blum_k__teorija_matricy_plotnosti_i_ee_p rilozhenija (769478), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(4.3.13) Этот результат показывает, что мультиполи состояния преобразуются как Я-компоненты неприводилгык тензоров ранга К, 4.3.3. Физическая интерпретация мультиполей состояния. Вектор ориентации и тензор выстроенности ') Непрггводимые компоненты (Тке) матрицы плотности имеют, вообще говоря, более глубокий физический смысл, чем элементы матрицы р. В этом разделе мы обсудим физическую ') Английский термин а!!Кошев! 1епзог переводится дословно как тсн. зор выстроенности. Этот тензор, как андпс из далыгейшсго, пропорционален квадрупольному моменту и может быть отличен от нуля даже в отсутствие вектора ориентации (см. рис. 4.2), хотя термин а!!Кпшеп! часто применяется для обозначения ориентации.
— Прим. ред, непРинодимын кОмпОненты лглтРицы плОтнОсти 117 интерпретацию тензоров низших рангов для случая определенного углового момента. Тензор ранга К = О есть просто нормировочная постоянная. Беря след от разложения (4.3.4), получаем с помощью (4.2.25) (Т (У)~) = — Р (4.3.!4) (21 + 1) А Трп компоненты тензора с К = 1 и (,г = ~1, О преобразуются как компоненты вектора. Из (4.2.!8) и определения (4.3.5) легко получить, что (Т(У)~ге) =(ЗУ(2У+ 1)(У+ 1) У] г'1г рУ~е = =]3/(2У+ 1) (У+ 1)У] г'(Уе) (г р„(4 3.!5) е среднее значение (Уе) оператора Уе определяется выражением (2.2.9а).
Сделав комплексное сопряжение в (4.3., ), получим с учетом (4.3.12б) альтернативную форму Три параметра (Т(У)гее) с (! = -1-1, О часто называют компонентами «вектора ориентации». Как показывает соотношение (4.3.15), вектор ориентации пропорционален суммарному угловому моменту (У) рассматриваемого ансамбля. Так как (и) =- — ди (У), (4.3. 15) где ((л) означает магтштный дипольный момент, усредненный по рассматриваемому ансамблю, вектор ориентацщг оказывается пропорциональным сумлгарнолгу иагнитнолгу дипольноиу лгоиенту данной системы (д — фактор Ланде, рв — магнетон Бора).
Лналогичным образом компоненты (Т(У).;„) тензора второго ранга можно выразить через квадратичные комбинации компонент углового момента, используя (4.2.19) и (4.3.5). Например (2 (У) ) (Лг„~бч) (ЗУгз — зз) 1гр. (4.3.1() Тензор (Т(У)» ) называется тензором выстроенности. Его ве физический смысл определяется тем, что коипоненты тензора (Т(У) ) пропорциональны сферическим коипонентаи ((гзе) зе) тензора электрического квадрупольного момента.
Это можно увидеть следующим образом. Среднее значение (Яее) определяется выражением (2.2.9а), Применяя теорему Вигнера— >!в глава непрнводс!мые кок!пане!мы магг!!цы плот>юстн !!я Эккарта к матричным элементам О>о, находим (с?аа)1г р =1г р Цаа — — ~ (УМ'! р 1У>»1)(У,11!с;?х, ! Уу1') =- =<У!!с.1!,'У) Х <У41'! р!У,И)( !)>-" !' мм ' — >11 с;? 31'/ Отсюда, используя (4.3.3) и симметрию 3/-символа, получаем (С?зо)1гР=(1/5')(У !!Я!!У)(Т(У)зо), (4.3.!8) где приведенный матричный элемент пропорционален квадрупольному моменту системы (см., например, Ес(гпопс(з, 1957). Соотношение (4.3.18) дает пример того, как разложение матрицы р на непрпводпмые компоненты в сочетании с теоремой Впгнера — Эккарта позволяет разделить геометрические н динамические свойства спстемь!.
Приведенный матричный элемент содержит всю информацию о динамике, а тснзор (Т(У) ао> описывает геометрические свойства рассматриваемого ансамбля. Этот аспект теории имеет еще большую важность при обсуждении вопросов, рассматриваемых ппже. Наконец, дадим следующие определения. Ре Система является ориентированной, если бы хотя бы одна из компонент вектора ориентации отлична от нуля, выстроенной, если хотя бы одна пз компонент теизора выстроенности отлична от нуля, поляризованной, если хотя бы одни пз мультиполсй с К Ф О отличен от нуля.
