Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для этого воспользуемся дифференциальными уравненинми возмущенного движения системы [зги уравнения без труда составит читатель. воспользовавшись уравнениями Лагранжа 1! рода нлн уравнениями моментов (см. также (42))): Адф + Ьтф — Н() — сгф =. Ч.', А,Π— й,ф+ Нф — с,б= Е, (6.74) где Аг = Х + (М+ Мо)аз + А + Сз, Аз=-Аз+А, сг=-Р.с, сз=р Ь. (6.75) А,ф — с,ф О, Азй — сзб = О Здесь А, и Сз — моменты инерции кольца, М, — его масса, А — зкваториальийй момент инерции гироскопа, М вЂ” его масса, 1 — момент инерции вагона относительно оси рельса, Р— вес вагона, р — вес добавочного грузика С, Н вЂ” кинетический момент гироскопа„ Ь, — коэффициент сил сопротивления, действующих на вагон, йз — крутизна характеристики устройства, создающего ускоряющую силу Ьзб; значения постоянных а, Ь и с видны из рис.
6.5 (С вЂ” центр тяжести всей системы, исключая грузик 7,), 'р и 6 — нелинейные члены. Уравнения (6.74) можно рассматривать как результат наложения иа неустойчивую потенциальную систему ГЛ. Уп НЛИЯНИК СТРУКТУРЫ СИЛ (82 гироскопических скл — НО н Нф, дисскпативкой снам (41Т, ускоряющей силы — йцЬ и нелинейных сил Ч' н О соответственно. Составцццц характеристическое уравиенио А,лц+ й,л — с, — НЛ НЛ А,Лц — Лц) — с или, раскрывая определитель и группируя члены, ацЛ4 + атлц + ацЛ4 + ацл + ац -- О, (6.76) ац — — А1Ац, а, =.
й,Ац — )ццА1, ац — Нц — сцА1 — сцА ц — йцйц, ац = й,сц — й,с„ац = с,сц. (6.77) Воспользуемся критерием Гурвица (4.32) для системы четвертого порядка (цц ) 0): ац)0, ац)0, а,)0, ац)0, ац = а,аца, — ацаз — аца4 ) О. В нашем случае условия ац ) 0 и а4) О выполняются автоматически, а условие ац ) 0 следует из неравенства Ац ) О. Подчиняя с помощью формул (6.77) параметры системы оставцпимся условвям (а, ) О, ац ) О, Лц ) 0), легко найдем 44 Ац — й,(йц( — Цй„ сц ' '-' А, А4А4 (й,с — йцс;)ц ' с,сц (йцА4 — ЛИА4)ц Нц '4А +с А +" йц+ (йу, й'„,)(й,"'..', й,'А,) ' (6.78) Первое условие устанавливает пределы для крутизны й, характеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нижнюю границу кинетического момента Н. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению одиорельсовый вагон асиыптотически устойчив независимо от членов высшего порядка Ч' и 9.
Из формул (6.77) видно, что при йц ( 0 (вместо ускоряющего момевта имеется обычная сила сопротивления) коэффициент а будет отрицателен и система в соответствии с четвертой теоремой Томсона — Тета — Четаева сделается неустойчивой '): ') Во многих вузах имеются модели однорельсового гироскопического вагона. Прп децюнстрации необходимо следить за тем, чтобы грузик кольца занимал верхнее вертикальное положение; при колебаниях кольца нужно слегка подталкивать его в сторону движения, имитируя ускоряющее устройство. в в 1.
Ригосиопи~1«скин и диссипьтивные силы $ 6.7. Устойчивость равяовесия под действием одних гиросиопичвсяих и диссипативиых сил. Пример До сих пор рассматривались системы, в которых диссипативиые и гироскопические силы действовали вместе с потенциальными силами. Между тем в приложениях встречаются системы, в которых диссипативиые и гироскопические силы действуют без потеициальных сил. Изучеиию устойчивости таких систем посвящен зтот параграф.
а, Одни гироскопические силы. Рассмотрим виачале случай, когда иа систему действуют только гиросиопичесиие силы, считая, что уравнения возмущенного движеяия приведены я форме й +бй =О. (8.79) Теорема 1. Равновесие системы, на которую действуют одни вироскопичвскис силы, всегда устойчиво относительно скоростей (38). Доиазательство.
Умио>ким справа обе части уравнения (8.79) иа матрицу й. Тогда, учитывая, что для кососимметричиой матрицы С имеет место равенство 6$ й = — О (см. формулу (5.25)), получим й.й=О или, интегрируя, й'й'= — 2 (21+ юг+... + 2)=-1>, (6.81) где Ь вЂ” постояияая интегрирования. Функция К =- — й . й удовлетворяет всем условиям тео- 2 ремы Ляпунова об устойчивости движения (оиа определенно-положительна и ее полиая производная по времеви в силу уравнений возмущенного движения тождествеиио равна нулю (см. з 2.2)), что доказывает теорему. Примечаиие. Теорема доказана для линейной аетоиомиой системы, ио оиа справедлива «для линейной пеавтоиомиой системы, когда гироскопическая матрица 6 завасит явно от времени (равеиство 6й д =.
