Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Картина изменится, если функция г' будет зависеть явно не только от вариаций хм..., х„, но и от времени 1. В атом случае знакоопределенная функции Г (х, 1) в обычном понимании может сделаться достаточно малой по модулю не за счет близости точки М к началу координат О, а за счет изменения времени Г. Действительно, функция 'г' (х, 1) = е '(х1+х1) в обычном смысле определенно-положительна: при всех значениях х, и хю не обращающихся в нуль одновременно, она положительна и в нуль обращается только в том случае, если х, = хв = О. Однако судить о близости изображающей точки М к началу координат по зтой функции нельзя, так как с течением времени 1 за счет уменьшения множителя е ' она сделается и в дальнейшем будет оставаться меньше любого наперед заданного положительного числа в при любых конечных значениях х, и х,. В связи с зтим функции г', зависящие явно от времени 1, требуют дополнительных определений (читателю полезно еще раз просмотреть з 2Л).
Предполагается, что вещественные функции г' (х, г) определены для всех вещественных значений 8 и 5 ХЬ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОНА ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 215 х„,..., х„, подчаненных условиям 1~те Ха'7~~О (7.1) где 1, н р — постоянные (1е ) О, р ) 0), причем р может быть мало. Считается, что в области (7.1) зтн функции непрерывны, однозначны и обращаются в пуль, когда все хт равны нулю: И (О, 1) = О. (7.2) Если прн условиях (7.1), при 1, достаточно большом а И достаточно малом, рассматриваемая функция И принимает кроме нулевых значения только одного знака, то такую функцию называют знакопостоянной. Если хотнт отметить ее знак, то говорят, что она положительна илн отрицательна.
Функиия 'т', зависящая явно от 1, называется определенно-положительной, если существует такая не зависящая от 1 определенно-положительная функ71ия И' (х), что в области (7 1) при достаточно малом р и достаточно болыиом 1е будет У (х, 1) ~ И' (х), (7.3) и называется определенно-отриуательной, если при тех же условиях будем иметь — У (х, 1) ~ И' (х).. Из соотношения (7.3) следует, что для определенно- положительной функции у (х, 1) разность у (х, 1) — И' (х) представляет функ71ию положи- КИ/ тельную. Требование существования гра- У=ибх, г> пичной функции И'(х) для определенно-положительной функции 'г' (х, 1), зависящей явно от време- ' И'=Иух! ни 1, можно проиллюстрировать у геометрическими соображениями.
В пространстве У, х„,..., х„по- хе строим поверхность И" = Й' (х) и при фиксированном значении времени 1 поверхность У= У (х, 1). Рас. 7.1 При изменении 1 поверхность К (х, 1) будет деформироваться, но при атом она не дол7кна опуститься ниже граничной поверхности И' ==- И (х) (ряс. 7.1). 216 Гл, уп. устоичивость нклвтоеомных снствм Точно так же, если в пространстве х„..., х„построить две замкнутые поверхности И'(х) = с и У (х, У) = = с (последняя для фиксированного 1), то при изменении 1 поверхность т' (х, т) = с будет деформироваться, но она не должна выйти наружу поверхности И'(х) = =- с (рис.
7.2). Прежде чем перейти к дальнейшим определенинм, рассмотрим, по каким признакам можно в некоторых случаях определить знакоопределенность функции Цх, 1) в смысле Ляпунова. Предположим, что функция т' (х, 1) имеет вид квадратичной формы и в 2 л л 1' а~ох,г„, 1 ~7 4) где ае, — некоторые функции времени 1 и переменных х,: ает = аез (х 1). Если в области (7.4) при 8е достаточно большом, а р достаточно малом все главные диагональные миноры ма- трицы удовлетворяют обобщенному условию Силъеестпра ан...а„ от==ам,:.бт )О,...,Ь„= ° ° ° °,.=6„>0, (7.5) а ...а вт '' пп где з — некоторое положительное число.
Покажем, что число з мо1кно выбрать так, что функция т' — И' будет где б„..., б, — некоторые положительные постоянные, то функция т" (х, т), определяемая равенством (7.4), будет определенно-положительной в смысле Ляпунова. Действительно, так как все миноры йм..., Ь„полон'ительны, то функция т' (х, 1) определенно-положительна в обычном смысле. За ограничивающую функцию И'(х) можно выбрать, в частности, функцию И' (х) =- — з 1хт + х. '+...
