blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Доказательство можно найти в учеб- никах по теории рассеяния (см., например, Ког)Ьегд, Тйа!ег, 1967, и Впг1се, Зоас)га(п, 1982). Соотношение (3.5.!1) дает, в частности, о(М) =о( — М). (3.5.! 2а) В случае Ь = 1, объединяя условия (3.5.11) с условием эрми- товости (3.5.10), получаем <7(О)1( — )Г> = — <((О) 7(Ц*> = — <7(Ц 7(О)*>*. (З.Гь)26) Далее, элемент <7(+1)7< — !) ') действителен: (1(+1)7( — ц">=<)( — ц((+ц*) =<7( — ц)(+ц'>'.
(3 5.!2в) Таким образом, в случае 7. = 1 матрица плотности прини- мает вид и (ц <) (+ ц 1' (0)'> (7 (+ ц 1' ( — ц') р(7.)= <1(+ц((0)'>' о(0) — (1(+ц)(0)'>' . (3.5.!3) (1'(Н ц)'( — ц')' — (7(+ц)(0)") о(ц Она полностью определяется с помощью пяти действитель- ных параметров, например п(Ц, о(0), <!(+Цг( — 1)'>, а так- же действительной и мнимой частей элемента <1(+Ц!(0)'). Удобную параметризацню матрицы (3.5.13) предложили Хертель и Столп (Нег!е1, 5(о11, 1978). В этои параметризации четыре параметра — со а=(1 ( )) (3514) !о (О) о (1ЦМ о, совместно с дифференциальным сечением рассеяния (3.5.8) образуют набор из пяти независимых действительных параметров.
Число независимых параметров можно еще уменьшить, если явно принять во внимание сохранение спина. Поскольку мы пренебрегли всеми явно зависящими от спина слагаемыми в гамильтониане, описывающем столкновения, полный спин 8 и его г-компонента М, сохраняются в процессе столкновений; следовательно, 1 1 3=За~ 2 — — Зг+ —, Ма=МЫ+т~=Мао+ гпа (3 5 15) В учебниках по теории рассеяния показывается, что зависи- мость амплитуд рассеяния от компонент спина может быть факторизоваиа, например, КМ Магт„м„гпо) = (огМю 'ггг! ол!0) (ооМ00 2 гпо)оМ0) 1(М)~~6 (3 и, 6) зм Здесь !(М)(аг обозначает амплитуду рассеяния для возбужде- ния магнитного подсостоянпя М в канале рассеяния с полным спином 8. Заметим, что амплитуды 1(М)('1 не зависят от всех спиновых компонент; скобки в (3.5.16) обозначают обыч- ные коэффициенты Клебша — Гордаиа ').
Подставляя выражение (3.5.16) в (3.5.7) и используя свой- ства ортонормировапности коэффициентов Клебша — Гордана, находим (М'! р (Е,) ! М) = <1(М') ! (М)') = (28 + Ц )0 (Л4')(а')0 (М)(з)*. (3.5.18) 2 (280 + 1) Л.4 Условие симметрии (3.5.1!а) принимает вид ) (М)ив =( — цм) ( — М)'э', (3 5 18а) что можно показать, используя соотношение (3.5.16) и свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана и проводя некоторые алгебраические выкладки. С помощью (3.5.18а), используя также (3.5.!7), можно получить дополнительное условие симметрии следующего вида: < '! <~)! — М>=„„,' ц,')."(Ы+ЦН(')')(- )гз= У' (28+ Ц)(М')(з)1(Л4)(з) = ( — Ц'1 <М'! р ! М>.
2 (250+!) / 0 (3.5.18б) В случае с, = 1 это условие дает сова= — 1, так что матрица плотности (3.5.!3) полностью определена че. тырьмя параметрами а, Х, у, ') Сложение угловых мопептов н коэффннпепты Клебша — Горлана сч. в т. 2, гл. 13 кнпгп Месспа (Мена)а)ч 1965) и в гл 1т' книги Лаппау н Лнфшпна (Ландау, Лнфшш(, 1963). — Прим. реп ГЛАВА З !оз связхнныГ спгтвмы (3.5.20) соз'Х+ з(п-'у=1, (3.5.21) Еще меньшее число независимых параметров необходимо, если начальное и конечное состояния атомов являются бесспнновыми (Я» = 5, = О).
Тогда разрешен только одцн спцновый канал с полным спчном 5 = 1/2 и соотношение (3.5.17) принимает впд (М'(р(Ц! М) = ! (М') 7(М)*. (3.5.19) В этом случае нет необходимости в каком-либо усреднении по спину, и полный спин 5 можно опустить в обозначениях. Факторизация (3.5.19) элементов матрицы плотности на два множителя, один из которых зависит только от М', а дру. гой — только от М, типична для случаев, когда р описывает чистое состояние.
