Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Так как зазор между кожухом и ротором в направлении сдвига становится меньше, а количество газа в круговом движении постоянно, то аь)эь. Поэтому трение поверхности ротора о газ не будет одинаковым с, правой и с левой стороны; очевидно, что опо будет больше в тех частях его поверхности, где разность между периферийной скоростью ротора и газа больше. В сделанных предположениях о направлении смещения центра ротора левая его сторона будет испытывать большее трение о газ, чем правая, в результате чего появится сила 208 1'Л. Ч1. ВЛИЯНИЕ СТРУ1ГТУРЫ СИЛ Ву (кроме силы Юю перпендикулярной смещению, воапвкают еще сйлы в направлейин передвгокения; зги силы, вызванные явлением Бернулли, малы и для простоты изложения нами не учитываются).
Вычисление силы Яу произведем в простейших предположениях, а именно: когда скорость газа велика и его движение можно принять полностью турбулентным; кроме того, предполагаем, что трение ротора от вязкости газа в первом приближении не зависит. Обозначим величину зазора между ротором н кожухом при совпадении нх центров через е. Пусть центр ротора сместился по оси х на величину 00г = х. Проведем иа точки Ог прямую ОгМ под углом О к оси х.
Величину зазора КМ при смещенном положении ротора обозначим череа е, (рис. 6.8). Из треугольника ОМО, по теореме косинусов найдем (радиус ко~пуха ОМ, очевидно, равен В + е, где Л вЂ” радиус ротора) (В + е)з = хз + (В + ег)з — 2х (В - е,) соз (я — О), или, раскрывая скобка„ 2Ве + е = х + 2Ве, + ез + 2Вх соз О + 2хгч соз О. Считая величины х, е и, следовательно, ег малымп по сравнению с Л, пренебрежем членами второго порядка малости: 2Ве = 2Ве + 2Лх соз О.
Отсюда ег= е — хсозО. Среднюю скорость гааа при несмещенном роторе принимают равной Вю/2, т. е. половине скорости точек ротора, лежащих на его периферии. При смещении ротора скорость и газа в зазоре будет меняться, по количество газа, проходящего через любое сечение, равняется тому, которое было до перемещении ротора. Следовательно, Вю ие1 = — е1 2 где 1 — толщина ротора. Пользуясь выражением для гд и сокращая иа 1, получим Лы з (е — хсоз О) = (6.130) При болыпих скоростях сила трения 88, действующая па злемент наружной поверхности ротора В1 80, будет приближенно пропорциональна квадрату относительной скорости (Лы — с)з и плотности окрузкающей среды р. Сила зта направлена по касательной к ротору (см. рис.
6.8). Проектируя ее на ось у и интегрируя но О от 0 до 2я, получим зя Вз — — — коВ1 ~ (Вю — ю)зсоз 080, о где к — козффицпент трения. 9 6.9, систумы с некОнсеРВАтивными силаыи 209 Найдем скорость и иа равенства (6.130) и внесем ее в это выражение Длк Яьс е Яу — — — крЯЧаз ~ (4 — 2 — — — -„—,д) соз 0 00.
о Будем считать, что смещение х мало по сравнению с величиной зазора е. Тогда, разлагая подынтегральиое выражение в ряд по степеням х и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим после очевидных преобразований якр Иеаз Я = — ° — х. У 2 Аналогично получается составляющая - Ях: яко Иза" е 'х 2 К ротору, кроме сил трения Ях и Яю нриложеиа сила упругости Ю, проекции которой на оси координат будут гх = — сх и г„= — су, где с — коэффициент жесткости вала ротора на нагиб (на рис.
6,9 изображены силы Я и Я), Пользуясь теоремой о движении Я центра масс, составим дифференциальные уравнения движения точки О,: Яг Мй = )ех + Ях + Х 0 Х Му = хе+ Яе+ У. Здесь Х и У вЂ” неучтенные нелинейные члены, содержюцие х, у в у в степени вьппе первой. Внесем значения Рх, гю Я„и Рис. 6.9 Яе, разделим на массу ротора М и перенесем часть членов в левые чести уравнений. Тогда, введя обозначения с яко Исае йз = — Р = — ' М' ' 2 еМ получим х+ йзх — уу = Х, 9.( йзу ) „х = У.
(6Л3() В этих уравнениях слагаемые й'х и й'у, полученные от упругой силы 2е, представляют потенциальные силы, слагаемые — ру и рх (проекции главного вектора Я сил трения, взятые с обратным знаком и отнесенные к единице массы) — некоисервативные силы, Х и У вЂ” нелинейные члены. Левые части уравнений (6Л31) совпадают с уравнениями (6.ттб). Для носледиих было показано, что при равенстве коэффициентов сг и с (в данном примере с = с, = йз), движение неустойчиво при любых значениях р + 0 й любых нелинейных членах.
Поэтому при отсутствии демпфирования поперечное движение оси 210 гл, чп влипипв стррктрррл сил ротора, вращающегося в гидродинамической среде, всегда неустойчиво. Ограничиваясь случаем Х =- У =- О, рассмотрим характор неустойчивого движения более подробно. Для етого умиожим второе ураниение (6.131)ка 1 = ре †1 сложим почлеико оба уравиеиия: х + )у'+ йа (х + )у) + р ()х — у) = 0 е' + ()еа + )р) х = О, (6.132) где коиплекская переменная х определена равенством х = х + )у. Решение уравнения (6.132) будем искать в обычной форме: х = Ае л) где А — иекоторое комплексное число.
