blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Таким образом, спнн-теизоры должны удовлетворять условию 2б !(Т(ЦА,>!Е~1; (4 4.15) причем Х !(Т(ЦК',) !«=1, кя (4.4.16) если (и только если) р определяет чистое состояние. В литературе пучок частиц со сппном 1 обычно называют полностью полярнзовинныж, если оп представляется чистым спиновым состоянием, т. е.
если (и только если) выполняется условие (4.4.16). В этом случае состояние пучка можно представить с помощью единственного вектора состояния !7), который можно разложить по базисным состояниям (4.4.5): !7)=а+,1+ Ц+а,10)+а,! — Ц. (4.4.17) Выражение (4.4.17) показывает, что полностью поляризованный пучок частиц со спинам 1 в общем случае определяется пятью действительными параметрами, например абсолютной величиной коэффициентов ам и их относительными фазами.
Развитый здесь формализм представляет интерес для описания процессов рассеяния поляризованных частиц. Эта тема яе рассматривается в данной книге, за исключением нескольких формул, приведенных в приложениях А н Б. Детальное описание можно найти в учебниках по теории рассеяния (см., например, йо|(Ьега, ТЬа!ег, 196?; Впгйе, ЗоасЬа1п, 1982). Обсуждение экспериментов по рассеянию поляризованных электронов, содержащее многие экспериментальные |к|дробности„можно найти в книге Кесслера (Кезз1ег, 1976).
Более формальные аспекты теории рассмотрены Робсоном (РОЬзоп, 1974); см. также В!иш, К!е1прорреп, 1961. 4.5. Свойства симметрии. Связь между симметрией и когереитиостью 4.5.!. Аксиально-симметричные системы .1.5.1.1. Общие результаты Возбуждение ансамбля частиц (атомов илн ядер) может быть достигнуто различными способами: за счет взаимодействия с внешннмн полями, поглощепвя излучения, столкновевепия с другими частицами и т. д.
Предполо|ким, что процесс возбуждения аксвальпо-симметричен относительно некоторой оси. Эта ось может задаваться, например, направлением внешнего поля. Если при возбуткдении за счет соударения с электронами в эксперименте рассеянные электроны не регистрируются, ось симметрии определяется направлением падающего электронного пучка. В этом разделе мы всегда будем принимать ось симметрии за ось Х нашей координатной системы (ось квантования).
Выбор осей Х и У, перпендикулярных оси Х, произволен, и поэтому физические свойства анса.пбля не должны зав||ссть от этого выбора (частицы не могут «знать», как заданы оси Х и У). В частдюсти, действительная и мнимая части мультпполей состояяпя представляют собой непосредственно измеримые величины (см. гл. 5) и потому долгкны иметь одна и те же «асловые значения в системе ХУХ и в любой системе хуХ, полученной поворотом вокруг оси Х на произвольный угол т. Это приводит к следующему усло- ЬИЮ Сиях|СТРии: (Т (У'У)ко) = (Т (У'У)ко)-» (4.5. Ц где (Т (У'У) о) и (Т(У'У) о) определены соответственно в данной системе ХУХ и в |ювернутой системе хуХ.
Соотношение (4.5.1) связывает две комплексные величины, поэтому пх действительные н мнимые части дочжиы быть равны. С другой стороны, согласно закону преобразования (4.3.!3), мульгиполи связаны соотношением (Т(У'У)ко) = Х (Т(У'У)+,),. У)(ООХ)'оо'. гллвл о нвппиводимыв компонвнты мьтяпцы плотности 1зз где у — угол между осями Х и х. Для элементов матрицы, определяющей поворот вокруг оси 2, имеем выражение [см. (В.12)) О(ООу)оп =ехр( — Щ) боп.
(4.5,3) Подстановка (4.5.3) в (4.5.2) дает (Т (У'У)ккп) = (Т (УУ)кп)„, ехр ( — 1Яу). (4,5.4) Соотношение (4.5.4) представляет собой общий закон преобразования, справедливый для любого угла у. Кроме того, в силу акспальной симметрии условие (4.5.1) также должно выполняться для любого угла у, Это возможно, только если Я = О. Таким образом, аксиально-симметричные системы характеризуются мультипольнылш компоненталш (Т(У'У),) а все компоненты с Я~О с необходимостью равны нулю, ибо они нарушают условие (4.5.!).
Следователыю, оператор плотности, характеризующий систему с аксиальной симметрией, имеет вид 4.5.1.2. Обращение оси Е В этом и следующем разделах мы рассмотрим состояния с определенным значением момента У' = У. Аксиально-симметричные системы можно классифицировать по их свойствам относительно обращения оси симметрии: Х - — Я. Обращение оси соответствует повороту на угол и вокруг осп У. Соответствующие элементы матрицы поворота даются выражениями (В.12) и (В.15): 0 (ОпО)о1) = ( 1) бч — о) (4.5.6) р = Х (Т (У'У)ко) Т (У'У)ко лтк Из (4.3.8) тогда следует, что матрица р диагональна по М.
