Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 32
Текст из файла (страница 32)
й 6.6. Примеры иа применение теорвм Томсона — Тета — Четаева Иример 1. Устойчивость волчка. Определяяполо- жепие оси г волчва углами а и р (см. пример 3 4 2.6 я рпс. 2Л5), ми видим, что обо координаты прв яевражаюп1емся волчке иеустой- чнвм (так пак центр тяжести С находится вы1ве точки опоры (рис. 6Л, е]). Таким образом, волчок имеет четное число неустойчивых координат и необходимое условие, налагаемое первой теоремой Томсена и Тета, выполнено. ДюКереицвальвые уравнения первого приближения воэмуягеяного движения волчка в переменных а и Р были получаем в примере 4 4 4,5 (см.
(4,49)); У„а + У,я() — Р1а = О, 1,'Р— У, й 1() = о. (6.59) Из доказанной теоремы следует, что если неустойчивую потенциальную систему стабилизировать гироскопическими силамк (см. начало параграфа), то да>не малые силы сопротивления с полной диссипацией (практически они всегда существуют) разрушат с течением времени достигнутую устойчивость.
Поэтому устойчивость, существующую при одних потенциальных силах, Томсон и Тет назвали вековой, а устойчивость, полученную с помощьк> гироскопических сил, — вреле11лой. В примере 3 следующего параграфа будет показано, что если кроме дяссипативных сил имеются ускоряющие силы, то гироскопическая стабилизация неустойчивой потенциальной системы может быть осуществлена. Остановимся еще на физической интерпретации равенств (6.57) и (6.58). Выражение Т + П представляет полную механическую (электромеханическую) энергию. При полной диссипации мощность 1У ( О, а функция Релея Р) О.
Поэтому —,(Т-( П)с, О. (76 ГЛ. У<. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ Этл< уравнения можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую потенциальную систему Уа<з — Рйа = О, 1„() — Р(6 = О гироскопических сил 3<я()и — /,ни соответственно. бу' <гу Рис. 6.4 Уравнения (5.5<<6 совпадают с уравнениями (6.52), если поло я<нть Р( з<л г =гл= — —, у .= — ' х у Условие гироскопической стабилизации (6.54) принимает в данном примере вид з,н/у„) 2 (<< Р))у или Узна ) 4Р)7 .
))то условие было получено в примере 3 $2.6 в нелинейной постановке аадачп (см. соотнажение (2.33)). Исли цонтр тяжести С будет нюке точки подвеса (гироскопический маятник) (см. Рнс. 6Л, З), та абе координаты «н й будут устойчивы. Согласно второй теореме Томсона н Тета, в этом случае устойчивость будет достигаться крн любой угловой скорости а. На основании четвертой теоремы Томсона — Тета - — Ногаева устойчивость волчка временная, а устойчивость гнромаятиика вековая. Пример 2.Устойчиво< ть системы инерцпальн о й н а в н г а ц и и. При использовании систем инерцнальиой навигации для определении координат движущегосн объекта (подводной лодки, самолета, космического корабля и т. п.) измеряют обычно его линейное ускорение н угловую скорость относительно инерцнальной системы отсчета.
Для этой цели люгут быть использованы раалнчные устройства, в частности плагфорл<а с греми 6 З,З, ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА — ТГТЛ вЂ” *1ЕТАГВЛ 177 гироскопами (оин иамеряют составляющие абсолютной угловой скорости) и тремя акселерометрами в„, л, в, (они нааываются также -ньютонометрами) (рис. 6,2), Предположим, что в невозмущенном движении точка О платформы перемещается с постоянной скоростью по параллели Земли, принимаемой аа правильный шар, причем оси х, у, о, жестко связанные с платформой, ориентированы географически (ось х направлена на восток ось у — на север, а ось х — вертикально вверх). Ы работа (3)получены следующие дифференцвальные уравнения воамущекного двкоксиия точки О в кредположе- и нии, что ориситаокя платформы не нарушается: яо (бх) К(бу), Е(бз) — — 2ю — + 2ы У т 3 + (оооо ыг юо) бх = О, Рнс.
6,2 '1 (бу) я (бх) 61о + г К1 + (ыо ыг) бр+ оо оо бо = 0 (6.60) о)о (бо) й (бх) о " — + ыго),бу — (2ы, + ыо) бо = 0 В этих травнеииял х, у, о — координаты точки О в иевоамущенном движении в системе Огхдуоо, (О, — центр Земли, оси О , О О ,з, параллельны осям хх, Оу, Оо), бх, бу, бз — отклонения соот- И 1Хг,,гг, ветствующих координат в возмущенном движении, ыг, ы, — проекции абсолютной угловой скорости платформы на оси у и з (прн рассматриваемом движении ы„= О), оч = — р/го, где р — гравитационная постоянная Земли, г — расстояние от центра Земл е и до точки О в невоамущенном движении.