Действительно, в равд. 3.4.2 показано, что если о» = 51 = О, то состояние изучаемого нами атомного подансамбля является чистым п описывается вектором состояния который представляет собой полностью когерентцую супер- позицию магнитных подсостояний. В этом случае все атомы, принадлежащие подансамбл1о, возбуждались строго одинаково. Поскольку амплитуды !(М) удовлетворяют условию симметрии (3.5.18а) с 5 = 172 и поскольку полная фаза состояния !ф(р1)) произвольна, состояние (3.5.20) полностью определено посредством (27. + 1) параметров.
Для чистых состояний матрица плотности (3.5.13) должна удовлетворять условию (2.2.11). Применяя его к параметрам (3.5.14), получаем в случае 7, = 1 так что изучаемый подансамбль атомов может быть полностью описан посредством трех параметров о, )., т, где теперь т — относительная фаза амплитуд!(+1) и 1(0). Резюмируем содержание этого раздела. Были рассмотрены эксперименты, в которых в заданном направлении детектируются рассеянные электроны с импульсом р„причем анализ спннов начальных нли конечных частиц не проводится. Была построена приведенная матрица плотности (М'!р)М), характеризующая орбитальные состояния атомного подансамбля, возбужденного детектпруемымп электронами.
Мы рассмотрели, в частности, в качестве примера случай 7. = 1 (! показали, что в этом случае р опись|вается посредством пя. тп независимых параметров в силу наличия условий эрмитовостп и зеркальной симметрии в плоскости рассеяния. Прц использовании условия сохранения полного спина число параметров можно уменьшить до четырех. Тогда (и только тогда), когда атомы были возбуждены в тождественные состояния, достаточно трех параметров. В этом случае различие между «когерептностью» (в смысле неднагональностп матрицы о) и «полной когерентностью» становится существенным.
Именно, в последнем случае для полного определения р необходимо меньше параметров (и, следовательно, меньше экспериментов). НЕПРИВОДИМЫЕ КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ !ОЗ Неприводимые компоненты матрицы плотности 4.1. Введение Как обсуждалось в гл. 1 и 2, часто оказывается полезным разложение р по удобно выбранной системе операторов Яь Такой метод имеет два основных преиму1цества. Во-первых, он дает более удовлетворительное определение р (см., например, равд.
1.1.7); во-вторых, явное использование алгебраических свойств базисных операторов часто значительно упрощает вычисления (см. равд. 2.5). Полезность этого метода зависит от выбора системы базисных операторов. Когда важна угловая симметрия рассматриваемого ансамбля, удобно разложить р по неприводимым тензорным операторам. Указанный метод представляет собой хорошо разработанный эффективный способ использования внутренней симметрш1 системы.
Оп также позволяет просто учитывать следствия закона сохранения углового момента н дает возможность отделить друг от друга динамические и геометрические факторы в рассматриваемом уравнении. Систематическое использование тензорных операторов было впервые предложено Фано (Капо, !953). В последующий период они широко применялись, например, в теории угловых корреляций в ядерной физике (6!е!!еп, А!бег, 1975), в атомной физике (В1шп, К!е1прорреп, 1979), в работах по оптической накачке (~аррег, 1972; Отоп1, 1977), в описании экспериментов по квантовым биениям (Рано, Масе!с, 1973; Масел Впгпз, 1976, АП1(га, 1979) п экспериментов с атомами, возбужденными лазером (Г!ег1е11, 81о!1, !978).
Материал, приведенный в этой и следующей главах, взят непосредственно из перечисленных работ. В данной главе излагается и нллюстрируется теория, играющая центральную роль для последующего обсуждения вопросов, рассмотренных в книге. В равд. 4.2 и 4.3 вводятся сферические тензорные операторы и мультпполи состояния и выводятся пх основные свойства. Г!ри изложенни широко используется теория углового момента, но для удобства читателей некоторые основные понятия, введенные в тексте, и все используемые формулы приведены в приложении В.
Чи- тателн, которые недостаточно владеют соответствующей математической техникой, могут опустить детали выкладок прп первом чтении. Абстрактная теория иллюстрируется различными приме- рамп. В равд. 4.4 показано, что описание спиновых систем с помощью мультпполей является обобщением рассмотренного в равд, 1.1 подхода, основанного на использовании вектора поляризации. Рассмотрение частиц со спином 1 демонстрирует необходимость введения не только векторов, но и тензоров более высокого ранга. В двух следующих разделах показано, что свойства симметрии системы часто могут быть использованы более непосредственно, если вместо элементов матрицы плотности применять мультппольные компоненты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
