' [Ув ! У'И) = Мби м (4.2. 16 а) ГЛАВА 4 НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЪ| МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 1|З Нужно отметить, что соотношения (4.2.!8) и (4.2.!9) справедливы только в случае определенного значения момента У.
Матричные элементы операторов Уд по состояниям (1'М'! и )УМ) при У'чь1 обращаются в нуль, в то время как элементы оператора Т(1'1)кд, вообще говоря, отличны от пуля при 1' Ф У. Мы вернемся к этому вопросу в следующем разделе. 4.2.4. Некоторые свойства тензорных операторов Оператор Т(1'У),, сопряженный оператору Т(1'У) кд, можно определить, выразив его матричные элементы через элементы (4.2.9): (УМ )Т(11)кд!1'51')=(У'М'!Т(1 1)кд!УМ) (4 2 2!) В данном случае звездочка, означающая комплексное сопряжение, оказывается излишней, так как матричные элементы (4.2.9) действительны.
Соотношение (4.2.21) определяет представление оператора Т(У'1)кд как матрицы с (2У+1) строкамн и (21'+ 1) столбцами, которая получается из матрицы (4,2.9) заменой строк на столбцы. "!тобы найти соотношснке между операторамп, правую часть соотношения (4.2.21) нужно преобразовать в матрицу с (2У+ 1) строками и (2У'+ 1) столбцами. Подставляя (4.2.9) в (4.2.2!) и используя свойство симметрии 31-символа (В.5), получаем У/ (УМ)Т(1'1)~~, )У'М')=( — 1) 1, (2К+!)и= ч/У 1'К =( — 1)|' |ед(УМ!Т (П')к д!У'Л!'), (4.2.22) где 3!'-символ во второй строке выражен через элементы (4.2.9). Из (4.2.22) следует Т(УУ)к, =( — !) эдТ(11'),, (4.2.23) где теперь оба оператора представлены матрицами с (2У + 1) строкамп и (21'+ 1) столбцами.
Соотношение (4.2.23) можно использовать для получения важного результата. С помощью (4.2.9), (4.2.21) и условия ортонормированности 3!Цснмволов получаем 1г Т (1'1),д Т (1'1)',, = = 2 (У'М'! Т(1'У) . (УМ)(УМ !Т(1'1)к,, ! У'М')=Ь „,Ь,, (4.2.24) Заметим, что произведение Т(У'1) Т (У'У), „является квадратной матрпцей с (2У'+ 1) строками и столбцами, поэтому след этого произведения определен.
Из (4.2.24) следует, что 1г Т (1)кд — — 1г Т (У)кд 1 = (2У + 1)'* Ьк,Ьд„(4.2.25) где мы использовали (4.2.14), Следовательно, всв тензоры Т(1) кд, за искл|очением монополя, име|от нулевой след. Наконец, напомним, что в теории углового момента для всех непрнводимых тензорных операторов гкд справедлива теорема Впгнера — Эккарта: У' К У'т (1 М'! 1|„!УМ)=( 1)™ ~ ~, )(У'!!(/к//У). (4 2 26) Важно отметить, что приведенный матричный элемент (1'!!)|к!!1) есть скаляр и не зависит от М', М и (). Следует также иметь в виду, что 31-символ является известным числовым множителем, который отражает геометрию взаимодействия.
Таким образом, теорема Вигпера — -Эккарта отделяет те величины, которые явно зависят от динамики взаимодействия, от чисто геометрических величин. Применение соотношения (4,2.26) к тензорным операторам Т(1'1) кд дает / (У М'!Т(1'1) тд!УМ) = — ( — 1) ', (1'!!Тк!)1), (4 2 27) где (У !!Тк!!УУ вЂ” соответствующий приведенный матричный элемент. Сравнивая (4.2.27) с (4,2.9) и используя свойства спмметрии 31-символа (В.5), можно видеть, что (У' !! Тк !! У) = (2К -|- 1) |'. (4.2.
28) Подстановка (4.2.28) обратно в (4.2.27) показывает, что тензорные операторы Т(1'1)кд представляют собой чисто геомет рическне велпчины. 4.3, Мультиполи состояния (статистические тензоры) 4.3.1. Определение мультиполей состояния Рассмотрим ансамбль частиц в различных состояниях углового момента (УМ), характеризующийся матрицей плотности р с элементами (У'М'!р!УМ) 1см., например, (2.3.6)1.
ГЛАНА 4 непгнводпмыа компоненты 44Аттчщы плотности 11в Оператор плотности в (1УМ>)снредставлении можно записать согласно (2.2.3) н (2.2.4) в форме р = ~'„<У'М' ~ р1УМ))У'М') <УМ 1. Подстановка (4.2,7) в (4.3.1) дает р= ~х' Г~<х'м'~р1Ум)< — !)' м'Х т гко ~м'м ХХ' У К4 Х ~ М М ) <2К+1)м Т (Х'Х)ко, (4.3.2) (2К+ 1)' и просуммировав по всем значениям К и Я. Тогда получаем <Х'Л" (р1Хж> = 2„( — 1)'-'" (2К+!)" Х кя /У' У К'ч Х~ „„~~(Т(У'Х)ко) (4.3.6) Следовательно, два описания системы — с помощью элементов матрицы плотности и с помощью мультиполей состояний — эквивалентны.
