Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 45
Текст из файла (страница 45)
0 4 или, ограничиваясь членами не выше второго порядка малости, 4а,е' + 2е' = О. Отсюда находим 6 Аналогично найдем и, и 6",~: 12 ' ~ + 1А н1 з з Можно показать, что если придерживаться прияятой точности, то вычисления с помощью определителей более высокого порядка не внесут улучшения в найденные значения а, и аз. Это следует из очевидного равенства, получающегося из определителя (7.96) для конечного п при раскрытии его по элементам последнего столбца или строки: А„= [6 — (и — 1)') А„1 — — А,, Поэтому будем считать, что при малых е два решения уравнения (7.98) определяются равенствами: 6 =- — —, 6 =-- 1 + — е'.
(7.102) Аналогично получим решения уравнений (7,97)— (7.99): причем улучшить эти результаты за счет повышения.порядка определителей нельзя, если только вычисления вести до первого члена, содержащего е. На рис. 7.9 показаны области устойчивости для малых з. Если в систему ввести демпфирование, то уравнение (7.89) примет вид — + 2Л вЂ” +(6+есозт)х=О, (7.104) Н~л Нз где 6)0.
25Т Гл. Т!1. устоячивость неАВтОнОмных систем С помощью подстановки х=-з "г (7ЛО5) приведем уравнение (7Л104) к виду —, + (6 — 6'+ зсозт)г=О. (7ЛОО) Это уравнение совпадает с уравнением Матье (7.89), если положить 6, =6 — Й'-, Предположим, что при заданных 6, Ь, с уравнение (7ЛОО) определяет устойчивое движение относительно г. гг Тогда, согласно равенству (7Л05), движение будет асимптотически устойчиво относительно переменной г. $ 7;7. Примеры исследования устойчивости систем с параметрическим возбуждением Параметрические возбуждения встречаются во многих системах. Так, например, они возникают в системах, на которые действуют псриодичесни изменяющиеся силы (см. пример 1), при периодически изменяющейся жесткости упругих элементов системы, при качке судов [71, при вращении валов с различными л1оментамв инерции и т.
п, Большое значение имеют рассмотренные в этой главе методы при исследовании устойчивости периодических колебаний нелинейных систем. Мы ограничимся рассмотрением двух простейших при- меров, я 7 7. системы с плгаыетрическим ЕОзеужденпем 255 Пример1.Влияние вибрацпп точки кодвеса н а устойчивость равновесия маятника. Пусть материальная точка М массой т укреплена иа конце стержня, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О.
Очевидно, что такой маятник имеет два положения равновесия: нижнее устойчивое и верюгее неустойчивое. Иссйедуем влияние колебаний точки подвеса О на характер равновесия маятника. Рассмотрим сначала влияние горизонтальных колебаний точки подвеса О на устойчивость нижвего положения равновесия маятника (рис. 7.10). Присоедиииы к силе тяжести маятника тх переносную силу пнерцяи Ф, = — ту, где з = х(1) — вакон движения точки О. Воспользуемся теоремон об измене- ) нии момента количества движения относительно оси вращения маятника (массой стержня пренеброгаем): а' — (о~)з<р) = — ~ал1 Мп ю — тз1 сов зр.
Ф Вудом считать, что точка подвес» маятника колеблется по гармоническому закону х = а сов юг. Тогда для малых углов последнее уравнение примет вид д аюз Ф+ 1 Ч'= — 1 сов юс Рис. 7,10 Это уравнение обычных вынужденных колебаний системы, находящейся под действием возмущающей силы (аюз(1) сов юг. Резонанс возиожен только при совпадении частоты возмущаюп1ей силы с частотой собственных колебаний, равной р' Е(1, т.
е. при Рассмотрим теперь влияние вертикальных колебаний точки подвеса на устойчивость нижнего равновесного положения маятника (рис. 7Л1, а). Присоединим к силе тяжести маптанка тд переносную силу инерции Ф, =- — тд где у = а сов ом — закон движения точки О но вертикали, н снова воспользуемся теоремой об изменении момента количества двпжения относительно оси вращения вгантиика Н (т)в~р) =- — т (а .
У) 1 в)п й, илп, считая угол 1р малым, I Л ей зр+ ( — + а — сов ю1) ю = О. Для того чтобы привести ото уравнение Матье к канонической форме (7.80), положим юв= с. 286 ГЛ. 1'1!. УСТОЙ'1ПВОСТЬ Е!ЕАВТОНОМПЫХ СИСТЕМ После очевидных преобразований получим — + ) — + — соэ т) 17 = О. (7.!07) Сравнивая это с уравнением (7.89), находим б = д/()юз), е = а/й (7П08) Параметрический резонанс при малых е наступает вблизи значений б = йз/4, где й — целое положительное число. Поэтому у/// ту' /У/,и а/ Рис.
7.И прн частоте вертикальных колебаний точки подвеся, близких к значениям ы == 21л )/ Х/) (и -= ), 2, 3,...), устойчивое нюкнее положение маятника сделается неустойчивым. Отметим, что обычный резонанс будет только прн частоте ы = = 7/бП, в то время как параметрический резонанс наступает вблизи частот 2р'Х/1, р/'у/), з/ )/'Г/), 1/.
~l'Х/), — +) — — з -1- ) соз т)Т вЂ”.— О. Проведенный анализ показывает, что устойчивость нюкнего положения маятника может быть разрушена вертикальными колебаниями точки нодвеса. Рассмотрим теперь, нельзя ли с помощью тех >ке колебаний стабилизировать верхнее неустойчивое положение маятника. Для получения дифференциального уравнения малых колебаний маят-' нш1а около верхнего положения равновесия достаточно в уравнении (7 107) заменить Х на — йч 9 7.7. системы с пдвяметвпчГским ВОзвуждГ1М1ем 257 Теперь 6 = — Л/(/1оз), г.
