Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 46
Текст из файла (страница 46)
И8) Йг ' й, йз х = — з!пй т яш/сз(! — тг)+ соя йгтг соя йз(7 тг), й, Эти выражеыия определяют элементы фупдамеытальыой матрицы х (!) на втором участке периода т, ~( 7 ~( т. если в (7.и8) положить 7 = Т, то получии элемеитй матрицы А = Х (Т)— см. (7.61). Составим характеристическое уревиеыие (7.64), учитывая, что аг/ = хг/ (Т): хц (Т) — р хщ (Т) ! хз, (Т) хзз (Т) — р ( ~ =О. Подставляя в это уравнение значения хг; (Т) из (7Л18) и учитывая равенства йз =. й'+ е, йз = йз — е, Т вЂ” Т, = Т„иеяосредст- 1 вепиыми вычислениями вайдам рз+ар !-1=0, (7.
И9) где 1 а = 2( з!и Й1Тгвш йзТз — соз Й,Т1 соя йзТз~, (7.120) )/1 — рз 9 = е/йз = з/б. (7.121) В этом примере все коэффициенты характеристического уравнения получены с помощью непосредственных вычислеиий. Как и следует из общей теории уравнения Хилла, свободный член ураввеиия (7Л19) равен едииице (см.
(7.78)). Для того чтобы движение было устойчивым, веобходюш и достаточно, чтобы выполнялось перавепство ) а ) ( 2 (см. с, 242). В вашем случае условие устойчивости (цростой, ыо ые асимытотичсской) принимает вид 1 з!и Й,Т, я!и йзТз — соз Й,Т, соя йзТз~ (1. (7.122) )/1 Н 260 гл. уг1 устойчивость нкантспсмпьгх систнм Еслп все числа 6, е, Т, и Т, заданы, то проверить это условно не представляет труда.
Не останавливаясь на более подробном анализе неравенства (7.122), установим только условия возникновения параметрического резонанса при )з — — е/6 <~ 1. Пренебрегая в (7.122) всеми членами, содержащими р в степени выше первой (отметим, что число р входит в яг и йз), и учитывая, что параметрический резонанс для уравнения Хилла возникает уже ва гршшце области устойчивости (см. с, 241 — 242), получим ) соз (й, Т, + /гзТз) ) = 1. Отсюда й„Т, + йзТз = па (и = 1, 2, 3,...
). (7.123) Учтем теперь значения й, и й й, = )/ Р+ з = )г р' 1 + р, /гз =- р' йз — з = й рг1 — р. При р = з//гз = е/6 достаточно малом будем иметь " =-/г(1+г/зР) ' "з=/ (1 — '/з)г). Подставлян эти значении длн /гг и Усз в (7.123), найдем (Тг + Т, = Т) йт ( /,рй(Т,-Т,) = или, с точностью до главных членов, й ы =- 2 — (в = 1, 2, 3,...), (7.124) где ю = 2я/Т вЂ” частота пульсации, а й = ргб — частота собственных колебаний системы при отсутствии параметрического возбуждения. Из выражения (7.124) видло, что при достаточно малой глубине пульсации е параметрический резонанс наступает при бесчисленных значениях ее частоты еь Заметим, что выражение (7.124) для критических значений частоты пульсации цри параметрическом воабуждении по закону квазипрямоугольного синуса ве зависит от соотношения частей периодов Тг и Тз и что оно в точности совпадает с соответствующими значейиями критической частоты при параметрическом возбуждении но закону обычного синуса (косинуса).
Действительно, если уравнение Матье записать в следующей форме: з + (й' + е соз еп)х = О, где з — частота собственных колебаний системы при отсутствии параметрического возбуждения, то при переходе к безразмерному времеви по формуле ап = т мы получим каноническую форму (7.39) етого уравнении, в котором 6 =- /гз/оР. На с. 251 было показано, что при малом е критические точки длн 6 определяются равенством 6 = лз/4, или /гз/юз = лз/4, где и = 1, 2, 3,... Отсюда получим го = 2з/и, т, е. формулу (7.124). В заключение этого примера заметим, что условие устойчивости (7,122) справедливо и для случая, когда одно из чисел 6, 6 р е = = йз.
и 6 — з = й' илн зсе ови отрицательны. Для этого достаточно перейти от тригонометрических функций мнимых аргументов к гиперболическим функциям действительных величин. ГЛАВА ЧШ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ й 8,1. Введение В большинстве случаев системы автоматического регулирования представляют сложные устройства, состоящие иэ объекта регулирования и регуляторов. Назначение последних состоит в том, чтобы непрерывно поддерживать в объекте регулирования установившийся режим работы или режим, изменяющийся по заданному закону. Все отклонения от заданного режима, возникающие в системе регулирования, должны быть с течением времени сведены практически к нулю.
Иначе говоря, система регулирования должна быть асимптотически устойчива. Начиная с работ И. А. Вышнеградского, о которых рассказывалось во введении и третьем примере з 4.5, при исследовании устойчивости систем автоматического регулирования применяется метод линеаризации с дальнейшим использованием рааличных критериев (Гурвица, Рауса, Найквиста, Михайлова и др.). Обоснованием этого метода служат теоремы Ляпунова об устойчивости двиясения по уравнениям первого приближения (см.
4 4.3). В 1944 г. появилась небольшая заметка А. И, Лурье и В. Н. Постникова (34), в которой для исследования устойчивости движения конкретной системы автоматического регулирования был применен прямой методЛяпунова. Устойчивость рассматривалась в целом, т. е. при лзобых начальных возмущениях и любой нелинейности сервомотора, подчиненной некоторым условиям (такая устойчивость получила название абсолютной устойчивости). В дальнейшем А.
