blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Механизм возбуждения может быть любым, и атомы могут быть возбуждены, например, с помощью электронного удара, за счет поглощения фотонов или прп прохождении пучка через фольгу. Наша главная задача — вывести соотношения (5.2.6) и (5.2.7), которые будут использованы в следующих разделах. Читатели, не слишком интересующиеся математическими подробностями доказательств, могут перейтп прямо к формулам (5.2.6) и (5.2.7). Возбужденные атомы можно рассматривать как когерентную плп некогерентную суперпозицию состояний ) а1У~М~), где .1~ и М1 — квантовые числа углового момента, я~ означает совокупность всех остальных квантовых чисел, необходимых для описания состояния.
Предполагается, что атомы переходят на нижележащие уровни !а2У2МД. Далее мы будем считать а1 и а~ фиксированными п опустим зависимость векторов состояния от этих квантовых чисел. Для дальнейшего упрощения будем пренеб. регать конечным временем жизни конечного состояния. Если использовать формализм сппральностей, то испущенные фотоны описываются векторами состояния !пыку, где и есть направление наблюдения.
Выведем теперь выражение для поляризационной матрицы плотности испущенных фотонов. На первом этапе вычислений будем использовать п в качестве осн квантования и все квантовые числа момента относить к этой оси. Такой выбор значительно упрощает вторую часть расчета, проводимого в следующем разделе. В конце вычислений мы преобразуем выражения к координатной системе, связанной с процессом возбуждения, ГЛАВА Н 147 НЗЛУ'|ВНПГ ПОЛЯРПЗОВАННЪ|Х АТОМОВ Непосредственно после возбуждения ансамбль возбужден. ных атомов можно описать матрицей плотности р(0), которая переходит согласно (2.4.15) в матрицу плотности р(Х)оос = (Х(1) р(0) (Х(1), (5.1.1) где оператор (Х(1) описывает временную эволюцию системы за счет взаимодействия с виртуальным полем излучения.
(В этом разделе предполагается, что состояния атомов не возмущаются внутренними или внешнимн полями в периодмежду возбуждением и распадом.) Матрица р, 1 описывает полный ансамбль атомов и фотонов в момент времени 1, т. е, атомы, еще остающиеся в возбужденных состояниях, атомы на низших уровнях и фотоны, испущенные в интервале времени от 0 до й Процесс распада (радиационного перехода) можно описать в первом порядке теории возмущений.
В этом приближении оператор (7(1), определенный соотношениями (2.4.35) н (2.4.31), имеет вид о о( = и о(, [1 — „' 1 и(.ь а.~- о - и 11, [( — †„' 1 о (,(1 о (*(, с ~, и ( и! о где мы использовали (2.4.25). Элементы оператора Г, описывающего взаимодействия между атомами н виртуальным полем излучения„будут определены ниже. Поскольку (Х(Х)о представляет собой оператор свободной эволюции, мы имеем (Х (1)о! ХоиовпЛ) = ехр [ — (Х/6) Ее! — св1[1Х МовпЛ), (5.1.3а) (ХЩ/(Л11)=ехр[ — (с/Ь)Е! — у!Ф/2Ц/,М), (5.1.36) где учтена конечная ширина уровня начального состояния. Через Е, и Ео обозначены энергии состояний с угловыми моментами Х, и Хе соответственно, а 71 — постоянная распада (затухания).
Нас интересуют элементы (впЛ'1р(1)~апЛ) приведенной матрицы плотности р(1), которая описывает только поляризационное состояние испущенных фотонов. Нормировку выберем так же, как в (1.2.17); тогда диагональные элементы (впЛ[р(1) ~апЛ) дают интенсивность фотонов с частотой а и спи[оальностью Л, детектированных в направлении п. Ис- пользуя (3.2.3), запишем этн матричные элементы в виде (сопЛ 1р(!)1апЛ)= )' (Х М,впЛ 1р(1)оо!!ХХЛ!овпЛ). (5.!.4) |,м, Подстановка выражений (5.1.1) для р (1) „1 и (5.1.2) для (Х(1) дает') ( пЛ'!р(1)! пЛ)= —, ~Ч (Х,и,сопЛ'~ ~(Х(~)~ИХ,(т)(1~ Х',М',)Х (о ! 111 Х (Х,'И,' ~ р (О) ! Х,М,) (Х,Л1, ~ Х ! Х ~ (Х(т)о) (Х(т)ос(т ) Х,Л(еапЛ) о Члены, пропорциональные единичной матрице, не могут давать вклад в переход Х! — э-Хе~/1.