О, яа котором базируется доказательство теоремы, справедливо для любой кососимметричиой матрицы, зависящей «вимм образом от времени), а таки>е для нелинейной системы (см. статью В. В. Румянцева (45)). Устойчивость равновесия определяется, конечно, яе только устойчивостью в скоростях, ио и устойчивостью 184 гп. чь Влипнпг стгуктугы снл в координатах. Следующая теорема устанавливает необходимые и достаточные условия устойчивости системы (6.51) относительно совокупности координат и скоростей. Теорема 2. Для того чтобы равновесие линейной автономной системы, находящейся под действием одних гироскопических сил, было устойчивым относительно координат, необходимо и достаточно, ч>пабы определитель матриуы гироскопических сил не равнялся нулю [38).
Докавателъство. Докажем вначале, что если пес 6 чь О, то невоэмущенное движение в = О, я == О устойчиво относительно координат я (устойчивость относительно скоростей доказана предыдущей теоремой при любом значении де16). Проинтегрируом уравнение (6.79) одпп раз по времени (6.81) где .Π— постоянная интегрирования матрица-столбец определена равенством (6.82) .Р =.. во + 6яо. Перейдем к новой переменной матрице у по формуле (6.83) (так как по условию матрица 6 неособенная, то обратная матрица 6 ' существует). После подстановки в уравнение (6.81) получим д+6у+66'лл =.сЭ или, учитывая тождество 66 'лл = Еог = Хг, (6.84) Согласно теореме 1 этого параграфа, движение устойчиво относительно скоростей й.
Из совпадения форм уравнений (6.79) и (6.84) следует, что движение устойчиво относительно у, На основании равенств (6.82) и (6.83) заключаем, что движение устойчиво относительно координат я (при достаточно малых по модула~ я„и хо элементы' матрицы лл будут также малы). Докажем теперь необходимость условии теоремы. Для этого достаточно показать, что при бес 6 .—.-.- О система неустойчива.
Составим характеристическое уравнение а с7. Ги1'Оскош!чкские и диссииьтивные силы 7яз для дифференциального уравнения (6.70): Лв диЛ...ИИЛ яввЛ Х' Д вЂ”. бес(ЕЛв + СЛ) —... — (6Я5) йиЛ Е,,Л...Л оии общий множитель Л: Вынесем из каждой стр Л Уи =6 д Лв и разложим полученный определитель по степеням Л: Д Лв(йв+ +о) =О. Очевидно, что хи о, =- .. 4е177. ЛМ Хв...О Из условия де1 6 = 0 и последних двух равенств следует, что уравнение (6.85) имеет ие менее г + 1 нулевых корней.
Перейдем теперь к исследованию элементарных делителей характеристической матрицы (см. $ 5.3) ХввЛ... Х„Л вв1Х Хв ° ° вввЛ ~в1 ~вв Обозначим через ив общие наибольшие делители всех миноров й-го порядка. Очевидно, что 771 == Л, ввз делится на Лэ, хвз делится на Лэ и т.д. (так как все элементы этой матрицы имеют общий множитель Л). Поэтому все инвариантные множители Е„.= — О (77=-1,2,...,з; свв= 1) а-1 делятся на Л, т. е.
каждый инвариантный множитель Е1(Л) имеет по крайней мере один нулевой корень. Воспользуемся формулой (5.28): И бе$ Р (Л) = Е1 (Л) Еэ (Л).... Е, (Л), Гл уг Влияние стРуктуРы снл Так как число нулевых корней левой части не менее г + 1, а в правой части имеется» инвариантных множителей Е» (Х), то хотя бы один на них содержит нулевой корень кратностибольшепервой. Это доказывает неустойчивость системы (см. $ 5.4 с.
146). Следствие. Если на сиоп»ему действуют только гироскопические силы и она имеет нечетное число координат, то равновесие такой системы всегда г еустойчиво (если г— нечетное число, то йеС 6 тождественно равен нулю (см. ~ 5.2, с. 129)). Примечание 1.
Так как невозлгуигеггное движение устойчиво относительно скоростей при, любом значении йег 6, то из доказательства неустойчивости, системы следует, что кри йес 6 = О сиспюла теряет устойчивость только в координатах. Примечание 2. Если йе$6 Ф О, то харакпгеристический определитель системы и.ивет ровно г нулевых корней.
Лз устойчивости системы следует, что гти корни простые для элементарных делителей. Примечание 3. Уравнение (6.79) во многих случаях представляет уравнение первого приближения нелинейной системы, на которую действуют только гироскопические силы. Конечно, иэ устойчивости движения при йе$6 ~ О, определяемого уравнением первого приближения, не следует устойчивость исходной нелинейной системы, б.
Гироскопические и диссипативн ы е с и л ы. Прежде чем перейти к исследованию влияния диссипативных сил, приведем один результат теории определителей, который понадобится нам и в других рааделах (доказательство будет приведено в конце параграфа). Пусть даны две квадратные матрицы одного порядка г: одна матрица Вг — внакоопределенная диагональная и вторая 6 — кососиыыетричная. Составим определитель А матрицы В, + 6: гг = йес (В, + 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