Для удобства изменим ыасштаб врдйени, положив т= ног, (6.61) и введем безразмерные положительные параметры (0,62) а= юз О>2 о 'о Т огда уравнения возмущенного движения (6.60) примут вкд уг — 2 р'рхо+ 2)1"аоз+ (1 — а — (1),г, =- О, хо+ 2 11'Т~б ог+ (1 — р) хо + Уа~$ хо =- О, (62 6) Уз — 2)/а хг + (/а)) хо — (2 -)-а) го= О. 3есьх =-6, д ь х, =- бх, хо = бд, х, = бо, точками обозначены производ ные и и Исследование устойчивости цвижения хг =- 0 упрощается, гол римеяить теоремы Томсона — Тета — Четаева.
и ГЛ, У|. ПЛИЛИИЕ СТРУКТУРЪ| СИЛ Матрица коэффициентов сил, линейно зависяп|нх от х„.тз, хз, (1 — и — () О О Л = 0 1 (1 Р'й(), (6,64) 0 Р'сс() — (2 + а) ~ симметрична. Поэтому уравнения (6.63) можяо рассматривать как результат наложения яа потенциальную систему — — ())х =О, ха л- (1 — ()) хз )- Р«хрхз = О, (6.65) х, + р«сг()хз — (2 + я)хз = — 0 гироскопических сил — 2(г«~ тз 6 2 ра «з, 2 у'рх|, — 2 у«ах| соответственно. Координата х, нормальиан (первое уравнение (6.65) не свнвано с двумя другими).
Эта координата устоичива, если и + 3 < 1, (6.66) и неустойчива при и + () ) 1. (6.67] На плоскости а, (1 область устойчивости координаты х, находится в первом квадранте (а ) О, (1 ) 0) ниже прямой а + () = 1; область неустопчивастн выше этой прямой (ркс. 6.3). Рис. 6.3 Перейдем к рассмотрению последних двух уравнений (6.65) ч составим матрицу ковффициентов потенциальных сил: 1 — (1 Ра~ т««с() — (2 + а) Найдем главные диагональные миноры: (6.68) , =. 1 — (), Ь = — и+ 2() — 2. Ниже прямой — а -(- 2(1 — 2 = 0 определитель Л, < О, потому среди координат,га н хз одна устойчипа н одна неугтойчкаа; выше этой прямой 5 ) О н, следовательно, обе координаты неустойчивы (так как прв этом Л < 0) (рис. 6.3).
Из скаааннаго следует. 1. В области г (рис. 6.3) координата х, устойчива, а среди координат х, и х одна устойчива и одна неустойчива, т. е. в этой области имеется всего одна неустойчивая координата. 2. В области гХ две коордппаты неустойчивы (х, и одна пз хз хз) 6 6.6. ПРИМЕНЕН%!Е ТЕОРЕМ ТОМСОНА — ТЕТА — ЧЕТАЕВА 179 3. В области 1П все три коордииаты иеустойчивы. На осяоваиии первой теоремы Томсона и Тета гироскопическая стабилиаация в областях 1 и 111 иевоаможяа. Выясякм, можно ли осуществить гироскопическую стабилизацию в области П.
Для этого составим характеристическое уравнение системы (6.63): Л» .[- (1 — и — [1) — 2 [г'()Л 2 1/иЛ 2[/ОЛ Л" -, '(1 — [)) [/иб =-О, (6.69) — 2 [/ иЛ [амир Л» — (2 .[- и) Раскрывая определитель и группируя члены, приведем это уравиеиие к виду з,Л»+ з„Л»+ „= О, (6.70) где а =. 2 (и-). [)), а» = (и [ В)~ 3(1 — а+ 2В) (6.71) а» = (1 с» — В)( — а+ 2[1 2). Так как характеристическое уравнение (6.70) содержит Л только в четиых степенях, то для устойчивости дви»кения иеобходимо и достаточно, чтобы все корни этого уравнения были чисто мнимыми.
