Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 35
Текст из файла (страница 35)
а!, где а — положительное вещественное число '). Уравнение (6.106) получается иэ уравнения (6.107) простой заменой Л на Лз (матрица Р, так же как и !", косо- симметричная). Поэтому не равные кулю корни характеристического уравнения (6 106) относительно Ле имеют вид Отсюда Л==.+. 2 (1+!.). )' ьа Таким обрааом, среди корней характеристического уравнения (6.106) имеются корпи с положительной вещественной частью. Это доказывает теорему. ь) Легко показать, что о ( — Л) = ( — 1)'а (Л). Следовательно, если Л вЂ” корень ураекеявя А (Х] = О, то — Л топ!е корень етого уравнения. Поэтому, если имеетгп корень, вещественная часть которого ке резва кулю. то должен быть корень, веществеввая часть которого положительна.
Но з етом случае движение будет неустойчиво, что претяворечит доказавпой теореме ! 1 6.7. Из етого следует, что все отлзчяые от нуля корни ураекеявя (6.85) — чисто мнимые числе. е В.з. ВЛИЯНИБ НННОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ 193 В этой теореме преднолаталось, что неконсерватпвные позиционные силы линейны. Кроме того, не учитывались силы сопротивления, которые практически существуют почти во всех системах. Поэтому рассмотрим теперь случай произвольных неконсервативных позиционных сил, считая, что сила лх (о) обращается в нуль при д = 0 и что эта точка равновесия изолирована, т.
е. .вс (0) = О, Л (д) ~ О, если д Ф О. (6.108) Кроме того, будем считать, что на систему действуют линейные диссипативные силы п возмущенное движение описывается уравнением (6.50). Теорема 2. Равновесие систвхлы, находящейся под дсйспыивм произвольных нвяонссрвативных повииионных сил и линсйных диссипативных сил, всевда неустойчиво. Доказательство. Уравнения возмущенного движения имеют вид (см. (6.50)) —, (Ад) = ль (д) — Вд.
(6ЛОО) Здесь 1ь (д) — произвольная неконсервативная позиционная сила,  — постоянная неотрицательная, а А (д)— определенно-положительная матрица (см. з 5.2, б). Рассмотрим функцию $ = Ад.д + 2 .Вд.д. 1 (6Л10) Вычислим ее полную производную по времени 1'== —,(Ад) д+ Ад д+Вд д. (6Л11) Пользуясь уравнением возмущенного двияеенвя (ОЛОО), найдем Р=-~Д д+Ад д, нли, принимая во внимание общее определение неконсер- ватнвных позиционных сил (6Л5), р =Ад д.
На мноясестве К (д = О, д Ф 0) производная р = О, а вне этого мно'кества е ) О. Кроме того, множество К не содержит целых траекторий, ибо на Х уравнение (6.109) принимает вид лс(д) =О, дФО, что невозможно в силу условия (6Л08). 7 д. р. мерннн 194 гл. г! Влияыпы стРуктуРы сил Так как функция У, определенная равенством (6.110), может принимать положительные значения (например, при и = д), то доказательство теоремы 2 следует пз тсоремы Н.
Н. Красовского о неустойчивости движения (см, 9 2.4). Примечание 1. Для доказательства пе требуется полная дисгяпация, поэтому теорема остается справедливой и при отсутствии сил сопротивления. Примечанге 2. Теорема 1 в обп!ем случае не является следствием теоремы 2, так как входящие в правую часть уравнения (6.105) члены высшего порядка могут быть образованы другими существенно нелинейными силами. б. Неконсервативные и потенциальн ы е с и л ь!. Перейдем теперь к случаю, когда ыа систему действуют одновременно потенциальные и иекопсервативные позиционные силы.
Ограничиваясь пока линейным случаем, возьмем уравнения возмущенного дэни!ения в форме (6.45): й+Со-+Ра =О. (6.112) Здесь Со — диагональная, а Р— кососимметричыая матрицы. Составим характеристическое уравнение: йе1 (ЕЛг + Со + Р) = О. Так как Л содеря итси в этом определителе только в квадратах, то в развернутой форме будем иметь Лм + агЛг'-г + ... + аго гЛг + аг, =- О. (6.113) В этом уравнении аг == с, +...
+ с,„аг„---- <!е1 (С, + Р), (6.114) где с„..., с, — элементы матрицы Со (см. (6.47)). Левая часть уравнения (6.113) не изменяется от замены Л на — Л, поэтому для устойчпвостинеобходимо, чтобь! все корни этого уравнения относительно Л были чисто мнимыми числами, а относительно Лг — вещественными отрицательными (в противном случае среди корней уравнения (6.113) будут корни с положительной вещественной частью). На основании теоремы 1 этого параграфа система без потенциальных сил (прп С„= 0) неустойчива. Поэтому мол!но ожидать, что добавление к устойчивой потенциальной системе некопсервативных сил может в некоторых случаях разругпить устойчивость. Покажем на примере, 8 8.8.