Используя (5.1.3), получаем (апЛ'1р (1) ! апЛ) = — (Х,иеапЛ'[Г~Х;М',)(Х',М',~ о(0)~Х,М,) Х ммя с,м!!!м( г с х((н(с((м,,ч[1с «(Р( (-~ +-',т) ))х Х[[с. го(-.— и+о(с(.(~, (!. л( со где сони =(1/й)(Е, — Е, ), в„=(1/6)(Ео — Е,), а Егь у! и Е„ у, означают эиергни и постоянные распада (затухания) состояний ! Х!М!) и 1Х!М!) соответственно, Матричные элементы оператора у' в дипольном приближенин в нерелятивистском пределе имеют вид (подробности см., например, Берестецкпй н др., !968) (Х,МевпЛ ~ Г1Х(М!) = — !ае! (2нй/в) * е (Х,М, ~ е,'г [ /(М!), (5.1.6) где е„— вектор поляризации (1.2.8) (Л = ~1), г — оператор диполыюго момента. Интегрирование по времени в ') В соответствии с нормировкой (1.2.17! мы должны снести множитель Лв.
148 гллвх е изл>чвнпг полчлч!зовлниых !томов (5.1.5) легко выполняется: (апк" ]р(Х)]вил)= „, ' ) (УхМх)е,',г]У,'Мс) Х сеид Х',М,Х,Лс, Х(УМ,'1р(0)]УМ,)(УЛ1, ](е,'г)е]УсМ ) Х ехр ]1 (в + век + су!(2) Х] — 1 '1 /ехр 11 (в + в, + !у /2) Х] — 1) х( -", ' )( Х(в+ ве ° + Ху,/2) ) (, ! (в+ в + Ху/2) (5.1.7) Для получения численного множителя, стоящего перед всем выражением в правой части, мы положили а„= ам, но- ско,пьку расщепление верхних уровней намного меньше раз- ности энергий верхних и нижних состояний. Наконец, ум- ножнм обе стороны (5.1.7) на плотность конечных состояний ахс(лЫ11/(2ис)ей! и проинтегрируем по форме линии. Так как основной вклад вносит область а = ахь интеграл по а мож- но распространить до †, что дает пренебрежимо лсалую ошибку, н затем выполнить интегрирование в комплексной а-плоскости, используя интегральную формулу Коши, Тогда имеем Р(п, 1)л, =С(а) ~ (УгМх]ел,г]У1М"1)(У,'М'1]Р(О)]У!Мс)Х Х1мс>смс Х (У,М, ](е*г)с )У.М ) (е — ес)/а + (у! + у! )/2 (5.1.8) где С (е>) = ее!ее с/лх]2исей (5.1.9) и с(лс — элемент телесного угла, в который испускаются фо- тоны, В (5.1.8) для элементов полученной матрицы плотно- сти введено обозначение р (п, 1)х;л.
Векторы поляризации ел п ел можно исключить из выра>кения (5.!.8), если учесть, что в формализме спиральностей координатный ба- зис состоит из трех единичных векторов е+ь е „и, и вектор днполя г можно разлохспть по этому базису: г = г',е+, + г* е, + г",и, где г ьге — компоненты вертора г соответственно вдоль направлений е 1 а. Следовательно, г и ге являются сферическими компонентамп вектора г.
В таких координатах скалярное произведение г и ел запишется следующим образом: е' г=г = — г (5.1.10) Это приводит к следующему окончательному выражеии!о для элементов полярпзацвонной матрицы плотности фотонов, наблюдаемых в направлении и: р(п, 1)мл=С(се) 2: (У.,Л(х(г,,]У1М1) Х >ХМ е 11М!Х1М! Х (У',М', ] р (0) ] У1Л11) (Х!Мс] г', ] Х„К ) Х ! (Е; — Гс \(Ь + (у, + у, )/2 5.2. Общая теория 11.
