Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Рнпшния уРАВнений хиллА и мызе 239 Со вторым приближенным методом (их существует значительно больше) мы познакомимся в следующем параграфе, а сейчас остановимся на случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются корни, равные +1 или Предполохсим, что р = +1.
Тогда соответствующее нормальное решение будет удовлетворять равенству (см. формулу (7.б2)) х (т + Т) = х (7). Это означает, что уравнение (7.45) имеет периодическое решение, период которого Т совпадает с периодом коэффициентов. Пусть теперь р = — 1. Тогда соответствующее нормальное решение будет удовлетворять равенству ж(г+ Т) = — ю(г). Еще через один период будем иметь ж (т + 2Т) = — ж (с + Т) = ж (1).
Из этого следует, что при наличии корня р = — 1 уравнение (7.45) имеет периодическое решение, период которого 2Т вдвое больше периода Т коэффициентов исходного уравнения. А. М. Ляпунов показал [35), что всякую систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно привести при помощи линейной подстановки к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Подробное исследование систем, которые могут быть приведены к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, содержится в работе Н. П. Еругина И9!. $ 7.6.
Устойчивость решений уравнений Хилла и Матье Возмущенное движение многих систем (см. $7.7) описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка —,, + р (7) х = О, (7.73) где р (1) — периодическая функция периода Т. Разложим функцию р (1) в ряд Фурье р (7) ==~- + 5 ' (А„соз — 1+ Вт з1п —" 7) . (7.74) Ьси 240 гл. тгг.
кстоичивость нвлвтономных систнм Теперь уравнение (7.73) принимает вид Вез Г Ао % 1 / 2як 2як — + ~ — + т (А„соз — г + Вгз1в — ?Ц х=О. шз 1 2 т Т (7.75) Уравнение, записанное в такой форме, впервые рассматривалось Г. В. Хиллом (О. '14Г. НП1) при исследовании движения Луны. Для наших целей уравнение Хилла удобно записать в следующей форме: —,, + ?6 + еф (г)) х = О, (7.76) где 6 и е — некоторые параметры, а ~р (г) — периодическая функция периода Т.
Функцию ф (г) называют функцией возбуждения, а ее частоту ю = 2п?Т вЂ” частотой возбуждения. Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение х = О, х = О можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = О и 6 ) О, движение устойчиво, а при е = О и 6 ( О зто движение неустойчиво. 1?озтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом: в плоскости параметров 6 и е найти области устойчивости и неустойчивости невозмуи?еннозо движения х = О, т, = О.
Установим прежде всего некоторые общие свойства решений уравнения Хилла. Положим х =-х„х =хе. Тогда одно уравнение (7.76) будет зквивалентно двум уравнениям первого порядка х, = хГо х, = — (6 + с~у (Г)! хы (7.77) Напишем матрицу козффициентов атой системы (см. (7.47)): р(г)=)! о „' !. Следовательно, ры — — р„= О. Пользуясь формулой (7.72), найдем а, = ?. Согласно равенству (7.71), характеристическое уравнение запи1пется в виде р~+ар+? =О. (7,78) Козффициент а нам неизвестен и для его определения необходимо знать фундаментальную матрицу решений.
з 1в. Рювенпя уРАВпений хнллл н МАтье 24! Так как найти эту матрицу в замкнутой форме мы не можем, то для определения области устойчивости в плоскости параметров б и е воспользуемся следующими соображениями. Согласно формуле Виета произведение корней р, и р, уравнения (7.78) равно единице р1 ра 1' Решим уравнение (7.78), считая коэффициент а известным а 'зе аа р1л — — — — -+ — — 1. 2 — У 4 Рассмотрим возмояеные случаи.
1. ( а ( 2. Оба корня уравнения (7.78) будут вещественными и различными. Так как их произведение равно единице, то один из корней будет по модулю меньше единицы, а второй больше единицы. Из этого следует, что при ! а ( > 2 движение будет непериодическим и неустойчивым. 2.
)а)(2, Тогда а т/ аа Р л — —,-!- 1 — — 1, где ! = )/ — 1. Иорни получились комплексные. Найдем модуль этих корней: 1""=)~(-+)'+ (ь)1е-,)'= ' Модули корней оказались равными единице, а сами корни различны. Поэтому при ( а ) ~ 2 движение будет устойчивым. 3.
а =- — 2. В атом случае р, =- р, = +1. Как было показано в конце з 7.5, одному из этих корней будет отвечать периодическое решение периода Т. Можно показать (мы не будем останавливаться на этом), что второму корню отвечает возрастающее реп!ение (корни кратные не только относительно характеристического уравнения, но и относительно элементарных делителей). Движение будет неустойчивым, но существенно, что имеется периодическое решение периода Т.
4. а = +2. Нри этом условии р, =- р, = — 1. Одному из этих корней будет отвечать периодическое решение периода 2Т (движение, как и в случае 3, неустойчиво). 9 Д. Р. Мерина 242 гл. тш Устойчивость квхвтономиых снетки Таким образом, движение будет устойчиво только при ) а ( ( 2. Коэффициент а уравнения (7.78) при данном периоде Т возбуждающей функции ф (1) зависит, в конечном счете, от параметров 6 и е. Предположим, что коэффициент а = а (6, е) найден. Тогда границей области устойчивости на плоскости 6, е будут служить уравнения а(б,е) = ~2. (7.76) Из случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений 6 и з, удовлетворяющих уравнениям (7.70), существуют периодические решения периода Т и 2Т, Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла.
Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами (7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме: х(г) = Сгс"'~р (1) + С.е"Ар (1). (7.80) В этом решении С, и С, — произвольные постоянные интегрирования, ~р, (1) и ~рт (1) — некоторые периодические функции, период которых равен периоду Т возбуждающей функции ф (1), а а, и и, — характеристические показатели, определяемые равенством (7.68): 1 а,.—..—.- — „1е р„а = — „1в рм Т ' -'=1 где р, и р, — корни уравнения (7.78). Рассмотрим сначала область неустойчивости, в которой ~ а )) 2.
Как было установлено, при этом условии корни р, и р, характеристического уравнения (7.78) вещественны и различны. Предположим, что оба корня положительны (случай, когда р, и р, отрицательны, не вносит ничего принципиально нового). Обозначим через р, = = р больший корень. Тогда, учитывая, что произведение корней равно единице, будем иметь 1 р,>1, р,= — «. р~ Отсюда 1 1 1 1 а=-а~= — 1врт)О а:= — „1прз= — „1и — = — а(0. г - ' т - г р, 5 7л Решения РРАВнении хиллА и мАтье 24З Общее решение (7.80) можно записать теперь в следующей форме: е (7) = С, "' р, (7) + С, '~рз (7).
(7.81) Так как решение е (1) является вещественной функцией, то произвольные постоянные Сг и Сю а также периодические функции ~р, (г) и е7, (г) должны быть вещественными величинами. Второе слагаемое в равенстве (7.81) быстро затухает (а ) О) н практически можно ограничиться первым членом е (7) = С,е 'р, (7). (7.82) ыз этого решения видно, что максимальные значения (амплитуды) функции е (г) возрастают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой равен е'т =- = р ) 1.
Примерный вид графика решения (7.82) показан Рас. 7.С на рис. 7.6 (этот график зависит от вида периодической функции ч7, (г), которая, как правило, нам неизвестна). Рассмотрим теперь аналитический вид решения уравнения Хилла (7.76), отвечающего значениям параметров е и б из области устойчивости. Как было установлено, в этой области оба корня р, и р, уравнения (7.78) — комплексно-сопряженные числа, причем ) р, ) = ) р, ) =- 1.
На основании определения логарифма комплексного числа будем иметь (р, = р) 7 а'л- г ()п~р~-+7агйр) или, учитывая, что 1в ( р ) = 1п 1 = О, е, Ь аг =- — „1, а7 ==- — — 7, Т ' Т (7.83) 244 ГЛ. У11. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ где (7.84) й=- )агар(. ~е ~1 А ( — 1 тшео)1 — ( — Н- Кис) х(4), у(Г) [а~т ' .~ е т Пользуясь известной формулой 2 ( + )=-соз", н получим х(Г) .—.Ау(~)соз ~ —,Г+ У(г)+ ~~ (7,86) х(1) =-.
)1(1)соа( —,, 1+ ~) + 11(Г)з1п ( — „Г+ ~), (7 87) или где функции р (1) и 11 (1) определены равенствами )А (Г) =- Ау (Г) соз У (Г), ц (~) = — Ау (Г) з1Н т (Г). (7,88) В общем решении(7.86) или (7.87), отвечающем области устойчивости, постоянные вещественные числа А и р определяются из начальных условий движения, а у (Г) и у (1) или )1 (1) и ц (1) — вещественные периодические функции, период Т которых равен периоду возбуждающей функции ф (1).
Как правило, функции 7 (~) и т (~) (тем самым и функции р (1) и ц (1)), а также число )е = ) агя р ( определить в замкнутой форме мы не можем, так что равенства (7.86) и (7.87) определяют только форму решения уравнения Хилла, а не само решение. Однако из этих равенств мы можем составить общее представление о характере устойчивых решений уравнения Хилла. Действительно, из равенства (7.87) видно, что общее решени1 Гак как а1 и а, — комплексно-сопряженные числа, а решение х (Г) является вещественной функцией, то постоянные интегрирования С, и Се, а также периодические функции 1р1 (8) и 1ре (~) должны быть комплексно-сопряженными величинами.
Представим их в показательной форме С1=- —. Аеа1, С =- —, Ае З1„ 2 ер, (г) =. 7 (г) е'1О', 1р, =- 7 (1) е-'1'и. (7,85) Внося выражения для а;, С, и 1р1 в равенство (7.80), най- дем з 7.6. Решения уРАВнениЙ хиллА и НАтье 245 представляет комбинацию периодических функций с пе- 2я риодами Тд = Т и Т„= — Т. Если периоды Т, и Т, = й несоизмеримы, то устойчивое решение уравнения Хилла не является периодической функцией времени. Если >ке отношение Т, Тд 2я представляет рациональное число, то устойчивое решение уравнения Хилла является периодической функцией.
Из равенства (7.86) можно составить и общее представление о графике устойчивого решения. Для случая, когда Т, (~ Т, (й <= йл), примерньдй график решения (7,86) Рис. 7,7 изображен на рис. 7.7 (он напоминает график колебаний при биении). Заметим, что колебания системы, вызванные возбуждающей функцией, называются параметрическими колебаниями. Покажем теперь метод определения границы области устойчивости на частном, по имеющем большое значение случае, когда разлондение (7.74) функции р (д) в ряд Фурье содержит только два периодических слагаемых самой низкой частоты, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
