Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Матрица В, + 6 неособенная, т. е. гг = йег(В,+6)ФО. (6.86) 2. Если матрица Вг определенно-полоягительна, то Ь = йес (Во + 6) ) О. (6.87) в в.7. гигоскопические и диссиплтианые силы 1цт 3. Если матрица Вв определенно-отрицательна, то при в четном 7» = бес (Вв + 6) ) О, (6.88) при в нечетном»» = Йе1 (Вв + 0) ( О. (6.89) рассмотрим теперь влияние диссипативных сил. Теорема 3. Если »шмимо гироскопических сил действуют силы полной диссинаиии, то равновесие системы асимптотически устойчиво относительно скоростей и просто устойчиво относительно координат (38). Доказательство, Приведем уравнения возмущенного движения к виду (6.46), учтя, что по условию теоремы имеются только гироскопические и диссипативные силы, й + Ввв + 6я =-О.
(6.90) В этом уравнении 1' — кососимметричная, а Вв — определенно-положительная диагональная матрнць1 (так как диссипация является полной). Умножнм обе части этого уравнения на матрицу й: й.й ) Ввй.й+Вй.й= О или, преобразуя первое слагаемое и принимая во внимание, что для кососимметричной матрицы Сй й = О, будем иметь 1  — — ( ' й) =-' — Ввя й. 2 в7 В развернутой форме что равенство имеет вид 2 2 2 — Ю (зт+ + г»)=- — (Ь»г»+ +о 2). Функция У.== — й ° я --. — (2» +... 6 г,) удовлетворяет 1 .. 1» .2 всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости — она определенно-положительна относительно скоростей Й» и ее полная производная по времени в силу уравпепия воамущенного движения (6.90) является определенно-отрицательной функцией тех же величин й, (по условию теоремы дяссипация полная и, следовательно, все Ь» ) 0).
Таким образом, движение аснмптотнческн устойчиво относительно скоростей з„. Перейдем к доказательству второй части теоремы. Проинтегрируем уравнение (6.90) один раз по времени: й+ (В„+а)я =.О, (6.91) гзв гл. Уг. Влиянии стРуктуРы сил где постоянная матрица 1> определена равенством 1' йз + (Вз + 6) из (6,92) Согласно равенству (6.86) матрица Вэ + 6 неособенная, вследствие чого существует обратная матрица (В, +6) '. Введем новую переменную матрицу гу, определив ее равенством и = д + (В, + С) 'Ю.
(63)3) После подстановки в уравнение (63И) получим д + (В + 6) д + (Вз + 6) '(Вз+ 6) 1е = 1е или, учитывая, что (В, + С) ' (В, + 6) 1) = 1), д + (В, + В) д = О. (6.94) Согласно первой части теоремы, движение асимптотически устойчиво относительно скоростей а. Из совпадения форм уравнений (6.90) и (6.94) следует, что движение асимптотически устойчиво относительно д. На основании равенств (6.93) и (6.92) заключаем, что движение устойчиво (но не асимптотически) относительно координат я. Примечание. Теорема остается справедливой и в неллпейной постановке задачи (36, 38). Пример. Исслодоваиие устойчивости движеиия электрона в постояииом магиитиом п о л е. Ксли т — масса электрона, е — ого заряд, Н вЂ” иапряжепиость магиитиого поля, с — электродвиамкчсская постоянная, равная скорости света (с = 3 10ш смгсск), то урависиие движения алектроиа при Н = сопз$ будет аЪ е — г=- —,( х уг), (6.95) эр р — Н с е — — Нс- 6 с (6.9Г) е е ют — — Н -6 Н с з с где с — вектор скорости электрона (46), Запишем это уравпевие через проекции на оси иокодвижной системы координат: и т — — — х р у -.
О. Нх Нэ Отсюда найдем е, е ягх — — н,у'+ — и д —. о, с * с 1'" 5 е.т. гивоскопические и диссипатииеые силы 169 В атих уравнениях матрица сил, ливейио аависящих от скоростей е, у, С, кососимметричяая. Гледозательио, зти силы гироскопические.
Так как другие силы отсутствуют, то иа осиоваиви теоремы 1 етого параграфа заключаем, что вевозмущеивое движение электрона устойчиво отпосвтельио скоростей г, у, г, а ва основании следствия теоремы 2 оно неустойчиво относительно совокупиости всех коордвнат х, у, г (так вак число коордииат равно трем). Если ось г направить караллельво вектору Н, то Не = О, Ну — — О, Н, =- Н и уравнения (6.96] примут впд е евг — — НУ=О, с ту) + — Не =О, =О, Рассмотрим первые два уравяеяия отдельно (они яе зависят от третьего уравнения). Определитель матрипы гироскопических козффициептов для этих ураввенвй е — — Н е ег е ег е — Н е отличен от нуля, поэтому, согласно теореме 2, движеяие злектроиа устойчиво относительно координат г и у.
Что же касаеы я координаты г, то из третьего уравиеиия имеем г = ае! -). ге, откуда сразу видпа неустойчивость по этой коордивате. В заключение этого параграфа докажем сооткотпепия (6.86) †(6.89). Введем вспомогательныи параметр )! и составим определитель РЬ, ум ув, РЬ,... (6. 97) Ь ()!) = Оет (РВв + С) = ув! увг Очевидпо, что искомый определитель А получается из й (р) при )! = 1: а =- и (1). (6.96) Вычислим а ( — р) = йес ( — РВе+ С).
