Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Следовательно, свободный член характеристического уравнения при нечетном числе координат отрицателен, и система на основании теоремы 7 неустойчива. Рассмотрим теперь случай четного числа координат. Если отсутствуют неконсерватнвные позиционные силы, то система будет неустойчива на основании четвертой теоремы Томсона — Тета — Четаева з 6.5. Если же отсутствуют гироскопические силы, то неустойчивость системы следует из теоремы 4 этого параграфа. Таким образом, для стабилизации системы с четным числом координат необходимо присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные силы.
Теорема доказана полностью. Проиллюстрируем доказанные теоремы сначала формальными причерамн. 5 6.6. СИСТЕМЫ С НЕКОНСЕРВАТИВНЫМИ СИЛАЪП1 293 Пример 1. Система Нь + Ььзь + Фгтз+ дззз + Рьть + Рззз — згхь =- Хь, *э+ Ьзтз Хьть+ Хз з — Ргзь+ Рзтз — сззз = Хз *з+ Ьзез дзть Хз'з Рьвь Рз*з Сзтз = Хз при сз ) О неустойчива при любых дз, Рз, Ьз ) О и Хз (так как потенциальная энергия П = — ь/, (згзз + с,х,' + ззхзз) имеет в по- ложении равновесия д, =- д, = дз = — О максимум и число коорди- нат нечетное — теорема 9). Пример 2.
Систему хь + Ььсь — с,ль = О, (Ь„>О, сз >О) те + Ьззз — з,зз =- О можно стабилизировать только в том случае, если подходящим образом присоединить одновременно гироскопические и неконсервативно позиционные силы (так как потенциальная энергия П = = — 1/2 (сгзз+ с тз) имеет в положении равновесия максимум, диссипация полная и число координат четное — теорема 9). Пример 3. Система дь + дь + (1 + д' + дз) дьдз = О, д', + д, — (1 + д,'+ д",) д';д', = О неустойчива, так как на иее действуют линейные силы сопротивления и иеконсервативно нозициоиные (нелинейные) силы Р, = = — (1 + дз + д") д,д' и Р = (1 + д'- + дз) дздз — теорема 2.
Пример 4. Система дП 'д + 21 + Ь)з+ р + Р + д = Рьи)ь дП д+ +р+Р+ =Р/з') неустойчива при любых гироскопических Гз, иеконсервативных позиционных Р„, потенциальных и нелинейных силах Рьзз), так как след матрицы В отрицателен (Яр В = 2 — 4 = — 2) и, следовательно, ускоряющие силы доминируют иад диссипативиыыи— теорема 5 й 6.9. Примеры исследования устойчивости движения систем с неконсервативными силами Интересные и очень важные для техники задачи на исследование устойчивости систем с неконсервативными позиционными силами возникли в теории упругости. Здесь можно выделить три группы таких задач.
Первая связана с упругими системами, подверженными действию так называемых следящих сил, т. е. сил, линия дей- 204 ГЛ. Уг. ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ стеня которых совпадает с касательной к упругой оси стержня (см. пример 1). Такие силы могут возникнуть, в частности, при отделении продуктов сгорания реактивной установки. Е. Л. Николаи [41) в 1928 г., по-видимому, первый начал исследование таких систем.
Вторая группа имеет дело с устойчивостью вращающихся валов, а третья — с устойчивостью упругих тел, движущихся в сопротивляющейся среде '). Пример 2 дает некоторое представление об этих задачах. Кроме систем, содержащих упругие тела, существуют различные устройства, в частности гироскопические (см. пример 3), в которых некопсервативные силы соадаются с помощью специальных приспособлений (это делается, в частности, для ускорения переходных нроцессов). Учитывая характер настоящей книги, мы можем рассмотреть только некоторые, наиболее простые аадачи. Пример 1.
М о дель упругого стержня, находящегосяя под действием следящей силы. Рассмотрим два однородных стержня длиной (, я )з. связанных шарннром н спиральной пружвной жссткостн ст Первый стержень может вращаться вокруг неподвжкной опоры О, с которой ок связан другой спнральной пружвной жесткости сы Обе пружвпы находятся в недеформнрованном состояппя, когда стержни расположены по одной прямой (осн х — см. рнс.
6.7). На второй Рнс. 6.7 стержень действует сила Р, направленная всегда вдоль осн стержня (следящая сила). Эта система может рассматриваться как модель упругого стержня, находящегося под действием следящей силы. Составам днфферекцнальные уравнения возмущенного двпжекня. Кинетическая зкергня системы обычными методами (прн г) См, книгу В. В.
Болотина НЦ. По первой проблеме подробный обзор методов к полученных результатов дан в статье Г. Херрмака (54). й 9.9. системы с ИВНОнсБРВАтивнънки силАми 205 подсчете кинетической энергии второго стержня используется теорема Кйнига) приводится к виду (выписаны члены только второго порядка малости) Т = д/е (аддфд + 2адефдф -(- а..фз), где аи = Хд+ же1д, аде = д!з жз(д(е, атз = Хз+ д/е ж,Р,. Здесь ед — момент инерции первого стержня относительно оси врюцеиия О, и — масса второго стержня, ез — момент инерции второго стернсня относительно его центра тяжести. Потенциальная энергия пружин П, определяется равенством 1 1 П, = — сдф'+ 2 с,(рс — фд)з.