Это означает, что корни отиосительио Л» должны быть отрицательны и вещестаевиы. Зтим условиям можно удовлетворить, если подчинить ковффициеиты аг критерию Гурвица (4.30) а, > О, аз> О, а» > О, А» = а໠— а»а„> 0 (672) и условию вещественности корпей кубического относительно Л' а, уравневкя (6.70). Для этого с помощью подстановки преобразуем уравнение (6.70) к виду та+ рч (-6==0 и потребуем, чтобы выполинлось неравенство ') Выражая с помощью указаипой подстаиовки р и д через коэффициенты а», а, и а, преобразуем последнее иеравеиство к виду () — — а' (4а, — а') + 27 а'+ 2а,аз (2аз — 9аз) < О. (6.73) Выразим с помощью формул (6,71) условия (6.72) и (6.73) чеРса ПаРЗМЕтРЫ и И Р И ВЫДЕЛИМ В ОбЛаетИ П тУ ЕЕ Чаетть В КОтОРОй осуществляется гироскопическая стабилизация. Для атого иапомиим прежде всего, что параметры и и [) положительиы и, следовательио, иеравеиство а, > 0 выполияется автоматически.
Кроме того, в области П ковффициеит аз > О, а иа прямых ! и 2 ') Существуют критерии, при вмполиеиии которых все корни уравиеиия а,х" + а»ха ' (-... + а„х+ а„= 0 вещественны к отрицательны (см., например, [14[). ГЛ. Чг ВЛИЯНИИ СТРУКТУРЫ СИЛ РЛО (рвс. 6.3 и 6.4) а, = О. Построим отреаки кривых аз (а, ))) =- О, Лз(а, ()]=О, , (,6) =:о, находящиеся в области )( (вне атон областк стабплиаация невозможна). При построения полезно отметить, что все зти кривые пересекают прямые 1 и 2 в одних и тех же точках А (6!О, (!9) и Рис. 6,4 В (4/3, 6(3). Действительно, на зтих прямых аз = 0 и функцив Л, и (2 обращаются в нуль одновременно с аз (при аз = 0 имеем Лз = 3 2 3 = агат П = 4ат — атаз). Лико устаяовить, что левее кривых аз =- 0 и Лз = 0 функции аз и Л, отрицательны, а правее — положительны. Кроме того, О .ь 0 левее кривой С) = 0 и С) ( 0 правее атой кривой.
Таким обрааом, в области 11 правее кривой 4) = 0 одновременно выполняются все неравенства (6.72) и (6,73) и, следовательно, в этой области осуществляется гироскопическая стабилиаация (кривые аз = 0 и Лз -— — 0 пересекают область 11 только по линиям, изображенным на рис. 6 гн часть кривой () = — О, кроые той, что показана на рисунке, находится в области 11, но оиа расположена левее кривых аз = 0 и Л ==- О, где а,(0 и Л ( 0). Пример 3. Г и р о с к о п и ч е с к и й о д н о р е л ь с о в ы й в а г о н.
В первой четверти ХХ столетия появились опытяыс образцы однорельсового вагона и двухколесного автомобиля, центр тяжести которых был выше рельса (дороги) (рис. 6.5). Вертикальное положение самого вагона (автомобиля) неустойчиво, к для стабилиаации использовался гироскоп Г. Прежде чем установить количественные соотношения, которым должны удовлетворять параметры системы для того, чтобы обеспечить стабилизацию вертикального положения вагона, рассмотрим вопрос с качественной сторопы.
Центр тяжести П вагона находится выше рельса, поэтому угол 2), определяющий отклонение вагона от вертикали, является неустойчивой координатой. По первой теореме Томсона — Тета — Четаева гироскопическую стабилизацию можно осуществить только при четном числе неустойчивых кооГ- 6 6.6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ТОМСОНА — ТЕТА — ЧЕТАКВА 13) динат. Из этого следует, что вторая координата системы О (угол поворота кольца К, в котором установлен гироскоп) должна быть тоже неустойчивой. Для атой цели к верхней части кольца прккрепляют грузик С. Таким обравом, система нлбеет две неустойчивые координаты ф и 6 н гироскопическая стабплнзация в прннпппе может быть осуществлена. Учтем теперь силы сопротивления, возникающие прп колебаниях вагона н кольца с гироскопом (зтп силы возникают за счет сопротивления среды и трения в опорах).
Согласно четвертой теореме Томсона — Тета — Летаева, зги силы разрушат гироскопическую стабилизацию (так как без гироскопа система неустойчива). Позтому для стабилиаации необходимо ввести силы другой Т природы. С этой целью на оси )у — Л" Г М .Г М Ь вращения кольца К устанавливалось ~~ б):Ф~ специальное злектромагнитиое устройство (иа рисунке оно не показано), которое создавало ускоряющий момент 8 —— йзй, действующий в сторону вращения кольца н пропорциональный угловой г скорости вращения его (в теории колебаний такие моменты и силы называются отрицательным трением). Установив с помощью теорем Томсоиа и Тета характер сил, которые должны обеспечить устойчивость однорель- Рис. 6.5 сового гироскопического вагона, перейдеы к количественному анализу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
