Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Покагкем, что это свойство справед- 198 ГЛ. УЬ ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ,СИЧ лпво для системы с любым числом степеней свободы. Для этого рассмотрим устойчивую потенциальную систему с равными коэффициентами устойчивости с, = сг =... —.— с„= с. Напомним, что для устойчивой потенциальной системы коэффициенты устойчивости равны квадратам частот собственных колебаний, Теорема 3. Если в устойчивую потенциальную систему с равными собственными частотами вводятся линейные нееонсерватизные силы, то устойчивость будет разрушена вне зависимости от нелинейных членов (38), Доказательство. Уравнение движения системы, на которую действуют линейные потенциальные н неконсервативные позиционные силы, возьмем в форме (6.45) й + Сох + Ря =.- Я.
Прн равных коэффициентах устойчивости Сз = сЕ, где Š— единичная матрица, и наследное уравнение иримет впд й+ ох+ ря —.— я. Составим характеристическое уравнение аИ(ЕР, +с)+Р) =О. Это уравнение совпадает с уравнеяпем (6.106), если в последнем заменить Хг на )г + с. Поэтому не равные нулю корни последнего уравнения относительно Хг + с будут )Р+с=+ а1. Отсюда у аз+ с'+ с 1/ у а~+ сз — с 2 2 Наличие корней с положительной вещественной частью служит доказательством теоремы.
Перейдем к рассмотрению устойчивости равновесия систем, находящихся под действием произвольных потенциальных и неконсервативпых позиционных сил и линейных диссипативных сил с положительным сопротивлением, считая, что возмущенное дви1кение определяется уравнением (6.50). Теорема 4. Если в положении неустойчивого равновесия консервативной систем и по1пенц валь ноя элер г ия П (д) имеет 8.8 Влияние нгкопсеРВАтиВных сил 199 максимум, определенный наинизшими членами разлоясения ее в ряд по степеням д, то при добавлении произвольных неконсервативных позиционных сил и линейных диссипативных сил равновесие останется неустойчивым[38].
Доказательство. Уравнение возмущенного движения (6.50) в сделанных предположениях имеет вид — „, (Ад)= — дгадП+ В(д) - Вд. (6Л23) Здесь вь (д) — произвольная неконсервативная позиционная сила,  — постоянная неотрицательная, а А (д)— определенно-положптельная матрицы, П (д) — потенциальная энергия системы, имеющая при д = О максимум. Разложим потенциальную энергию в ряд по степеням д: П(д) =П (д)+..., (6Л24) где П,„(д) — однородная форма степени т, а точки оз- иачают совокупность членов, содержащих координаты в степени выше т.
Так как по условию теоремы максимум потенциальной энергии П (д) определяется наииизшими членами разложения ее по степеням д, то однородная форма П (д) должна быть определенно-отрицательной функцией координат д, причем число т, конечно, четное. Возьмем следующую функцию г', 1г =- Ад д + — Вд д, 1 и вычислим ее производную ио времени в силу уравнения возмущенного движения (6.123). Тогда, учитывая равенство (6Л5), получим Р = Ад д — д ягад П. На основании теоремы Эйлера об однородных функциях и равенства (6.124) будем иметь Б д дгадП=-лз д„— =тП (д) +...
дП Д Зчв 1=1 Следовательно, Ф' = Аф д — тП~ (д) + Первое слагаемое в этом выражении представляет определенно-положительную функцию,'скоростей, а второе слагаемое — тП (д) — определенно-положительную функцию координат. Поэтому в окрестности нуля д = О, 200 ГЛ, У|. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СНЛ д = О производная $> функцип У будет определенно-положительной функцией координат и скоростей. Так как сама функция У может принимать положительные значения (например, при о = д), то доказательство теоремы является прямым следствием теоремы Ляпунова о неустойчивости даня>ения (см.
$ 2.4). Заметим, что условие, по которому определяется максимум потенциальной энергии, можно ослабить. в. О б щ и й с л у ч а й. Перейдем к рассмотрению случая, когда на систему действуют линейные потенциальные, диссипативныо, ускоряющие, гироскопические, неконсервативные позиционные и нелинейные силы. Уравнения возмущенного двия1ения возьмем вначале в форме (6.46) й+ Вой + Сй+ Сх+ Рх=-Я (6Л25) Составим характеристическое уравнение Л = йе1 (ЕЛэ + В„Л + СЛ + С + Р) = О (6.126) или, более подробно, Лй+ Ь1> + с11 ... г>,Л+ с1, + Р1 г 1Л+с +р ... Л1+Ь Л-)-с раскроем определитель и сгруппируем члены по степе- ням Л: Л = Ли + а>Л>1-1 + .... + ам,Л -+ аю = О.