Помевяем в этом определителе строки иа столбцы в наоборот (определитель от этого пе измевится). Эта операция равносильна замене матриц Ве и С из травспоиировавиые: й ( — р) = де! ( — РВе + С) =. бес ( — РВ„+ С'). Учтем теперь, что матрица Ве диагональная, а С восо! пмметрпчвая. Поатому В„' =. В„С вЂ” — С . гл, тг, влиянии структуры сил Внося эти вырахзепия в 71 ( — р), получим 961 ''' г1з Л ( — 11) = йе1(- РВз — С) = — й ".
— РЬ 11 3 Выяесем из каждой строки обп1ий множитель — 1: Вь, 6( — р) -( — 1)' лз, рь, дз, им ... )зЬ, илп, принимая во внимание равенство (6.97), получим Л ( — р) = (- 1) Л (9). (6.99) Отсюда следует, что ври з четном Л (р) содержит р только в четных степенях, а при з нечетном — в нечетных степенях, т. е. Л ()з) =. зз)з + аз)з" 1+... + аз )зз+ а, (з =- 2Ь), А (р) = — р (за)1' 1+ азрз з .(-... + а з(зз+ а.
) (з =- 2/с + 1) (6.100) где аз — некоторые коэффициенты. Пользуясь теперь равенством (6.98), з.олучпм Л =- аз + аз +... -)- аз, + а, [з = 2/с), 71= аз+а,+...+аз +а (1-=29 91), Рассмотрим теперь структуру коэффициентов аг. Параметр р содержится в определителе (6.97) множителем элементов, стоящих на главной диагонали. Поэтому аз —— Ь,Ьз...
Ь. (6. 102) Перейдем к другим коэффициентам а„аз и т. д. Возьмем для примера з,. Втот коаффициеит стоит в равенствах (6.100) множителем при )з~ . Такой множитель может получиться в разложении определителя (6.97), если взять любые з — 2 элемента главной диагонали и умножить вх на минор, который получается из матрицы С вычеркиванием всех строк и столбцов, пересекающихсн на выбранных элементах. Так, например, если мы возьмем элементы Ь„Ью .. „Ь,, то соответствующий минор будет Л Гз-1, з з 1,1,..., з-З " 0 З, з-1 а для элементов Ьз, Ь,..., Ь З,,...,з (у, 0 ~ 611 Взяв всевозмолзные сочетания пч з элементов главной диагонали по з —. 2 алемента и умножиз их на соответствующие миноры, » ь влияние неконсеРВАтггнных снл 191 получим Здесь сумма распространена на все сочетания индексов аю ..., и,, кз 1, 2,..., р, а Аз „вЂ” диагональные минеры матрицы В, получаю»цзеся из яее вычеркиванием строк к столбцов с индексами аю..., и.
т Эти миноры представляют собой иососнмметрцчные определители второго порядка, и, следовательно, Ори яе отрицательяы. Для козффициентов з„ар н т. д. получим аналогичные суммы, в которых соответствукицие миноры будут иметь четвертый, шестой и т. д. порддок. В общем случае будем иметь (и — четное число) (6.103) где (6.104) »»'" зр з' (как кососимметричяые определители чатиого порядка). Пусть теперь все Ь„Ьр,..., Ь, положительны („— определенно-положнтелькая матица).
Тогда, принимая во внимание (6ЛО2) — (6.104), получим рр>0, и >О (я=24,...). Пользуясь равенства»и» (6Л01), найдем А > О, чтодоказываот соотношение (6.87). Рассмотрим теперь случай, когда все Ьг ( 0 (Вр — определеяяо-отрицательная матрица) и р — четное число. Тогда в равенстве (6.103) число множителей Ьр будет четное, произведение Ь ... Ь„ яр-з четного числа отрицательных чисел Ьз будет положительно и все а»„з )~ О (з = 2, 4,..., р). Приниман во внимание, что при четном р козффициеит зр> О, из первого равенства (6.101) найдем А > О. Это доказывает соотношение (6.68).
Перейдем теперь к последнему случаю, когда Ь,, ..., Ь, отрицательны и р — нечетное число. Из равенства (6Л02) яаццем ар ( 0 (произведение нечеткого числа отрицательяых чисел), а из (6ЛОЗ) и (6Л04) получим а „~( 0 (з = 2, 4,..., р — 1). Ич второго равенства (6Л01) следует А (О, что доказывает соотношение (6.89). Осталось доказать соотношение (6.86). Но оно следует из только что доказанных неравенств (6.87) — (6.89). ф (1.8.
Влияние па устойчивость равновссия неконссрвативных позиционных сил в. Однцкеконсервативныенозициоиц ы е с к л ы. Рассмотрим сначала случай, когда движение системы происходит лсд действиям одних нскоисервативных сил. Тварема х. Равновесие системы, нахвдаи(вйси ивд действиям одних линейных неяонсервативных позир(ионных 1Э2 Гп, ч!, зл!ип!пв стгукту!'ы спч сил, всегда неустойчиво независимо от членов выси!его порядка. Доказательство. В условиях теоремы уравнения возмущенного движения мол!но привести к виду (6.45), где В=О==С„=О: (6 105) й+Ра== Х Здесь Р— кососимметричная матрица, Я вЂ” матрица-столбец, элементы которой содержат гг и й!.
в степени выше первой, причем оки обращаются в нуль, когда все хх и йг равны нулю. Рассмотрим характеристическое уравнение А (Л) = — !)е1 (ЕЛ' + Р) = О. (6 106) Из устойчивости системы (6.79) относительно скоростей следует, что ке равные нулю корни уравнения (6.85) !)е1 (ЕЛз + СЛ) = Л! !(е( (ЕЛ + ь ) = 0 будут чисто мнимыми числами. Это означает, что отличные от нуля корни уравнения Л (Л) = !(е((ЕЛ + С) = 0 (6.107) имеют вид Л = +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
