Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ь' где Е„ЕМ ..., ń— ипвариантные множители матрицы (5,26), называется нормальной диагональной формой этой матрицы. Например, нормальной диагональной формой для матрицы (5.30) будет матрица ~'О А(Л+ )4 Элементарными преобразованиями Л-матрицы нааываются следующие операции: а) перестановка двух строк или двух столбцов; б) умножение всех элементов какой-либо сгпроки (столбца) на один и тот же отличный от нуля посл«оянный мнохсип«ель; в) сложение элементов некоторой строки (столбца), умноженных на один и тот же полином от Л, с соответствуюи(ими элементами другой строки (спюлбца).
Доказывается, что: а) элементарные преобразования не изменяюгя элементарные делители «; матрицы; б) всякую Л-матрицу конечным числом элементарных преобразований можно привести к нормальной диагональной форме (5.3(), Покаяюм ато на ярнмере матрицы (5.30). Переставим в этой матрице вторую строку на место первой я второй столбец яа место первого. Обозначим переход с помощью алементарных преобраао- 136 ГЛ, У. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ наний от одной ма~рицы к другой стрелкой, получим (( Л4-1 Л+1 1 ((Л+1)' (Л+1)'(( Вычтем теперь элементы первого столбца пэ соответствуюгаих элементов второго: Н л+1 л+1 ) ( л+1 о (Л+1Р (Л+ЦеН(Л+1)а Л(Л+~)4 Умножим влементы первой строки на Л+ 1 и вычтем па элементов второй строки: ~1(Л+1)е Л(Л+1)а1 (( О Л(Л+1)т((' Полученная матрица является нормальной диагональной для матрицы (5.30).
Заметим, что элементарными преобразованиями часто пользуются для определения элементарных делителей. Рассмотрим матрицу порядка ег следующего вида: л,оо...оо л,о...оо 0 1 Ла ... 0 0 (5Л 2) 0 О 0 ... Л, О О О О ... 1 Л, Л вЂ” Л 0 0 1 Л,— Л 0 О ! Л вЂ” Л 0 0 0 0 0 0 (5.33) у — ле= о о ... л, л о О 0 ... 1 Л~ — Л Вычеркнем из етой матрицы первую строку и последний столбец и из оставшихся злементов составим минор поряд- ка е,— 1: л, — л ... о 0 1 ... О 0 0 В этой квадратной матраце по главной диагонали стоит одно и то же число Л„в диагонали под ней стоят единицы, а остальные злементы равны нулю. Матрица такого вида называется клеткой Жордано или элементирным ящиком. Составим Л-матрицу э', — ЛЕ (напомним, что Š— единичная матрица): 137 э ь,з, злимвнгхвнык делители Так как этот минор равен единице, то Р, = Ра = : ..=.Рч .
= 1 (см. с. 133). С другой стороны, единственный минор порядка е, равен бес (У, — ЛЕ) = (Л, — Л)аэ Следовательно, аи — Л ° ° . ат А — ЛЕ= л ''' пи (" 'д) Найдем элементарные делители этой матрицы (Л Л)е, (Л Л ), (Л Л )~щ Каждому корню Л„(л = 1,..., т) элементарного делителя соответствует своя клетка Иордана Хю Норлальвой формой Жордана для данной матрицы А называется матрица, диагональные элементы которой равны клеткам Иордана, а все прочие элементы нулю: Очевидно, что элементарные делители матрицы /— — ЛЕ совпадают с элементарными делителямихарактеристической матрицы. Заметим также, что корни характеристического уравнения ~ А — ЛЕ ( = 0 совпадают с корнямн элементарных делителей.
Р,, = (Л вЂ” Л„)' (в скобках переставлены местами Л и Л„так как старший член в Р,, должен иметь коэффициент, равный единице). Пользуясь формулой (5.27), найдем для матрицы инвариантные множители Ег = 1~ Еа = 1~ ° ° ° Ее,-г = 1 Ее = (Л Лг)ч Из этого следует, что матрица Х, — ЛЕ имеет только один элементарный делитель, равный (Л вЂ” Л,)". Пусть теперь А — произвольная квадратная матрица, элементы которой постоянные числа аэ;. Составим Л-матрицу А — ЛЕ (она называется характериапической для матрицы А) 133 РЛ, У. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ЛВТОНОМНЫХ СИСТЕМ Промер ! — 2 — 1 — 1 ΠΠ— 4 1 — 1 — 1 5 1 2 2 (5.35) Для того чтобы привести эту матрицу к нормальной форме Жордана,нужно прежде всего найти элементарные делители характеристической матрацы (5.34): — 2 — Л вЂ” 4 5 А — ЛЕ =- Для этого воспольэуемся элементарными преобразованиями.
Униожим первую строку на — 1, затем умножим последний столбец сначала на †(2 + Л) н сложим его спорным столбцом (чтобы получить в верхнем углу нуль); после этого вычтем нэ второго и третьего столбцов последний столбец (чтобы в верхней строке получить еще два нуля): О О О 1 — (1+Л) ΠΠ— 2-(- Л 2 — Л 1+ Ла — (1 — Л) Л 2 — Л Сложим первую строку с третьей, потом умножим первую строку на 2 — Л и вычтем ее иэ четвертой; после этого переставим последний столбец на место первого: 1 О О О О 1 — (1+Л) ΠΠ— 2+Л 2 — Л О 1+Ла (1 Л) А — ЛЕ Умножим второй столбец на 1 + Л и добавим его к третьему столб- цу (чтобы получить во второй строке еще один нуль): О О О О 1 ΠΠΠ— 2+ Л вЂ” Л(1 — Ц вЂ” Л О 1+Л' Л(2+Л-(-Л') Л Теперь во второы столбце после единицы можно поставить нули (для этого достаточно умножить вторую строку сначала на 2 — Л и сложить с третьей строкой, ватам умножить вторую строку на — (1+ Л)э и сложить с четвертой строкой), После этого умножим четвертый столбец на — (1 — Л) л добавим к третьему столбцу: 1 О О О О 1 ΠΠΠΠΠ— Л О О Л(1+Л)' Л А — ЛЕ -~ А — 0 ) — 1 — 1 — Л 1 1 — 1 ΠΠ— 1 — Л 2 2 — Л 9 5.3.
