Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Присоединим к системе гироскопические силы — ийэ н яз, соответственно. Получии Х, +ййэ+с,г,=О, (6.53) йе — язт + саге = О. Составим характеристическое уравнение этой системы !'-':" "". =- ' "+ „" ~ =- Л + (й + „+ „ре ) „,, =- О. Так как в этом уравнении ) содержится только в четных стйкенях, то каждому корню ) будет отвечать корень — л, Поэтому, если вещественная часть хотя бы одного корня не равна нулю, то найдется корень, вещественная часть которого положительна.
Из этого следует, что устойчивость наступит только в том случае, если все корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми числами, а корни относительно )а — отрицательными веще- а ал, Влияние гигоскопических сил 174 ственными числами. Для этого необходимо и достаточно, .чтобы коэффициенты характеристического уравнения удовлетворяли следующим условиям: сага ) О, у' + сд + са ) О, (ь".
+ сх + са) — 4сьса ) О. Эти три неравенства сводятся к одному условию (напомним, что по предположению са ( 0 и са ( 0) ) у () )' — ох+ у' — сл (6,54) Таким образом, если коэффициент д удовлетворяет этому условию, то неустойчивая потенциальная система (6.52) будет стабилизирована добавлением гироскопических сил — угв и дг,. Вслед за этим возникает другой вопрос: всегда ли можно стабилизировать неустойчивую потенциальную систему гироскопическими силамиу Одно нз необходимых условий гироскопической стабилизации определяет следующая теорема (достаточные условия установлены в работах (38, 49)).
Перваи теорема Томсона — Тета — Четаева. Если неустойчивость изолированного положения равновесия системы при одних потенииальных силах имеет нечетную степень, то гироскопическая стабилизация равновесия невозможна при любых член х, содержащих координаты и скорости в степени выше первой ').
Доказательство. Пусть потенциальная система х + Сах = ~ (6.55) имеет нечетную степень неустойчивости. Присоединив к системе произвольные гироскопические силы — бя, получим й + 6х + Сах Я Составим характеристическое уравнение, учитывая, что Са — диагональная, а й — кососимметричная матрицы ла+ с, г„х ... гых га1Х Ха -~- аа ... га Х =0 .. а*+с, а) Во всех теоремах зтой главы врв отсутствии специальной оговорки рассматривается устойчивость относительно координат н скоростен, лрнчем за неэозмунинное движение нрвннмаетен г = =О, г=о. 172 гл. Ук Влияние структуры сил или, раскрывая определитель и грулнируя члены по степеням е, Л =)'+...+ас,=О. Свободный член этого уравнения равен, ою видно, произведеншо с,...
с, (чтобы найти его, достаточно в определителе Ь положить ), == 0): а„= с,... с,. Из условий теоремы следует, что ате ( О. Действительно, число отрицательных коэффициентов устойчивости с, нечетное и среди них нет нулевых (так как положение равновесия изолированное). Поэтому среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с полоекительной вещественной частью (см. пояснение к формулам (4.23)). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого прнблиясення (см.
з 4.3), и того обстолтельства, что свободный член а„характеристического уравнения не зависит от гироскопических сил. Преясде чем перейти к исследованию влияния гироскопических и диссипативных сил ла равновесие устойчивой потенциальной системы, остановимся на одной формуле, которая нам понадобится в дальнейшем.
Пусть в системе общего вида (6.40) отсутствуют неконсервативные позиционные силы (11т =- 0) д дТ дТ дП + От + Ге. (6.56) Ыс д ) „дз„дат Умножим каждое уравнение на с'т и полученные произведения сложим. Тогда, учитывая равенство (6.13), получим после несложных преобразований — „', (т+ П)=)у, (6.57) где Л' = ХВЫ т — мощность сил сопротивления '). Если силы сопротивления однородны относительно скоростей, то, согласно формуле (6.37), будем иметь — (Т+ П)=- (и+1)г'.
(6.58) Заметим, что для линейных сил сопротивлений и = 1 и правая часть этих равенств будет равна — 2г (именно ') Вывод можно найтн в любом достаточно полном курсе теореткческой механккк (см., напркмер, [12)). з гл, Влиянии Гигоскопичкскнх сил $73 для этого случая формула (6.57) приводится в курсах теоретической механики). Вторая теорема Томсона — Тета — Четаева. ясли изолированное положение равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то при добавлении проигвояьных гироскопическ х и диссииапсивных сил устойчиг вость равновесия сохранится.