Таким образом, мы приходим к следующему общему результату. Когда возбуждение ансамбля частиц вызывается процессом, акспально-симметричным относительно выделенной оси, состояния с разлпчными компонентами углового люменга обязательно возбуждаются некогерентным образом (если ось квантования совпадает с осью симметрии). Для создания когерентной суперпозиции состояний с различными компонентами углового момента необходимо, чтобьс процесс возбуждения не был акснально-симметричным. Подставляя (4.5.6) в общее соотношение (4.3.14) и учиты- вая аксиальную симметрию, получаем (Т (У)гсо) ~ ~'„, (Т (У)кд) о1 ( — 1) боо = ( — 1) (Т(У)ко)ооь (457) где (Т(У)к~о) и (Т(У)~о), определены относительно осей Л ц — с.
Если данный ансамбль инвариаптен по отношению к преобразованию Я-о.— Я, т. е. значения измеримых величии не меняются при этом преобразовании, то должно выполняться условие (Т (У)ко) = (Т (У) ко)к и (4.5.8) Соотношения (4.5.7) и (4.5.8) могут одновременно выполняться лишь для мультиполей четного ранга К Таким образом, акспально-симметричная система, инвариантная относительно обращения оси симметрии, характеризуется мультиполями четного ранга К, а все тензоры с нечетиь|ми К с необходимостью обращаются в нуль.
В частности, вектор ориентации равен нулю. Следовательно, рассматриваемая система представляет собой частный случай выстроенной системы в соответствии с определением в равд. 4.3.3. Посмотрим, какое требование налагает условие симметрии (4.5.8) иа элементы матрицы плотности. Используя (4.3.6) и свойство симметрии Зу-символа, получаем (У вЂ” М! р [У вЂ” М) = Е (Т (У)ко) (2К + 1) ' Х К У У Кч к ( — Ц" [ )) =(УМ[р[УМ>, (4.5.9) так как только мультиполп с четным К дают вклад. Диаго.
нальные элементы матрицы р пропорциональны заселенности состояния [УМ), а постоянная пропорциональности определяется нормировкой. Таким образом, (4.5.9) показывает, что состояния [УМ) п [У вЂ” М) заселены одинаково. Полезно обсудить эти результаты с иной точки зрения, уделяя больше внимания физике явления. В полуклассической картине с состоянием [УМ) ассоциирован прецессирующий вокруг оси Х вектор длиной [У(У+1))ыо; его Х-компонента равна М. Длину вектора можно изменить, не меняя его направления в пространстве, таким образом, чтобы длина .вектора стала пропорциональна числу частиц в соответствующем состоянии [УМ).
Исходя из этой модели, систему, удовлетворяющую условию (4.5.9), можно представить диа":гаммой, изображенной на рис: 4.2, где стрелки означают ГЛАВА 4 р (Т (У)ео) 7' (У)оо 2у (4.5.1 1) векторы углового момента н имеют разрешенные направления в пространстве. Диаграмма аксиально-симметрична и инвариантна относительно операции 2-+- — 2, т.
е. длина векторов, имеющих противоположные направления, одинакова. В частности, диаграмма показывает, что суммарный момент (1) выстроенной системы равен нулю. Условие (4.5.9) выполняется тривиальным образом для атомных ансамблей, в которых все частицы находится в од- 8 ном состоянии ~ У„М = 0). Система такого рода представляет собой простой частный пример выстроенной системы без ориентации. 4.5.У.З Оууиеятированные систетны Лксиально-симметричная система, не обладающая инвариантностью относительно обращения осп симметрии (2), изображена на рис. 4.3. В этом случае длина векторов, имеющих противоположные направления, различна.
Как видно из рисунка, система обладает отличной от нуля компоРнс. 4ть Вмстроеннан ан- нентой суммарного момента. Избыснально-снмметрнчнан снток векторов момента, имеющих одно и то же направление можно описать величиной (УГ) или (Т(У)ю). Это пример ориентированной системы. Ориентированные системы могут возникнуть, например, в процессе возбуждения атомов или ядер светом с круговой поляризацией, приводящем к различной заселенности состояний 1УМ) н 1У, — М) в силу правил отбора по угловому моменту. 4.5.2. Сферически-симметричные системы Рассмотрим ансамбль частиц, не имеющий выделенной оси в пространстве (например, систему неполяризованных частиц со спнном 1/2).
В этом случае оси ХУХ нашей координатной системы можно выбрать произвольно; следовательно, все физические свойства ансамбля должны быть независимымн от положения координатных осей. Это требование приводит к условию симметрии (Т(У'У)к4 =(Т(У'У)к4м (4,5.10) нвпрпводпмыв компонвнтта матрицы плотности 127 для всех повернутых систем, т. е. для любого выбора углов Эйлера. Сопоставление с соотношением (4.3.14) показывает, что условие (4.5.10) может выполняться только в том случае, если матрица У)(еу) пропорциональна единичной матрице, (к~ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