Приведенные здесь результаты справедливы толю!о для определенного У. Интерпретация мультиполей с У'~ У будет дана в разд. 4.6. 4.4. Примеры. Спин-тензоры 4.4.1. Спин-теизоры для частиц со спинам 1/2 1.! .1ачнем с пересмотра описаннч частиц со свином 1/2, характеризующихся матрпцсй плотности р с элементами <т'!р(>п>. Определим набор мультиполсй состояния (Т(5)е ) ко так называемых спин-тензоров, с помощью (4.3.3) ').
Так, для 5 = 1/2 запишем: (Т <1/2)к,) = 2: < !)'ь-'"' <2К+ !)'ь ~ /', а~'»л гп — гп — Я у (4.4.1) ') Сввп-теязорамц обычно называются сами яеарпводвмые теязорные операторы Т(о)ке, построенные из оператора спица, а яе козффвцвевты разложения по яим матрицы влотаоств. — ??рия. перев. В силу условия (4.2.4) в (4.4.1) возможны только члены с К = О и К = 1. Монопочь с К =- О является норм прова той постоянной. Если спиповая матрица плотности для спина 1/2 нормирована так, что 1г р = 1, как в разд. 1.1, то в соответствии с (4.3.14) монопольный член равен <Т (1/2)ео) = (1/2) (4.4.2) Трп векторные компоненты (Т (1/2)„) связаны с соответствующими компонентами вектора спина соотношением (4.3.15а): (Т (1/2)";,) = 2" (5о), (4.4.
За) (4Л.Зб) Таким образом, мультиполи состояния <стсн-гензоры) ( Т (1/2) ) иропорционпльны ег/>ери сескип ко>апонента>и век!а) торп поляризпс!сса, определенным выражением (4.2.15); />я! = ~ (1/2') (Рх ь с/'у) Ро = Р». (4.4.4) Разложение (4.3.4) спинозой матрицы плотности для спина 1/2 по спин-тензорам имеет впд р = Х (Т (1/2)ко)Т (1/2)ко = ка = (1/2) 1+ ~'„(Т (1/2) Ц Т (1/2) са, что представляет собой просто другую форму записи выражения (1.1.45). (4Л.5) 4.4.2. Описание частиц со спинам 1 Частицы со спинам 1 описываются тремя базпснымп состояниями, соответствующими трем возможным собственным значениям оператора 5,. Эти состояния можно представить в форме трехмерных векторов-столбцов: Й !.~ 01 (4.4.ба) где 5о означает Я->о сферическую компоненту оператора спина 5, определенную выражешием (4.2.15).
Используя определение матриц Т!аулп (1/2)п, = 5, (! = х, у, г) и вектора поляризации Р получаем (Т (1/2) 'о) = ?>о/2 '. нвпгиводимыв компонгнты млтгпцы плотности 121 120 ГЛАВА Л В стандартном представлении (4.4.6а) операторы 5„, 5„, 5, задаются следующими матрицами: 0101 ! 011,5„= — ',, 110 О ,5,= 00 0 (ΠΠ— 1 0 — 1 0 1 0 — 1 0 1 0 5,= —, 1 2Ч1 (4,4.6б) Компоненты вектора поляризации для частиц со спинам 5 определяются выражением Р, =(5,)/5 (4.4.7) (1= х, у, г). Для 5 = 1/2 выражение (4.4.7) сводится к (1.1.4).
Для 5 = 1 имеем Р, =(5,). (4Л.7а) Поучительно вычислить Р для трех базисных состояний 1+1), 10), ~ — 1). Используя явные представления (4.4.6) и выполняя вычисления таким же образом, как в равд, 1.1.2, находим, что Р, = Р„ = 0 но всех трех состояниях, а Р, = 1, О, — 1 соответственно для состояний ! + 1), 10), ) — 1). Важно отметить, что в состоянии 10) вектор поляризации имеет нулевую величину. Это указывает па существенное различно между частицами со спинам 1/2 и 1: для 5 = 1 возмо>кно чистое спниовое состояние, в котором отсутствует предпочтительное направление (т.