Разделение динамических и геометрических фактооов Чтобы разделить динамические н геометрические факторь! в выражении (5.1.11) и явно учесть закон сохранения углового момента, можно применить лсетод неприводимых тепзорных операторов. Прежде всего разложим р(0) по мультиполям состояний, которые характеризуют возбу>кденные атомьс непосредственно после возбуждения и определены в системе с осью квантования, направленой по и: р (0) = ~ ;Р(У,'Х,)е ) Т (Х;Х,) . (5.2.1) Хе> Х Подстановка (5.2.1) в (б,з.ее!!) дает р(п 1) =С(а) ) 1г']г Т(УХ) г" л~](Т(У У)с )Х ! — ехр 1 — х(е, — е ) ХХа — (у + у,) 1/2] (5.2.2) Х(еп — е,)/а + (уп + у,)/2 1'де След выРажается суммой: 1г]г лТ (УХ) г~ л] = ~х' (УхМе] г,]Х!Мс) Х х,м,м,лс, Х (Х1М1] Т (У',У,) ! У,М,) (Х1М, ) г" л ] УеМ ).
(5.2.3) Чтобы выполнить суммирование в (5.2.3), мы применим сна. шла теорему Впгнера — Эккарта (4.2.27), которая позвопяет разделить динамические факторы (прпведенные матричные элементы) и геометрические элементы (3/-символы), а потолс, используя соотношение (В.9) (приложение В), выразим сумл!у ГЛАВА 6 излгчение пОляРИЗОВАыных АТОИОВ 151 по М1М1МХ через 61хсимвол. Подставляя элементы тензорных операторов (4.2.9), получаем 1гЕг Т(У1У1)к,г' 1=Х агИУ1>(ЧГУХ>'( — 1)""*"Х Х(2Х(+1)' — л' х у у у (524) В то время как мультиполп (Т(У1(Л)~~ ) определены по отношению к осп квантования и, информация о возбужденных состояниях обычно задается с помощью тензоров (7'(Х1У1)к ) определенных в системе координат ХУХ, которая больше подходит для описания процесса возбуждения (как, например, ксистема столкновения», введенная в равд.
3.5). Поэтому в качестве последнего шага нашего расчета преобразуем тензоры от формализма спиральностп к системе ХУХ. Если О и 1р — полярные углы вектора и в системе ХУХ (см., например, рис. 4 1, где ось г может теперь совпадать с направлением и), то, согласно (4.3.13), змеем соотношение (Т(У1Х1)ка) = х (Т (Х1У1)~ч) Х! (061р)ча " (5.2.5а) и обратное ему (Т(У1У1) .
) = ~ (Т(У1У1)» ) 0(061р)' !. (5.2.5) Подстановка (5.2.4) и (5.2.5) в (5.2.2) дает окончательный результат Ф» р(п, 1)1,А=С(61) ~~' (Х»Иг11Л)(УХ!~г11Л)*( — 1) Х 11 !! ххкаа ! — »хр ( — 1 (е ° — е ) цв — (тг + т ) п12) Х, л ' „'+ „+ ' ', (5.2.6) где 17 = Х' — Л. Заметим, что спиральнасть инвариантна относительно поворотое, так что значения А' и А Одинаковы в обеих координатных системах. Выражение (5.2.6) дает поляризационную матрицу плотности фотонов, наблюдаемых в направлении п, испущеиных за интервал времени (О, 1).
Можно также определить состояние фотонов, которые пспущены в момент времени ! (т. е. за короткий интервал от 1 до 1+ Ж). Соответствующая матрица плотности получается дифференцированием матрицы (5.2.6) па времени. Обозначив производную 61атрпцы плотности через р(п, 1)А.А, найдем й» р(п !)АХ=С(сэ) У (У»ЦгПЛ)(У»Пг 1Х1)*( — 1)ль ' Х 1'1111»ход ,АХ 1 1 ХА~ Г1 1 Х(1 Х рà — Т( А 2 Далее элементы матрицы плотности можно выразить через параметры Стокса с помощью (1.2.24).
Это выражение и выражение (1.2.29) позволяют получить полную информацию о поведении излучения в полярпзационных экспериментах. 5.3. Обсуждение общих формул 5.3.1. Обшая структура уравнений На выражениях (5.2.6) и (5.2.7) основано рассмотрение, проводимое в остальной части этой главы и следуюшей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
