Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 26
Текст из файла (страница 26)
— (гх +... + г,), Сея'к = 2 (сггг + ° ° ° + с~гг) 142 гл. У. УстОЙчиВОсть линеиных АВтОЫОмных систем причем в первой из них (определенно-положительной) все коэффициенты равны единице. Применим ко второму равенству (5.42) формулу (5.9): деТ С, = йеС Л' бе~ С бе$ Л. Учитывая, что бей Л' = Ое1 Л, получим без С, =- Л' сег С, где Л =- беФ Л вЂ” определитель матрицы преобразования. Так как матрица С, диагональная, то ие1 Сэ = = с,сэ ...с,. Следовательно, с,с,...
с, = Л'бей С. Если матрица преобразования ортогональна, то Л = =- +-1 (см. (5А8)) и последнее равенство примет вид с,... сь=йе$С. (5.44) Кроме того, легко докааывается, что при ортогональном преобразовании след произвольной квадратной матрицы В равен следу матрицы Л'ВЛ, т, е. Бр В = Яр Л'ВЛ.
(5.45) $5.4. Устойчивость линейных автономных систем. Устойчивость резонанса. Примеры Пусть возмущенное движение определяется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что ати уравнения приведены к нормальной форме: м =Ах, (5.46) где ж — матрица-столбец (вектор), а А — квадратная матрица.
С помощью линейного преобразования перейдем от вектора ж к вектору я (от переменных хм х„..., х„к переменным г„г„..., з„) я=Ля (5.47) с неособенной матрицей Л = з агт 'з. Найдем обратное преобразование вектора я в вектор е. Для этого умножим слева обе части равенства (5.47) на матрицу Л ' (обратная матрица для Л существует, так з з.а устойчивость линейных АВтОнОмных систем 143 как матрица Л неособенная) Л тз = Л 'Лзс или, учитывая, что Л 'Лл = (Л 1Л) х = Ею = ж (см. (5А 2)), ю=Л-'з (5,48) Продифференцнруем это равенство по времени Л "а== .с.
Заманим х, согласно уравнению (5.46), на Аис Л 'а=Ах; принимая во внимание обратное преобразование (5.48), найдем Л 'й=АЛ 'я- Умнов~ив обе части этого равенства слева иа матрицу пре- обрааозания Л н учтя, что ЛЛ 'й = Ей = я, получим (5.49) где матрица В определена равенством В= ЛАЛт.
(5.50) Таким образом, преобразование (5.47) переводит матричное уравнение возмущенного движения (5.46) с искомым вектором е в матричное уравнение (5.49) с искомым вектором а. Очевидно, что если движение устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора а, то оно будет устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора ж, и наоборот. Из равенства (5.50) и сформулированной теоремы линейной алгебры (см. (5.41)) следует, что элементарные делители матриц А — )Е и  — АЕ имеют одинаковые делители.
Пользуясь этим свойством преобразованной системы (5.49), можно задавать не линейное преобразование (5.47), а матрицу В, выбрав ее из условия равенства элементарных делителей характеристических матриц А— — )Е и  — ЛЕ. За новое дифференциальное уравнение (5.49) возьмем такое, матрица коэффициентов которого является нормальной формой Жордана для матрицы А исходного 144 гл. ю гстоячивость линвиных автономных систвм уравнения (5.46): В1 Х! (5.54) где л, о ...
о л„ ... о Ви = о о ... л„ (5.52) хе 1 х,, + Лгхсе Уравнения (5.52) интегрируются злемевтарно. Действительно, из первого уравнения сразу находим х1 = х01е мс где хм — начальное значение х,. Вносим полученное аначевне для х, во второе уравнение йх — Л,х, = х,пе лй Интегрируя его, получим х, = (х„+ хе1е) е~'.