=- аП. Вудеы считать, что амплитуда а колебаний точки подвеса мала по сравнению с длияой маятника й Тогда е ( 1, и можае использовать диаграмму, изображенную яа рис. 7.9,.Из этой диаграммы видно, что для стабилизации верхнего положения маятпика при отрицательном 6 точка М с коордвватами 6, е должна находиться выше параболы 6 = — зэ/2 и ниже прямой 6 = 1/4 — е/2, т. е. должны выполияться неравенства 1/2 — 26 > с > Р— 26.
Внесем в это двойпое иеравопстео значения 6 и е; Л а 1,, à — +2 — » — 1/' 2 —, 2 . )юз 1 - У йе'' или, пропаводя простейшие преобразования, (ю д 2 + 1е >ею>7/ При а 41 леван часть неравенства выполняется всегда и остается только правая часть, которая означает, что верхнее неустойчивое положение маятпика можно стабилизировать высокочастотными колебавиями точки подвеса при условии, что ее максимальпая скорость аю превышает скорость свободпого падепия маятника с высоты, равиой его длине (Г' 2л(). Впервые это свойство было установлено П.
Л. Капицей (23). Пример2.Исследование устойчивости пулевого решения уравнения Хилла при нара- метрическом возбуждении ко закову квазипрямоугольпого синуса. Рассмотрим простейшую Рпс. 7.12 систему, уравпепие возмущенного движения которой оппсываотся уравпепием Хилла (7.70) й + [6+ еф (с))х = 0 (7П09) с функцией возбуждения ф (1), измепяюп1ейся по закону квази- прямоугольного сипуса (рис.
7.12). Период Р функции возбужде- 258 гл. уы. устойчивость пклвтопоьспьсх сссстем а для второй частк периода й + (й — е)х = о (т, ( с ~ т). (7АИ) Рассмотрим сначала уравиепие (7.ИО). Полагая, нак и прежде, хс = х, хз = х, мы сведем уравнение (7.ИО) к системе двух уравнений первого порядка г = — й'х, (О~ с~( т) (7.И2) где й,' = йз + с. (7. ИЗ Система (7.И2) решается элемептарио, Два линейно независимых решения етой системы, удовлетворяющих условиям (7.55), будут 1 хм = й е1в й~с г хп = соз й,с, (7. И4) хм = — й, з)п й,с, хм = соз йсс (напомним, что первый индекс означает номер функции, второй— помер решения), Таким образом, иа первой части периода фундаментальная матрица решений (7.51) принимает вид 1 соз й,с — з1п й,с 1 ~ — й, з(п й,с соз й,с Очевидно, что Х (О) .=- Е (условие (7.55)).
Перейдем ко второй части периода Т, ~ С ~ Т. Уравнение (7.И1) при прежней подстановке перейдет в систему вида (7.И2) с заменой йз = й'+ е иа й,' = й' — з: 1 3 хс =,тю сз = — й.;хс (Тс ( С ~С Т). (7.1 10) иия ф (С) складывается из времени Т„когда функция ф (С) равна +1, и времени Тю когда ф (с) =- — 1. Прн Тс = Тз имеем обычный прямоугольный синус. К уравнению (7.109) сводится, в частности, изучение систем, жесткость которых периодически изменяется с помощью релейного устройства. Для нас зта задача представлиет интерес ие только потому, что ее решение может быть использовано для анализа устойчивости движения конкретных систем, но также потому, что иа нев будет покааано построение для одного периода [О, Т) фундаментальной матрицы решений Х (с), удовлетворяющей условию (7.55), костроеиие матрицы А = Х (Т), характеристического уравнения (7.64) н определение условий устойчивости решейкя х = =О, х=о.
В ураввешси (7.109) число е равно глубине пульсации, а число 6 равно при 6 > 0 и е = 0 квадрату частоты й собственных колебаний, т. е, 6 =-- й'. Совместим начало отсчета времени с с началом какого-либо периода Т. Тогда для порвой части периода 0 ~( с ( Т, уравнение (7.109) принимает вид й + (й' + е) ° = О (О ( С ( т,), (7.ИО) 6 7.7.
системы с пАРАметРи'1еским ВОЭБУждениез! 259 В общем решении этой системы хг = С, соя йз (7 — ТВ 7Р Сз я1ц йз (! — Тг), х = — йзС1 юп й, (! — Т,) + ЙзСз соя йз (/ — Т,) (7,И7) подберем постоякиые интегрирования Сз и Сз тав, чтобы оио определяло первое частыое решение. Для этого решение (7.И7) должно совпадать с решением хг„хзг иа (7.И4) при ! = Т,. Имеем соя Й1Т1 = С1, — йг яш йгТ1 = Й,С . Подставляя зыачеиия С, и С, из этих равенств в (7.И7), найдем первое частиое решение уравяеыий (7,И6) иа втором участке пе- риода Т, ( г( Т (мы выписываем сразу второе частное линейыо независимое решение, ыолучеиыое аналогичным образом): йг хц = соя йгТ1 соя йз (! — Т1) — й я!и Й1Т1 з!и йз (/ — Т,), хи = — йз соз Й~Т, з!и йз (1 — 7',) — Йг з1п Й,7'1 соз йз (7 — Т,), 1 1 хгз =- — я1п й,Т1 соя йз (! — Т,) + — соя Й,Т, з!п йз (! — Т,), (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