Внося = Ае в уравяел) кве (6.132), получаем () л ())е (р)) Аех) О Отсюда Будем считать, что р (( ле, Тогда, извлекая кореиь па комплексного числа — йе — )р, находим с точиостью до р')Ае Р Р Х = —. — )е), Хе = — —: -(- )е)„ 2)) ' ' 2/) Общее решение уравнения (6 132) прпмет впд р р — е та — —,с х = Ае е-1а) +Ве еж, 2г где А и  — проиэвольпые постоянные интегрирования. Второе слагаемое быстро убывает по леодулю, поэтол)у, преисбрегая им, получим р х —.
Ает е-ж). По своему определению х является комплексной координатой точки Ол. Свяаь между полярными координатами г п )р точки Ол и переменной х определяется равенствами г=-(х~, )р= агйх. Следов ательпо, р г=(А)еат ' )у=а), Таком обрааом, точка О, ивин)ется по логарифмической спирала, а полок)еиие равновесия цевтра ротора является поустойчивым фокусом. На рве. 6.10 приведена фотография, ваимство- 6 е!!. системы с никог!сеРВАтивиымгг сичамг1 211 ванная из работы (24), на которой воспроизведена траектория точки Г~,, полученная П, Л.
Каяицеп при постановке эксперииента. Для стабилизации поперечного движения оси ротора устанавливается кольцевой деипфер, создающий силы сопротивления, Рис. 6.10 пропорциональные скоростяи с одинаковым коэффициентом демпфирования Ьг = МЬ. Уравнения движения (6Л31) принимают вид х + Ьг + Ьтх — ру = Х, у+ Ьу+Ьту+рх=-У. Пользуясь условием асимптотической устойчивости (6.122), получим Ь> рПа Это неравенство определяет основное требование, предъявляемое к демпферу. ПриыерЗ.Гировертикаль с радиальной кор р е к ц и о й. В авиации широкое распространение получали гировертикали с радиальпой коррекциои.
Прибор устроен следующиъз образом. Гироскоп (на рис. 6.11 он не показан) помещен в кожух г. На кожухе установлены два уровня 1 и 2, заполненных токопроводящей жидкостью г). При отклонении оси гироскопа от вертикали ь в уровнях создается разность потенциалов, которая усиливается специальным устройством и подается на датчики моментов Дг и ') Вместо двух линейных уровней, как правило, устанавливают один шаровой уровень. Тот же эффект в конструкциях более старого выпуска создавался с помощью струй воздуха. 2рй РЛ. УЕ ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ Д,. Уровень 1 управляет датчиком Д„а уровень 2 — датчиком Дз. 11ри повороте внешнего кольца карданова подвеса на угол а датчик Дз создает момент Хх — — — ха (для малых углов), а при повороте кожуха на угол 6 датчик Д, создает момент йч = хб, где ив ,Н С) Рис. 6Л1 крутивна характеристики датчиков моментов. Центр тяжести снстемы совпадает с точкои пересечения осей карданова подвеса.
11ользуясь теоремой моментов или уравнениями Лагранжа, легко получить дифференциальные уравнения движения оси гировертикали (массой подвеса пренебрегаем) йа + Ьа — Н() — х() = Х, у() -(- ь() -)- Нй + ха = Х,. В атих уравнениях а — экваториальный момент инерции гироскопа, Н вЂ” его кинетический момент, Ь вЂ” коэффициент сил сопротивления, Х, и Х вЂ” члены, содержшцие а, 6, и и () в степени выше первой. Силы — Н() и Нф — гироскопические, а — хб и ха — неконсервативнме (в гироскопии их называют силами радиальиой коррекиии). Составим характеристическое уравнение системы И + ьх — Нл — х~ ! Нд+ х И'+ ЬХ илн, раскрывая определитель, узхз + 2ХЬхз + (Н' + Ьз)хз + 2хНХ + хз = О. Так как все коэффициенты этого уравнения положзпельяы, то критерий Гурвица (4.32) сводится к одному неравенству и = а,а а.
— азиз — а-а4 > О. з з 5 9.9. системы с ненонсеРВАтинными силАми 2(3 Внесем сюда аначения коэффициентов и преобразуем полученное выражение. Получим Аэ — — йху (Н' + Ь') (ЬН вЂ” ху) ) О, (6ИЗЗ) При отсутствии спл сопротивления (Ь = О) это условие имеет противоположный смысл (Лэ ( О), что свидетельствует о неустойчивости системы. Из неравенства (6ИЗЗ) найдем значение коэффициента демпфирования, при котором имеет место асимптотическая устойчивость: Ь э ху)Н.
Отметим, что кинетический момент Н гироскопа очень велик по сравнению с хХ. Поэтоиу нюкняя граница для коэффициента демпфирования очень мала. Практически для асимптотической устойчивости достаточно естественных сил сопротивления воздуха, трения в опорах и т. п. ГЛАВА ЧН УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ $ 7.1. Функции Ляпунова для неавтономных систем, Обобщенный критерий Сильвестра Прежде чем перейти к определению функций Ляпунова для неавтономных систем, остановимся кратко на некоторых общих вопросах прямого метода.
Об устойчивости движения мы судим по отклонению в пространстве х„..., х„ивображающей точки М от начала координат О (см. $ 1.1). В свою очередь (см. 1 2.1), в прямом методе Ляпунова для автономных систем близость изображающей точки М к началу координат определяется по модулю знакоопределенной функции г': если величина ) 'г' (х) ! мала, то в силу непрерывности функции У (х) точка М будет близка к началу координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
