Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если в матрице заменить строки, на столбцы и столбцы на строки, то получим новую матрицу, которая называется транспонированной по отношению к данной; обозначается транспонированная матрица той жо буквой, но ставится штрих наверху справа. Так, для исходной матрицы А =за„,)! транспонированной матрицей будет А' = л ад» 'з. Операция транспонпрования применима к лдобым матрицам, в частности, если транспонировать матрицу- столбец то получим матрицу-строку х =лхд,...,х„'л. Непосредственно из определений произведения и транспонирования матриц следует формула (АВ)' = В'А'.
(5.13) Аналогичная формула справедлива для обратных матриц: (АВ) ' = В 'Л д. (5 14) Так как определитель не меняется от замены его строк на столбцы и столбцов на строки, то определители транспоппрованной и исходной квадратных матриц равны бе1 Л ' = д) е1 А, Квадратная матрица называется симметричной, если ее злементы, располодкснные симметрично относительно 5 5.2. МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С НИМИ 1йн главной диагонали, равны меяеду собой, иначе говоря, матрица называется симметричной, если ее элементы удовлетворяют равенствам вю — — ап. Тэк, например, матрица симметрична, Очевидно, что транспонированная симметричная матрица равна исходной А' =А.
(5.15) Квадратная матрица называется кососи метричной, если ее элементы, стоящие на главной диагонали, равны нулю, а элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны по модулю, но противоположны по знаку, иначе говоря, матрица А называется кососимметричной, если ее элементы удовлетворяют равенствам агз = — а;„. Так, например, матрица кососимметричная. Из сделанных определений следует, что для кососимметричной матрицы справедливо равенство А' = — А. (5.16) В высшей алгебре доказывается, что кососимметричный определитель нечетного порядка тождественно равен нулю, а кососимметричиый определитель четного порядка представляет квадрат целой рациональной функции его элементов.
Таким образом, кососиммстричный определитель с вещественными элементами не отрицателен. Легко показать, что любую квадратную матрицу моя<- но представить как сумму симметричной и кососимметричной матриц. Действительно, пусть Л = зар~!~ 5 Д Р. Меркин 130 Гл. т.
устоичизость линеЙных АВтОнОмных систвм — произвольная квадратная матрица. Составим нз нее две другие матрицы: А= г (Л+Л')' В= з (Л Л)' (5А7) 1 1 Очевидно, что матрица А симметрична, а матрица В косо- симметрична. Равенство Л=А+В доказывает сделанное замечание. Квадратная матрица Л = лаз;~! называется ортогональной, если ее произведение на транспонированную матрицу Л' = й аз„(( равно единичной матрице ЛЛ' = Е. Из этого определения вытекают несколько следствий, которым удовлетворяют ортогональные матрицы Л: 1) транспонированная матрица Л' равна обратной матрице Л '. Л'=Л', 2) определитель ортогональной матрицы ранен 1-4: Л = де1 Л = -~1; (5А8) 3) сумма квадратов элементов любой строки (столбца) равна единице: Ч'„и~»1= Хйв = $; 1 з 4) сумма произведеннй элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю Ха„.,и;= ~хита» =О (йФт).
Если элементы матрицы зависят от ока парного пар» метра, например от времени 1, то производной матрицы по параметру называется матрица, элементы которой равны производным по этому параметру. Таким образом, если х = ((х„1((, то или в других обозначениях х = 'З х»1!(. 1 В.Х МАТРИЦЫ И ОСНОВНЫЕ ДЕИСТВИЯ С НИМИ 131 До сих пор рассматривались матрицы, злементами которых служили числа. Можно представить себе матрицы, элементами которых являются не числа, а любые объекты. Нужно только, чтобы все действия с такими матрицами были определены и возможны. В частности, можно рассматривать сложные матрицы, элементы которых сами являются матрицами. Например, матрицу ап агг агз аг аг азг ам агз г1п «1Н ьг Ь, Ь, Лзг Вм~ можно короче записать так где А = — ~ " " ~~г С=-'1сг сз'1, В=~Ь, Ь, 5.(1, .О=~,"" ""~.
б) Матричная форма записи системыы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения (5Л) можно записать в простой и компактной форме с помощью матриц. Действительно, введем в рассмотрение две матрицы. 1. Матрицу коэффициентов правой части уравнений (5.1) ап ам ... а йя азз ...
й пг па ' ' пп 2. Матрицу-столбец или вектор Составим матрицу из их произведения. Согласно формуле (5.8) будем иметь апаг + азгйг + ... + а пап азгаг + азззз + ' + ггзаап (5Л9) а аг+й аг+...+й г: 132 ГЛ. Ч. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ т. е. произведение квадратной матрицы А на матрицу- столбец х равно матрице столбцу, элементы которой равны правым частям уравнений (5.1). Теперь очевидно, что эти уравнения могут быть записаны в следующей простой матричной форме: (5.19а) х= Ах. ах В этом уравнении х= — —, — производная по времени = ак матрицы-столбца х. Столь же просто можно записать в матричной форме и другие более сложные системы дифференциальных уравнений.