Переменный вектор я, входящий в преобразованное уравнение (5.49) с матрицей козффициентов (5.51), называется каноническим вектором, а его элементы хм хх, ..., х„— каноническими переменными. Отметим, что для перехода к каноническим переменным формула преобразования (5.47) не нужна — нужно знать только злементарные делители матрицы А — ЛЕ. Дифференциальные уравнения в канонических переменных разобьются на т независимых друг от друга групп, кюкдая из которых соответствует своему злементарному делителю или своей клетке Жордана Вю Выпишем одну первую группу (остальные имеют аналогичную структуру): хг= Л1хь х„= хе+ Л~хз1 ха = Л~хэ~ $2А, УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 145 Продел«кая этот процесс, найдем решение уравнений (5.52): 21 = 20102'0 гг = (202 + 201Т) е»"1, 12 гг= (208+ г«20+ 201 ~~ ) е~~ 0 г,,=~ге,,+г«о»Т+...+г01,, е ) 1,1 Аналогичные решения получим для других групп.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости движения. Пусть Л« = У«+ 1»»1 ~ где т» и р» — вещественные числа. Тогда 1»1 0»1 в»и Учтем теперь, что ) в»11! — 1 при любых р» и 1. Следовательно, )'е«»1 ~ 0»1 Иэ этого равенства следует, что прн 1 — «оо ) е~»')-00, если т«(0, ) Е» ! — «оО, ЕСЛИ у«)0, 1 Ф ) е~»')=1, если т«=0. Так как показательная функция растет быстрее любого многочлена ~(1), то для произвольного Л = т + (»1 будем иметь 0 при т(0, 1пп)((1)е»1) = оо при т) О, оо при У=О, (5.54) причем в последнем случае предполагается, что 1 (1) ~ ~ сопз$. Из общего решения (5.53) и предельных равенств (5.54) непосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости движения системы, воэмущенное движение которой описывается дифференциальными уравнениями (5.1) или в матричной форме (5.46).
Ыс ГЛ У УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЖМ 1. Если вещественные части всех корней характеристическоео уравнения отрицательны, то невоэмущенное движение асимптотически устойчиво. 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна, то невоэмущенное движение неустойчиво. 3. Если некоторые корни характеристического уравнения имеют пулевые вещественные части, а остальные корни имеют, отрицательные вещественные части, то: а) невоэмущенное движение будет устойчивым (не асимптотически), если корням с нулевой вещественной частью отвечают простые элементарные делители (то есть соответствующие ег = 1); б) невоэмущенное движение будет неустойчивым, если хотя бы один корень с нулевой вещественной частью является кратным корнем соответствующего элементарного делителя (ег ) 1). Преягде чем перейти к примерам, сделаем три замечания.
1. При исследовании устойчивости линейных стационарных систем нужно прежде всего определить корни характеристического уравнения. Если вещественные части всех корней отрицательны или имеется хотя бы один корень, вещественная часть которого поло>кительна, то вопрос об устойчивости решен и нет смысла исследовать злементарные делители, т. е. решать задачу более сложиуго. Точно так же задача сразу решается, если корни с нулевыми вещественными частями простые (в этом случае корням с нулевой вещественной частью соответствуют простые злементарные делители), а остальные кропи имеют отрицательную вещественную часть.
Таким образом, к определению элементарных делителей нужно прибегать только в том случае, если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни с нулевой вещесгпвенной частью, а вещественные части остальных корней отрицательны. 2. В некоторых случаях необходимо ответить не только на вопрос об устойчивости движения, но и определить матрицу преобразования Л переменных .т„х„..., т„ в канонические переменные г„г„..., г„. Для етого рациональнее всего воспользоваться равенством (5.50), которое умножением справа иа матрицу Л приводится к виду ВЛ = ЛА. (5.55) э ЬА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 147 Это матричное уравнение относительно Л содержит две известные матрицы (А задана, а  — нормальная форма Жордана для А и, следовательно, находится по А).
Матричное уравнение (5.55) эквивалентно и' скалярным однородным уравнениям относительно я„н выражающим равенство соответствующих элементов. Поэтому имеется бесчисленное множество матриц преобразования Л. Обратную матрицу Л г мокко найти из уравнения Л'В =АЛ', (5.56) которое получается умножением равенства (5.50) слева на Л'. 3. Очень часто исходные уравнения возмущенного движения не приведены к нормальной форме и содерягат производные порядка выше первого.
Для того, чтобы определить элементарные делители и решить вопрос об устойчивости, нет нужды приводить систему к нормальной форме — достаточно составить характеристическую Л-матрицу для исходной системы и исследовать ее. Покажем это на примере уравнения Ах+ Вх+ Сх=О. (5.57) Для исследования на устойчивость относительно матриц-столбцов х и х достаточно определить элементарные делители характеристической Л-матрицы У(Л) = АЛз+ВЛ+ С (5.58) Действительно, перейдем к системе первого порядка, для чего положим х = д.
Тогда уравнение (5.57) заменится системой двух уравнений первого порядка Ау = — Вд — Сх. Характеристическая матрица этой системы имеет вид (элементами служат матрицы) ~ — С вЂ” АЛ вЂ” В~ ' Воспользуемся элементарными преобразованиями: умножим второй столбец на Л и сложим его с первым, после чего переставим их 1 — АЛ вЂ”  — АЛэ — ВЛ вЂ” С) ' 143 Гл ч. устОЙчиВОсть линвйным Автономньсх систкм Первую строку умножим на АЛ + 8 и сложим со второй, ватам умножнм второй столбец на — 1: !~О АЛз-) ВЛ+С~=~~В 1(Л)!! что доказывает сделанное замечание. Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