(6.127) Очевидно„ что а = (>1+ .... + 1>, =- Яр В =- Яр В„ аю = де1 (С + Р) =- йе1 С>, (6.128) где В> и С1 — матрицы исходного непреобразованного уравнения (6.42). Пользуясь этими равенствами, докая1ем теоремы, определяющие необходимые условия устойчивости движения. Теорема 5. Если ускоряющие силы доминируют над диссипативными, то система будет пвустойчива при любых других линейных и нвлипсйных силах.
Доказательство. В соответствии с определением доминирования диссипативных п ускоряющих снл будем иметь (см. $6.3, с. 167) Яр В. = Яр В = Яр В, ~ О. г 6.8. Влияние нвконснгвзтивных сил 2О1 На основании первого равенства (6.128) коэффициент а, характеристического уравнения (6Л27) будет отрицателен. Из этого следует, что среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна. Это доказывает теорему. Теорема 6.
При отсутствии нелинейных членов (Я = О) асимптотическую устойчивость нельзя осуществить без диссипативных сил. Доказательство. При отсутствии диссипативных сил а1 = О и, следовательно, не выполнен критерий Гурвнца, необходимый для асимптотической устойчивости линейной автономной системы. Теорема 7. Если определитель ! С, ) = ! С + Р ( отрицателен, то система неустойчива при любых гироскопических, диссипативных и ускоряющих силах и вне зависимости от нелинейных членов л. Доказательство.
В условиях теоремы коэффициент аг, характеристического уравнения (6.127) отрицателен (см. второе равенство (6.128)). Из этого следует, что хотя бы один корень уравнения (6Л27) имеет положительную вещественную часть. Это доказывает теорему. Следствие (см, первую теорему Томсона — Тета— Четаева з 6.5). Если неустойчивость изолированного поло>кения равновесия потенциальной системы имеет нечетную степень, то стабилизировать равновесие нельзя никакимп гироскопическими, диссипативными и ускоряющими силами. Действительно, если система потенциальна, то Р = О и при изолированном равновесии и нечетной степени неустойчивости ( С, ! = ( С ) ( О (см. $ 6.4, с.
169). Теорема 8. Если линейная система не содержит потенииальных сил, то: 1) при нечетном числе координат асимптотическую устойчивость нельзя осуществить никакими гироскопическилш, диссипативнььии и ускоряющими силами; 2) при четном числе координат для осуществления асимптотической устойчивости необходимо, помимо диссипативных сил, присоединить гироскопические силы (38), Доказательство. Если отсутствуют потенциальные силы и число координат нечетное, то ! С + Р ! = ~ Р ) ам О (как кососимметричный определитель нечетного порядка).
В этом случае, согласно (6.128), свободный член аг, характеристического уравнения (6Л27) равен пулю, что 202 Гл. уь влияние стгуктугы сил служит признаком отсутствия асимптотической устойчивости (имеется нулевой корень). Для доказательства второй части теоремы заметим, что присоединение диссипативных спл необходимо по теореме 6. Если же отсутствуют гироскопические силы, то система неустойчива (теорема 2). Теорема 9.
Если потенциальная энергия системы имеет максимум, то: $) при нечетном числе координат и любых нелинейных членах систему нельзя стабилизировать никакими, гироскопическими, неконсервативно позиционными, ускоряющими и диссипативными силами; 2) при четг ом числе координат и при условии„что з,а си~тему действуюгп силы сопротивления с полгюй диссипацией, для стабилизации системы необходимо одновременно присоединить гироскопические и неконсервативно позиционные силы (вне зависимюсти от нелинейных членов) (381. Доказательство.
Рассмотрим уравнение возмущенного движения в форме (6.45). Составим для него характеристическое уравнение Л =- бес (Е).г + Вг, + Я, + С, + Р) = О. Свободный член этого уравнения равен аз, —= деФ (Сь + Р). При максимуме потенциальной энергии все элементы сз, стоящие иа главной диагонали матрицы Сг, будут отрицательны. На основании соотношения (6.89) определитель ) С + Р ! при нечетном числе координат отрьщатолен при любой кососимметрпческой матрице Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