В частности, уравнения второго порядка ;~~ (ак;г';+ Ьмх + ск;х;)=-Хк (а=-1>... >г) (5.20) к=к в матричной форме запипкутся следующим образом: Ах+Вх+Сх=Л, (5,21) где А =-)) ак~)), В = 9 Ьк;)), С = )) скоб — квадратные матрицы, а х и Х вЂ” матркщы-столбцы с элементами хт и Х; соответственно. в) Матричная запись квадратичн ы х ф о р м. Рассмотрим квадратную матрицу А и матрицу-столбец х.
Их произведение определяет матрицу- столбец (5.19). Ранее отмечалось, что матрица-столбец может рассматриваться как вектор. Воспользуемся этим обстоятельством и будем рассматривать элементы матрицы- столбца (5А9) и элементы матрицы-столбца х как составляющие векторов Ах и х. Тогда их скалярное произведение будет равно сумме произведений одноименных проекций (см. сноску на с. Зб), т. е.
Ах х = (апх, + аккхк + ... + а,„х„) х, + +(а„х,+а„х,+ ... +а,„х)х,+ + (а„,х, + а„,ха+ ... + а„„х„) х„. Раскрывая скобки и группируя члены, найдем Ах х =а„х, + а„хк+ ... + а„„х„+ (а„+ а„)х,х,+ + (акк + акк) х,хк + ° ° . + (а„д,„+ а„,„к) х„,х„(5.22) 9 5.», злйментАРные делители или короче Аш.ш= Х Х а,.;х„х;. »-» з=» (5.23) Если матрица А симметричная, то а»~ — — а;» и мы получаем обычную квадратичную форму: а Аш ш = аих, +... + аоьхй + 2аых»х» + ° ° ° ь и ... + 2а„, „х„гх„=:,~~~ ~ а»,х»х, (а,,=- а.»).
(5.24) »=»»=» Аш х=О. (5.25) Этим равенством мы воспользуемся в дальнейшем. й 5.3. Элементарные делители Рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой )О (А) являются полнномами от некоторого параметра Х: )н (ь) гго (ь) г" (А) = (5.26) Такие матрицы называются Х-матрицаки. Обозначим через Р» (й) (й = 1,..., и) общий наибольший делитель всех миноров й-го порядка матрицы (5.26), причем коэффициент при старшем члене выбираем равным единице. Легко показать, что мкогочлен Р» (А) делится на Р», (Х). При определении общих наиболыпих делителей Р» (Х) полезно иметь в виду следующее замечание: если какой- либо минор й-го порядка равен постоянной величине, то Р» = Р»т = ...= Р» = 1 (так как этот минор долясен делиться на Р», а Р» делится на Р» „Р» „..., Р,).
Многочлен, разный отношениго О» <Л) ~>» —— -Е»()) (й=1,..., и; Р»=-1), (527) »-1 Й Если квадратичная форма Ам х определенно-положительна, то для простоты матрица А называется определенно-положительной. Если матрица А кососимметричная, то а»» = О, а»~ — — — аз», т. е. а»т + азе = О. На основании Равенства (5.22) заключаем, что для кососимметричной матрицы А произведение 134 гл. ч. тстоичивость линвиных автономных систвм называется инеариантным множителем лзатриз(ы (5.26). Очевидно, что Ю» (Л) = Ед (Л) Е, (Л)... Е„(Л), а .Р„(Л) с точностью до постоянного множителя равен бег Р (Л): Р„(Л) = и бег е (Л) = Е, (Л) Ез (Л)...
Е„(Л), (5.28) Разложим каждый инвариантный мне»китель Е» (Л) нз множители: Е»(Л) = (Л вЂ” Л,)'»з(Л вЂ” Л,)" ... (Л вЂ” Л,)', где Лз, Л„..., ˄— различные корни уравнения з(е1 Г(Л) = О. (5,29) Очевидно, что е»,~О (й=1, ..., и; г=1, ..., р). Г (л) 1 (л + 1) (л + 1) 1 1+1 Л+1 (3.30) можно состаеять четыре мяяора первого порядка: (Л+ Оз (Л+ Оз Л их общий наибольший делитель, очевидно, равен Пз = Л+1. Для матрицы (3.30) имеется одяя минор второго порядка ! (Х+ 1)' (1+1) ~ Л (Л+ 1)з Л+1 Х+1 с общая яаяболыпим делителем Вз= Л(Л+ Оз. Кроме того, е»1 ~(е». в если й < 1с' (так как Е,,: делится на Е»).
Двучлены (Л вЂ” Л,)»", входящие множителями в Е» (Л) и отличные от постоянного числа (т. е. при е»з) О), называются элементарными делителями Л-матрицы. Общее их число будем обозначать через т, а сами делители череа (Л вЂ” Л,)',, (Л вЂ” Лы) '", причем среди чисел Лз могут быть и равные (биномы (Л вЂ” Л;) ' могут входить в разные инвариантные множители Е»). Рассмотрим пример.
Для матрицы (35 9 Ь.З, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ Пользуясь формулой (5.27), найдем ннварнантяые множвтели («Л+( у а «р(ца :(«а Х«а Элементарные делителя для рассматриваемое матрицы будут Л +$, Л, (1+а)а с корнями Ла = — (, Ла = О, Л = «. = — (. Этя же корни являются, конечно, коркямк уравнения а)еа Р(Х) = О, но есля для этого уравнения корень Х = — ( трехкратный, то атот же корень для одного элементарного делателя простой, а для другого двукратный. Матрица й' о ... о оу,...о (5.3)) 0 0 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