злиминтлРныи делители Слоншм третью строку с четвертой, затем уыножим эту строку на — 1 и переставим четвертый столбец иа место третьего: О О О О 1 О О О О 5 О О О О 5(1+ 1)з А — 1Е -» (5.37) (5.33) — 1 О 1 — 1 прячем незаполненные алемевты равны нулю. Пример 2. — 2 — 1 — 1 — 1 1 — 1 ΠΠ— 5 Π— 2 — 2 6 2 3 3 (5.35) Получилась нормальная диагональная форма характеристиче- ской матрицы А — )»Е. Из нее находим Е» = 1 Ез = 1 Ез = Х» Ез = Х ()» + 1)э. Следовательно, матрица А — 1Е ямеет три элементарных делителя: Х, Х, (Х+ 1)з, которым отвечают корни )»,=О, ) =О, ~э=~. Конечно, этн корни являются одновременно корнями характе- ристического уравнения )А — ЛЕ( =О.
Отметим существенное длн дальнейшего обстоятельство: корни элементарных делателей и корин характеристического уравнения всегда совпадают, ио их кратность может быть различна. В данном примере как раз имеет место этот случай: нулевой корень имеет вторую кратность для характеристического уравнения, но он прос- той для элементарных делителей (так кэк двум нулевым корням отвечают два элементарных делателя). Корни )о = 14 = — 1 име- ют одинаковую кратность как для характеристического уравнения, так и для алементарных делителей. Каждому элементарному делителю отвечает своя клетна Жорда- на (см. равенство (5.32)) (Хг = О, е, = 1; Хз = О, е = 1; )с = — 1, ез = 2): .Г,=)~О(,,т,=(О(, 1 — ! Оз 11 11 Теперь легко строится нормальная форма Жордаиа для рассмат- риваемой матрицы: 140 ГЛ.
У, УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СНСТКМ вЂ” 2 — Л 1 — 5 0 Элементарными преобраэовавиямн эта Л-матрица приводится к нормальной диагональной форме (читатель беэ труда выполнит самостоятельно иеобходимыс действия): Иэ нее находим инвариаптные множители: Е, = 1, Ет = 1, Еэ = 1, Е, = Лэ (Л+ 1)э. Следовательно, матрица А — ЛЕ в этом случае имеет только два элементарных делителя В данном примере кратность нулевого корня и вещественного отрицательного корня одинакова как для характеристического уравнения, так и для элементарных делителей. Каждому элементарному делителю отвечает своя клетка Жордана (см. равенство (5.32)): Теперь легко строится нормальная форма Жордана для рассматри- ваемой матрицы о о~ (5.40) — 1 0 1 — 1 причем незаполненные элементы равны нулю. Обратим внимание на следующие обстоятельства: характеристические уравнения в обоих примерах имеют одинаковые корни: Л = Л = О, Лэ = Л! = — 1. Однако нормальяые формы Жордана равные.
Это объясняется тем, что в первом примере характеристическая матрица имеет три элементарных делителя, а во втором примерв — только два. Н заключение приведем две теоремы линейной алгебры, которые нам понадобятся в дальней!пем (см., напри- меР, (9! 141), Составим характеристическую матрицу — 1 0 — 2 — Л 3 1 0 0 0 0 1 0 0 .4 — ЛЕ- О 1 О 0 0 1 О О О Ла(Л + 1)э ! Лэ, (Л + 1)э, которым отвечают корни л,=л =о, л =л — 1 0 — 2 3 — Л з 5 3 злкмкнтлгныв двлиткли Теорема $. Если матрица Л неособенная, пю элементарные делители матриц А — ХЕ и ЛАЛ ' — ХЕ одинаковы. Обратно, если элелынтарные делители матриц А — ХЕ и  — ХЕ одинаковы, то всегда найдется такая неособенная матрица Л, что В = ЛАЛ'.
(5.41) Некоторые авторы называгот зту теорему основной теоремой линейной алгебры. Теорема 2. Если квадратные матрицы А и С порядка г симметричны, причем матрица А гнакоопределенная, то: 1) все корни характеристического уравнения бе$(АХ+С) =0 вещественны; 2) всегда найдется такая неособенная матрица Л, что ЛАЛ=Е ЛСЛ=Сг (5А2) где Š— единичная, а С, — диагоналън я матрицы, О сг ... О (5.43) Сов причем с„с„..., с, равны корням характеристического уравнения. Вторая часть теоремы равносильна, очевидно, следующему утвергкдению: если даны две квадратичные формы %1%1 Т= з Ахх — — -2 у > а„гх„хе, г 1,=1 в в 1 П = З Сзс ос= о р ~~ сн>хгхг Ь= — 1 1=1 причем первая из них определенно-положительна, то всегда найдется такое преобразование а=Ля с неособенной матрицей Л, что в новых переменных обе квадратичные формы будут равны суммам квадратов: Т -'= — я к =..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