Доказательство. Воспользуемся формулой (6.57). Так как мощность Ст диссипативных сил не положительна, то будем иметь Учтем теперь, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия П имеет минимум (см. замечания в конце $3.2). Поэтому функция Т + П будет определенно-положительной относительно совокупности координат дк и скоростей с'и (см. доказательство теоремы Лагранжа з 3.1). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова об устойчивости движения (з 2.2).
Третья теорема Томсона — Тета — Четаева. Если изолированное положение равновесия системы устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических сил и сил сопротивления с полной диссипацией. Доказательство. Функция У (д, с') = Т + П определенно-положительна относительно совокупности координат д„и скоростей с'сс (см.
теорему 2). Ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения определнется равенством (6.57) вайс —, =- сс'(д, с). На многообразии К (д Ф О, д = 0) производнан Р равна нулю, а вне этого множества она отрицательна (по условию теоремы диссипацин полная — см. равенство (6.39)). Покажем, что многообразно К не содернсит целых траекторий системы (6.56). Действительно, при д = 0 кинетическая энергия Т, силы сопротивления Х> (д, с') и гироскопические силы Г (д, с') обращаются в нуль (см.
равенства (6.41) н (6.38)). Следовательно, при д = 0 и д'~ О уравнения (6.56) принимают вид ~дП) О (А 1 е) )74 гл ть Влияпь!а стРуктуРы сил что невозможно при изолированном коложоиии равновесия потенциальной системы '). Доказательство теоремы следует теперь нз теорелгы П. Н. Красовского об асимптотической устойчивости ($2.3). В начале этого параграфа было показано, что в некоторых случаях неустойчивую потенциальную систему можно стабилизировать гироскопическими силами. При доказательстве мы не учитывали диссипативные силы. Рассмотрим сейчас, какое значение имеют эти силы для гироскопической стабилизации. Четвертая теорема Томсона — Тета — Четаева. Если в окрестности изолированного неустойчивого положения равновесия консервативной системы потенциальная энергия может принимать отрицательные зноченил, то при добаагении сил сопротивления с полной диссипацией и произвольпььх гироскопических сил равновесие останется неустойчивым.
Доказательство. Запишем равенство (6.57) в следуиьщей форме: е$', — „' = — Л~, у,=- — (тц П). еь Рассмотрим прежнее многообразие К (д чь О, д =- 0), На нем )'ь =- О, а вне его )Гь > 0 (диссипация полная и, следовательно, Ль( О при ( ~ 0). По условию теоремы в окростности нуля существуют точки, в которых П ~ О. В этих точках при 9 = О функция гь принимает положительные значения. Кроме того, многообразие К не содорьш,т целых траекторий системы (6.56) (по тем же соображениям, что и в предшествующей теорема). Доказательство теоремы следуот теперь из теоремы Н.
Н. Красовского о неустойчивости движения з). ь) В положение равновесия а =- О потенциальной системы должны выполняться равенства (3.2) Вслм частные производные разны нулю з окрестности положения равновесия при ь7 чз О, то равяовесие ие изолировано. ь) Все теоремы этого параграфа были сформулированы Томсоном и Тетом з )879 г. [58).
Строгое доказательство этих теорем для нелинейных систем з некритических случаях принадлежит Н. Г. Четагву [49). Возможпосьь распространить зтя теоремы яа иелинеапыг системы общего вида была доказана в шестидесятых годах нашего столетия рззлячпыьш авторами. 5 6.6. НРнменение теОРем тОмсОЫА — тетА — 1ГТАГвл 175 Отсюда следует, что с течением времени полная энергия Т + П убывает, рассеивается (разумеется, не исчезает, а переходит в другие виды энергии, например в тепловую).
Мощность 1)г и функцию Релея Р на основании формул (6.57) и (6.58) можно рассматривать как меру рассеивания полной энергии Т + П. Этим и объясняется причина, по которой силы положительного сопротивления называют диссипативными силами, а соответствующую функцию Релея Р— диссипативной функцией (лат, йзз1раге — рассеивать).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