И. Лурье в ряде работ развил идеи, заложенные в первой публикации, построил функцию Ляпунова для общего случая, охватывающего весьма широкий класс регулируемых систем, и получил систему алгебраических уравнений, решение которой определяют достаточные условия абсолютной устойчивости.
В монографии [33), опубликованной в 1951 г., А. И. Лурье довел применение прямого метода Ляпунова к исследованию ЕЗ2 гл. Тш. системы Автомхтпческого Регулиговхния абсолютной устойчивости регулируемых систем до хорошо разработанного алгоритма. Результаты, полученные А. И. Лурье, послужили отправной точкой для дальнейших исследований абсолютной устойчивости. В этой работе приняли активное участие ученые различных стран. Не имея возможности упомянуть всех авторов, отметим прежде всего работы советских ученых А. М. Летова (3[], Е.
А. Барбашина [5, 6), М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [2], В. А. Якубовича [50, 5$, 52, 53], работы американских ученых Р. В. Калмана [55], Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца [29, 32], румынского ученого В. М. Попова [43]. Последнему принадлежит введение частотных методов в исследоваяие абсолютной устойчивости, позволивших расширить класс рассматриваемых систем. Учитывая характер настоящего руководства, в этой главе мы кратко изложим основные идеи и результаты А. И.
Лурье. й 8.2. Дифференциальные уравнения возмущенного движения систем автоматического регулирования Во многих случаях система автоматического регулирования состоит из объекта регулирования, чувствительных элементов (измерителей), суммирующего прибора, сервомотора и механизма обратной связи. Структурная схема такой системы изображена на рис. 8.1. Под регулятором понимается совокупность измерителей и суммирующего прибора; иногда в регулятор включают и сервомотор с механизмом обратной связи. Параметры, характеризующие состояние объекта регулирования при нарушении устаяовившегося режима работы, замеряются чувствительными элементами (измерителями), показания которых вместе с сигналом Ь механизма обратной связи подаются на суммирующий прибор.
Последний вырабатывает команду а, управляющую серводвигателем, который в свою очередь устаяавливает в надлежащее положение регулирующий орган объекта регулирования и воздействует одновременно на механизм обратной связи. Обозначим через х„ ..., х„ параметры, характеризующие состояние объекта регулирования, а также координаты и скорости чувствительных элементов. З 8 х уРАВнения Возмущенного дВижения 883 Будем считать, что изменение этих величин при разпмкнутой цепи (отключенвом серводвигателе) описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами йз = ~~~~~ ал х1 (й == 1, ..., и).
При замкнутой цепи на изменение величин х„..., х„ будет влиять регулирующий орган. Обозначая через Рвс. 8.1 параметр, характеризующий положение последнего, и учитывая предположение о линейности системы, получим днфференпиальные уравнения объекта регулирования н чувствительных элементов при включенном серводвигателе: хл=- Х алзхз+ Ьлз (Й==-1,..., и). (8.1) 1=-л В конкретных системах некоторые из коэффициентов аьт и Ь, будут, конечно, равны нулю, в частности, в уравнениях, соответствующих чувствительным элементам, постоянные Ьл = О. Будем считать, что механизм обратнойсзязи осуществляется с помощью жесткого выключателя. В этом случае выходная величина ь механизма обратной связи будет пропорциональна его входной величине 264 Гл.
Рпь спстГмы лвтОМАТП'1яскОГО РеГГОПИРОВАппя Суммирукпций прибор, складывая показания чувствительных элементов, дает на вход сервомотора величину а=-,~~ с;х; — г$, (8.3) 1=1 где с; и г — передаточные числа. Передаточное число г называется коэффициентом обратиой связи. В разумно построенной системе регулирования коэффициент обратной связи положителен, т, е. Рис. 8.2 г О.
При отсутствии механизма обратной связи г = — О; кроме того, передаточные числа сгь соответствующие параметрам объекта регулирования, также равны нулю. Связь между входной величиной а серводвигателя и его выходной величиной в случае непрямого регулирования выражается зависимостью 4 = 1(а), где функция) (а) называется характеристикой сереомотора. Характеристика сервомотора может быть линейной, но значительно ча1це она носит нелинейный характер. На рис. 8.2 показаны некоторыв типичные примеры нелинейности функции / (а). Характеристики а и 6 непрерывны, а другив две разрывны. В дальнейшем будем предполагать, что характеристики ) (а) удовлетворяют следующим условиям. 1.
Функция ~ (а) определена и непрерывна при всех значениях а; 2. ) (О) = О; е 8 з углвнения возмущенного движвния 265 ~ г(о)е(а, ~ ~(а)е(а (8.5) расходятся. Характеристики типа б и г имеют зону нечувствительности (в промежутке (ам аг) значения функции Г (о) равны нулго при о ф= 0). Анализ решений и устойчивости систем, дифференциальные уравнения которых содержат функции с зоной нечувствительности и разрывной нелинейностыо, нельзя рассматривать в рамках общей теории. Они требуют специального исследования, выходящего за рамки настоящей книги.
Второе и третье условия не требуют пояснения. Заметим только, что третьему условн1о не удовлетворяют характеристики с зоной нечувствительности, так как произведение а) (о) равно нулю во всем промежутке (о„оз), где о имеет значения, отличные от нуля. Последнее, четвертое, условие практически всегда выполняется. Действительно, геометрически это условие означает, что площадь под характеристикой неограниченно возрастает при а — э оо. Так как участки характеристики, параллельные оси а, для реальных сервомоторов неограниченно продолжаются вправо и влево (эти участки практически образуются за счет того, что орган, управля1ощий сервомотором, ложится на упоры), то четвертое условие фактически реализуется всегда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