е. не обязательно существует направление ориентации сппнов). Это легко понять в рамках полукласспческой векторной модели. Состояние М = 0 определяется вектором си~па, который перпендикулярен оси г и прецессирует вокруг нее. Ясно, что в таком случае может существовать выделенная ось (ось г), но невозможно выделить направление вдоль этой оси. Указанным свойством, в частности, вызывается необходимость расслзатривать величины более высокого ранга, чем вектор поляризации.
Требуемые величины не должны зависеть от направления осп г; следовательно, можно использовать квадратичные комбинации типа (5',) плп, в более общем случае, компоненты тензора второго ранга. Более того, если сравнить пучок частиц в чистом состоянии 10) со смесью Л~=И/2 частиц в состоянии ~+1) и /ч' = = /ч/2 частиц в состоянии ~ — !), то мы увидим, что в обоих случаях Р = О. Таким образом, задание только вектора поляризации недостаточно для полного определения состояния частиц со спином 1, и необходимо ввести дополнительные параметры.
Наиболее систематический способ получения всех необходимых параметров заключается в построении соответствующих спин-тензоров (Т(5),', ) для 5 = 1. Если элементы спинозой матрицы плотности для спина 1 обозначить (М'1р1М), то, согласно (4.3.3), имеем >Г(ь' 1=2 ( — ь' "'(2кз-1Г(ч,,к ь)ьк!Р!к мчи (Т (1)Г,) = ! /3'*. (4.4.9) Соответствующую матрицу плотности можно записать в виде р=(1/3) ° 1+ 7, (Т(1)~1о)Т(1)1о+ ). (Т(1)!о)Т(1)зо (4.4 10) е е Таким образом, если учесть условие эрмитовости (4.3.11), то в самом общем случае спиновая матрица плотности для спина 1 полностью определяется восемью действительными параметрами (девятью, если нормировка 1г р = 1 не предполагается, а !г р рассматривается как экспериментально определяемый параметр).
В качестве примера рассмотрим некогерентную смесь дусь частиц в состоянии 1+1), й! частиц в состоянии ) — 1) и № частиц в состоянии 10). В этом случае матрица плотности в представлении (4.4.5) диагональна: (М'! р1М) = )Рмбм м, (4.4.11) где )Ткм =/чм/М, а Ф есть общее число частиц, Подстановка (4.4,11) в (4.4.8) дает для тензорной поляризации выражение АГ + А1 — 2Л' (Т(1)(ь) =(1/(!2)ь)()ук ~+ Ю-1 2)Ро) = (4.4.12) а для векторной поляризации — выражение (Т ( )'1ь) = 2Ь 2ЬМ (4,4,1 3) (все компоненты с 1г Ф 0 равны нулю). Компоненты (7'(5)~,) пропорциональны сферическим компонентам вектора поляризации.
Подставляя $ вместо 1 в (4.3.15а) и учитывая определение (4.4.7а), получаем (Т Юе) = (1/2)ч*Р,, (4.4.14) (4.4.8) В силу условия (4.2.4) необходимо построить монополь, вектор и тензор второго ранга. Монополь определяется норми- ровкой ГЛАВА Т НЕПРИВОДИМЪ|Е КОМПОНЕНТЫ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 1ВЗ где сферические компоненты вектора Р определены выражением (4.4.4). ПЯть компонент тензоРа втоРого Ранга (Т(Я)то) можно построить из квадратичных комбинаций операторов спина 5 согласно (4.2.19), где следует положить У| = Зь А|т — — 1. Применение декартовых тепзоров в вычислениях может иметь некоторые преимущества, однако при использовании сферических тензоров (Т (5)к ) алгебраические выкладки упрощаются и вычисления становятся менее трудоемкими.
Наконец, рассмотрим следствия условия (2.2.12). Подставляя разложение (4.4.10) для р и используя (4.2.24), находим1гр=! и !г (р«) = Е(Т(цк~'а) (Т (цЯ 1г [Т(цю|| Т (1)~о! = = 2. (- Ц'(Т(Ц'„)(Т(ЦД а) = Е !(Т(Ц,',) !-'. кд ко При получении последнего выражения использованы соотношения (4.2.23), (4.2.24) и (4.3.1Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