+ х~), (7.6) й 7.!. 'Рункцни ляпунОВА для нвАВтономных систем 2!7 положительной. Для этого рассмотрим миноры матрицы функции !' — Иг: ам — е а,„... а, Ьт (е) =- а»г а»з . ' а»» — е При е = О все Ь» будут совпадать с минорами Ль и, следовательно, ояи положительны (Л» (0) = Л» )~ б» ) О). В силу непрерывной эависимости миноров Ле» (е) от параметра е можно утверждать, что всегда найдется достаточно малое полоягительное число е, при котором все Ь» (е) будут также положительны. Из етого следует, что функция И вЂ” И' положительна, что свидетельствует о справедливости обобщенного критерия Сильвестра. Длн определенно-отрицательной функции )г, имеющей вид квадратичной формы (7.4), обобщенный критерий Сильвестра имеет вид Л, ~( — б, < О, Л, )~ ба ) О, Лз ~< — бэ < О,..., (7.7) где б„бе,...
— положительные числа. Поясним обобщенный критерий Сильвестра примерами. 1. Рассмотрим функцию Р(х, !) = ! (ха + хт) — 2 сов ! х,х,. Составим матрицу коэффициентов т — сов с! и главные диагональные миноры Лг =- г, Лэ = гэ — соээ !. Если положить ге = 1, то при всех г> 1 будем иметь') Л,>1>О, Л > 1 — 1=О71>О. Обобщенный критерий Сильвестра (7.5) выполнен, следовательно, рассматриваемая функция определенно-положительна в смысле Ляпунова.
2. Матрица ковффициентов для функции Р (х, С) = (1 — а сов ((хт + хат)!))хвт + 2а и!и ((хэ + ха)!)хтха + + (1 + а соа ((ха + х ) !)) хе ') Инеем лЛ»)аг =- 2! + в!а 2! ) О, причем знак равенства имеет место только прн ! =- О (так как х) а!и х при х х О). Сле. довательно, Лэ (!) при ! ) О неограниченно возрастает. 218 гл чгг устоичивость нклвтономных систкм имеет впд ! 1 — а соз [(х .[-.т,"",) ~] а з(а [(х;+ х."-) 1] а з1п [(х' + х„) ~] 1 + а соз [(х" + х',"',) ~) [ Составим главпыо диагональные миноры Ьт —— — 1 — а соз [(тз + .тз)Г], Лз = 1 — а"..
Очевидпо, что при любых П хю хз будем иметь б~ ) 1 — [ а), оз =- 1 — аз. Отсюда следУет, что пРи ] а [ < 1 РассматРиваемая функция будет определенно-положительаой в смысле Лякунова. Вернемся к дальнойшим определениям. Если при условиях (7.1) значения [ ]т [ не превосходят некоторого конечного положительного числа, то функция ]т называется ограниченной.. При достаточно малом значении р такой будет в силу непрерывности вснкая не зависящая от 1 функция ]'. Если ограниченная функция ]х такова, что для всякого полон<игольного (, как бы мало оно ни было выбрано, найдется такое отличное от нуля положительное число б, что при ( '=з го, Х хх ~(б (7.8) будет выполняться неравенство ] У [<(, (7.9) то говорят, что функция ]т допускает бесконечно малый высший предел. Грубо говоря, смысл босконечно малого высшего предела состоит в том, что модуль функции ]х(х, 1) можно сделать сколь угодно малым прн любом 1 ' -.(е только за счет уменьшения модулей всох л,.
В силу непрерывности бесконечно малый высший предел имеет всякая не зависая(ая от 1 функция У. Но функции, зависящие от г, хотя бы и ограниченные, могут не иметь его. В качестве примера рассмотрим три функции: з(пз [(хз +... + хз)1]; (хат +... + хз)з1пз Г; С (хт + хт)— — 2 соз с х х . Первые две функции огрангжены и польояптельны, по только вторая из них допускает бесконечно малый эысппгй предел.
Заметим, что ни одна из этих двух функций не является знакоопределенной (так как прн бесчисленных значениях с опи могут обратиться д ьг. Основные теОРемы НРямого метОдА 219 е нуль). Третья функция оиределеиио-положительяа, ло ова иеогаиичеиа и, следовательно, ие имеет бесконечно малого высжего редела. В заключение етого параграфа отметим, что полная производная функции г' (х, г) по времени Ф, взятая в предположении, что переменные х; удовлетворяют днфференцнальным уравнениям возмущенного движения (1.16), вычнсляется по формуле 1 = — д Хг+.:+ д, Хя+ д, .
(7.10) дп дР ди дю я Читателю полезно сравнить зто выражение с равенством (2 12). й 7.2. Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем Основные теоремы прямого метода для неавтономных систем читаются н доказываются почти так же, как н соответствующие теоремы для автономных систем. Поэтому мы приведем сразу все' основные теоремы и докажем только одну нз ннх. Теорема Ляпунова об устойчивости двнжения. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию )г, производная которой и' в силу этих уравнений была бы знакопоспюянной функцией противогюложного знака с Ьг или тождественно равна нулю, то невозмущенное двилсение устойчиво. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения молсно найти знакоопределенную функцию )г, допускающую бесконечно малый высший предел, производная которой 1г в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с )г, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