Они могут быть преобразованы друг в друга с помощью соотношений (4.3.3) н (4,3.6). Соотношения (4.3.3) — (4.3.6) очень существенны во всех задачах, где играют роль свойсгва углового момента, например в теории угловых корреляций, при изучении оптической на- Мультиполи состояния, или статистические тензоры, определяются следующим соотношением: ~ (Т (Х'У),', )= '~'( — !)' (2К+ 1)'"(, ~<Х'М' )р! ХМ). М' — М вЂ” Я/ (4.3.3) Подстановка (4.3.3) в (4.3.2) дает разложение оператора плотности по непрпводимым тензорным операторам: р= ~.
(Т(Х'Х)ко) Т<У'Х)ко (4 3 4) Умножнм обе стороны (4.3.4) на Т(У'Х),, и возьмем след, используя (4.2,24). Это дает соотношение (Т(У У~4о) =!г рТ(Х Х) (4.3.5) эквивалентное (4.3.3). Соотношение (4.3.3) можно обратить, умножив обе его части на качки и явлений спнновой поляризации. Полезность мульти- полей состояния станет очевидной при рассмотрении примеров в следующих главах этой книги.
Если рассматриваемый ансамбль является некогерентной смесью У-состояншц то матрица плотности, как показано в равд, 2.3, диагональна по У: <У'М'! р1ХМ> = <УМ'~ р1ХМ> б„,, и нз (4.3.3) следует (Т(У'Х)ко) = (Т <Х)ко) б„,. Выражение (4.3.4) в этом случае сводится к р= К (Т<Х)ко')Т<Х)„. /ко (4.3.7) (4.3.8) Следовательно, когерентность состояний с разливными кван- товылш щ4слалш М характеризуется отличными от нуля муль- типолялш с Я Ф О. 4.3.2. Основные свойства мультип злей состояния Для рассматриваемого здесь случая свойство эрмитовости (2.2.5) означает, что (У'М'1р~ХМ)=(ХМ )р/Х'М')'. (4.3.9) Выполнив комплексное сопряжение в (4.3.3) и учитывая (4,3.9), получим 3» (Т (Х'У)ко) = ( — !) ~~~ (Т (УХ')Ай о).
(4,3.10) Для определенного значения момента У'= У соотношение (4.3.10) связывает друг с другом мультпполн с компонентамп 1ч' и — Я: (Т<У)И) =( — 1)о(Т(Х))г а). (4З.!!) Этот результат показывает, что мультиполи Т(Х'Х) ко с У' Ф У описывают когерентность состояний с различным угловьы4 моментом У. Если рассматриваемый ансамбль есть некогерснтная суперпозиция состояний с различными квантовыми чпсламп 741, то матрица плотности диагональна по М, и (4.3.3) показывает, что все мультиполп с 1г чь 0 обращаются в нуль. Соответствующий оператор плотности в этом случае имеет впд Р = Е (Т (У'У)ко)Т (Х'Х)кь.
нтк ГЛАВА 4 В частности, из (4.3.11) следует, что мультшголи (Т(У) ) кс) представляют собой действительные числа. Часто используется другая система параметров: (Т (Х'Х)ке) = 1г рТ (У'У)КЕ (4.3.12 а) (в иее входит оператор Т(У'У) вместо сопряженного ему оператора). Подставляя (4.2.23) в (4.3.!2а) и используя определение (4.3.5), получаем (Т (ЛУ)де) = ( — 1)' '+Е (Т (УУ')к-Е) (4.3.12б) Теперь, учитывая (4.3.!О), легко видеть, что две параметризацни связаны друг с другом соотношением (Т (Х'У)ке)* = (Т (У'У) ке). (4.3.12в) Чтобы понять важность мультинолей (4.3.3), рассмотрим, как они преобразуются при поворотах.
Совокупность мультне полей (Т(У У) ) с соответствующими квантовыми числами М', М, (г в (4.3.3) можно определить относительно осей Ху2. Вторую совокупность мультпполей (Т(У'У),) можно определить относительно координатной системы хуг, показанной на рис. 4.1. Используя (4.3.12а) и (4.2.13), получаем (Т (У'У)ке) = (Т (У'У)ке)* = (1г рТ (У'У)ке]" = = [~. Уд (ш)к«е1г рТ (УгУ)+ Затем, снова используя определение (4.3.12а) и соотношении (4.3.12в), находим окончательно (Т(У'У)КЕ) 2 (Т(У'У)кр) УУ(ш)«Е*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