Влияние неионсеРВАтивных сил 195 ято ноконсервативные поаиционные сил18 могут не только разрушить устойчивость потенциальной системы, но и стабилизировать неустойчивую потенциальную систему. Для этого рассмотрим систему с двумя степонямн свободы. Пусть уравнения возмущенного движения приведены к виду х+ с,х — ру = О, у + с,у+ рх = О. (6.115) Зти уравнения можно рассматривать как результат наложения на потенциальную систему х + с,х — — О, у + сэу — — 0 !6.116) неконсерватив~ых сил ру и — рх с кососимметричной мат- рвцей коэффициентов Составим характеристическое уравнение системы (6.115) РР+ с1 — р Р Л2+ сэ или, раскрывая определитель, Ль + (с + сз)Л8 + с сэ + рэ = О. (6.117) Система будет устойчива, если оба корня относительно Ла будут вещественны и отрицательны. Для этого необходимо потребовать, чтобы коэффициенты и дискриминант уравнения (6,117) были положительны: с, + сэ» О, с,сэ + р' ) О, (с, + сэ)' — 4 (с,се + р ) ) О.
Преобразуя последнее неравенство, приведем условие устойчивости к виду с1 + сэ ~ О, с1сэ ) — рз, ~ с1 — се ( ~ 2 ! р !. (6 118) При р = О, т. е. при отсутствии неконсервативных позеционных сил, этн условия дают с, ) О, с, ~ О, что непосредственно следует и из уравнений (6 116). На плоскости параметров с„и с, область устойчивости потенциальной системы (6.116) заполняет весь первый квадрант (рнс. 6.6,а).
При р =~ 0 область устойчивости показана на рис. 6.6, б. Границами этой области слуя1ат пря мая .1 (с, + сэ = 0), ветви гиперболы с,с, = — рз и прямые 2 и 2 (с — с8 — — .+ 2р), касаалциеся гипербол в их вершпнах. Из рнсу81ка видно, что значительная часть области Гч. уь Влияние стРуктуРы сил устойчивости потенциальной системы (6.116), занимающая весь первый квадрант (рис.
6,6, а), при добавлении неконсервативных позиционных сил переходит в область неустойчивости (коридор между заштрихованными областямн рис. 6.6, б). Одновременно видно, что небольшие части области устойчивости рассматриваемой системы (6.115) расположены во втором и четвертом квадрантах, Рис. 6.6 где одна потенциальная система (6.116) неустойчива. Таким образом, неконсервативные позиционные силы могут разрушить устойчивость потенциальной системы, но в некоторых случаях онн стабилизируют ее.
На рассмотренном примере (6.115) покажем, как могут влиять диссипативные силы на устойчивость движения системы с потенциальными и неконсервативными позиционными силами. Для етого присоединим к системе (6.115) силы — Ь,х и — Ьзу, где Ь, и Ьз положительны. Тогда получим х + Ьгх + сгх — ру = О, (6.119) у+Ьзу +сау +рх = О. Составим характеристическое уравнение: †-0 ~ +,.й+„(=- нлн, раскрывая определитель, Ль + (Ь1 + Ьз)Лз + (с1 + сз + Ь1Ьз)Лз + (сгЬз + саЬг)Л + + с,сз + рз = О. Нани|нем для етого уравнения критерий Гурвица (4.32): Ьг+ Ьз)0, с1+сз+ Ь1Ьз)0, с1Ьз+сзЬ|)0, с,сз + р') О, (6.120) $6.8. ВЛИЯНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВИЫХ СИЛ 697 йз — (Ьг + Ь,)(с, -+ с, + Ь,Ь,)(с,Ь, + с,Ь,)— — (сгЬг + сгбг)г — (Ьг + Ьг)г(сгсг + Рг) ) О, Преобразуем последнее неравенство: Лг = Ь,Ьг (Ь, + Ь,)(с,Ь, + с,Ь,) + Ь,Ь, (сг — сг) — (Ьг + Ьг)'р' ) О.
(6.121) Покажем прежде всего, что диссипативяые силы могут при некоторых условиях стабилизировать неустойчивую систему (6.115). Действительно, при с, =- сг =- с ) 0 критерий Гурвица примет вид Ь, + Ьг ) О, 2с + Ь,Ь, ) О, с (Ь, .+ Ьг) ) О, сг + рг ) О, Л, =- (Ь, + Ьг)г(Ь,Ьгс — Рг) ) О. Первые четыре условия выполеяются автоматически (по предположению, с ) О, Ь, ) О, Ьг ) 0), а последнее неравенство будет выполнено, если подчинить диссепативные силы условию Рг ь,ь, > —.
с Таким образом, неустойчивую систему, находящуюся под действием потенциальных и неконсервативных позиционных сил, можно стабилизировать диссипативными силами (при с, = сг, р ~ 0 и Ь, = Ь, =- 0 система (6.115) неустойчива — см. рис. 6,6, б). Покажем теперь, что диссипативные силы могут разрушить устойчивость системы, находящейся под действием потенциальных и неконсорвативных сил.
Действительно, пусть выполнены условия (6.118). Тогда система (6.115) будет устойчива. Присоединим к этой системе диссипативные силы, положив Ьг = О, и Ь, = Ь ) О. Тогда условие (6.121) ггг = Ьгр' ( 0 принимает противоположный смысл, что свидетельствует о неустойчивости движения (см. примечание к условиям Гурвица (4.32)). Из рассмотренного примера (6 115) с двумя степенями свободы видно, что при равенство коэффициентов устойчивости с, и сг добавление любых неконсерватнвных позиционных сил ру и — рз разрушает устойчивость потенциальной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