Найдем обобщенные силы 9,' и О,,', отвечающие следжцей силе Р. При изменении одного угла ф, (фд = сопзд) работа силы Р равна нулю. Поэтому Р =О. Дадим теперь прнрюцеине бф, углу ф„оставив угол ф, без изменения, и вычислдцд работу 6А' силы Х' на атом виртуальном перемещении. Имеем 6А = — Рдд здп (фз — ф,) бфд.
Отсюда для малых углов О,' = — Рй ( р, — ф,). Полные обобщенные силы, соответствующие углам фд и фз, найдем ко форыуле (для простоты считаем, что вся система расположена на гладкой горизонтальной плоскости, в результате чего силы тяжести исключены из рассмотрения) апд ~к д +(з Пользуясь найденными выражениями, получим (д = — ф+еф, (39 = сзфд — с,ф„ где ед — — сд + сз — Гдд, Ез — — СЗ вЂ” Г'ДД. Применяя второй метод Лагранжа, составим уравнения возмущенного движения системы опало положения равновесия: аддфд + адзфз + едфд — ее~уз = Фд, аздтрд + азефе — сзфд + озфз = Фз. Здесь Ф, и Ф, — неучтенные ранее члены, содержащие фд и ф в степени выше первой. 206 ГЛ. УЕ ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ В этих уравнениях матрица коэффициентов пря координатах 1р, и ~рз не симметрична.
Разбивая ее па симьютричную и кососимметричную части по формулам (6.5), найдем где сг, — — е~ = с~+се — Р1н ее+ сз 1 сгз = си = — 2 —.-- 2 (Г1~ — 2сз) Р = — 2 (ез — сз) =- 2 Г11. сзз == сю Иа этих выражений видно, что следящая сила Ю' соадает не- коисервативиые позиционпые силы 1 1 Р1 =- 2 Г1 1р„Р = — 2 Р111рг. В потенциальную энергию всей системы П =. 2 (сп111 + 2сгз1Р11(з + сзз'Рз) входят слагаемые, зависягцие и от следящей силы (см. выражения для са1). Составим характеристическое уравнение аг),з+ е1 аийз — е ( '~ = о, азяме — сз ази) з+ сз ~ нлп, раскрывая определительэ аЛз 1- ЬХз + сэ = О, где а = а а з — аг „ Ь =- аис1 + аз е1 + агз (ез .)- сз), сс =- сз (ег — ез) = сзсз. 1'ассматриваемая система будет устойчива в первом приближении, если все корин относительно Ьз будут веществеввымп отрицательными числами.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Ь)0, о = Ьт — 4асэ)0 (6.129) (а ) 0 н с, ) 0 при любых значениях следящей силы Р) Из этих неравенств можно найти наименьшее значенае следящей силы, при котором сохраняетси устойчивость системы (легко проверить, что при отсутствии следящей силы система устойчива). Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая идентичных стерл1ней 9 с.э. сггстпьтьг с пкпОисппнлтпппшмп снллмм 207 и пружин.
При ть = т = т, 1, = 1. = 1 и сь = еь —— с получим ап — = ьььзтЕ5 аьь =' ь(а пыл, ам = ь1з т)з, а = — ь1з та)ь, еь — — 2с — Г1, ез = с — Л. После подстановки в (6Л29) получим 5 Ъ =- тР(Зс — — Л) )О, 6 а = тЧ" ~(Зе — 6 Л) — 4 3 ез~ ) О. Отсюда находим, что рассматриваемая система будет устойчива в первом приближении при С Р < — (3 — ~ь —.) — = 0,504 —, 5(,!3) Если модуль следящей силы будет больше этой величины, то второе неравенство (6Л29) приобретает противополояшый смысл и система сделается неустойчивой. Пример 2. Неустойчивость ротора, вращающегося в аэродинамической среде, Как показывает опыт, вращающийся в кожухе ротор при наличии трения об аэродинамическую среду приобретает неустойчивое поперечное движение. Это явление, хорошо иллюстрирующее первую 41 часть 4 6.8, впервые исследовал П, Л. Капица (24].
,, аь На рис. 6.8 изображен ротор 1,ф: льу массой М, вращающийся с угловой 1,, °,ф скоростью ы в кольцевом кожухе 2, 4 ь 'н 0 П4ьостРанство междУ РотоРом и ко- .ь~~~~~ ~т ььь. жухом заполнено гидродинамической средой, например газом. Если центр О, ротора совпадает с центром О кожуха, то трение о газ вызовет тольио тормозящий момент, который Р с. 6.8 не скажется на положении оси ра- ис. тора.
Покюкем, что при смещении оси Оь ротора возникают неконсервативные силы (мы пользуемся объясненьгем П. Л. Капицы; заметим только, что он не классифицировал силы по их структуре). Пусть для принера центр Оь ротора сместился вправо вдоль оси а на величину 00ь=а. Газ в кожухе увлекается вращением ротора и приобретает скорости г, и аь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
