Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 50
Текст из файла (страница 50)
пегедлточиые Функции 287 Исключив из этих равенств переменные х„..., х„ и выразив о через и, придем к формуле о= »у'(р)и, (9.2) где (! (Р) Р' (Р) ' (2„(Р) (9.3) Здесь г,! (р) и ()„(р) — полиномы относительно р степени т и п соответственно. Очевидно, т ( и и ф, (р) является характеристическим многочленом однородной системы, получающейся из (9Л) при и =- О. С! Г $ !б е,! д;! Рис. 9Л Дробно-рациональная функция гу' (р) называется передаточной 9!уивцией системы (9Л) от «входа» и к «выходу» о.
Это название вытекает непосредственно из равенства (9.2): передаточная функция И'(р) передает (преобразует) «вход» и в «выход» о (рис. 9Л, а). Заметим, что для определения передаточной функции не надо предварительно приводить систему к виду (9Л), разрешенному относительно производных. Если с2«стема содержит производные вылив первого порядка, то для вычисления передаточной функции надо заменить Ы !йГ на р". где а„;, Ьа, с! — постоянные коэффициенты, и — некоторая заданная функция времени. Будем называть функцию и «еходом» системы, а функцию о «еыходом» системы. Заменив в системе (9Л) формально оператор !»/!»» на р, получим соотношения »>ха=- ~з оа>х~ + даи (и —.
( и) ! ==! гп тх, ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ Пример (. Найдем передаточную функцию от «входа» и к «выходу» т в уравнении х + Зх = — и. Заменяя г на рх, получим рх + Зх = и. Следовательно, передаточная функция имеет вид Н(, + З). Пример 2. Найдем передаточную функцию от «вход໠— 7 к «выходу» а в системе тф+ ф = — ьз, 4=у, (9А) а =. с«»9 ( с«ф — г«, где Т, 7«, с„с, г — постоянные. Делая элементарные выкладки,, последовательно найдем (Тр» + р)ф = — 7«ь, рь = Л а = (с,р + с»)ф — г$. Отсюда 7« й й Е ф Тр+р» р(Трэ+ ) 7«(с«р+с») г 1 )игр+7«с»+Тгр +гр Тр»+ р«р ) г = р»(Тр+1) — --,1 =- Следовательно, лакомая передаточная функция вмеет внд Тгр' + (7«с, + г) р + 7«с» (Р) =- «(Т (9. 3) Покажем, что передаточная функция не изменяется при линейном преобразовании системы. Для этого запигцем уравненин (9А) в матричной форме — =-- Ах+ Ьи, а=с'х, Зх Й (9.6) где А — квадратная постоянная матрица, Ь вЂ” постоянная матрица-столбец, с' — постоянная матрица-строка, х (() — матрица-столбец, и — скалярнан функция.
Найдем передаточную функцию от «входа» ( — и) к «выходу» а. Введя оператор р — -- «лгс»т и единичную матрицу Е, последовательно получим рх — --Ах + Ьи,х:= — (А — рЕ) 'Ьи, а =- — с' (А — рЕ) ' Ьи. Следовательно, передаточная функция для системы (9,6) будет Иг (р) =- с' (А — рЕ) »Ь. Сделав в системе (9.6) линейное преобразование х =- = Лу, где Л вЂ” квадратная неособенная постоянная матрица, получим Лу =АЛу+Ьи, а=с'Лу, Отслода 5»л, пеРедАтОчные Функции у == Л 'АЛу + Л 'Ьи„о =- с'Лу. (9.8) Полагая у =ру и выполняя последовательно очевидные преобразования, получим у= — Л '(А — Ер) 'Ьи. Теперь находим а=..
— с'ЛЛ л(А — Ер) 'Ьи == — с'(А — Вр) 'Ьи. Из этого равенства видно, что передаточная функция преобразованной системы (9.8) равна передаточной функции Иг(р) исходной системы, иными словами, передаточная функция инвариантна относительно линейного преобразования, Если в передаточную функцию (9.3) подставить р = ио, где 1 = уг — 1, а ел — вещественное число, то получим функцию И'(ив), называемую частотной характеристикой системы (9.1).
Функция И'(1вл) имеет простой наглядный смысл, Действительно, пусть «вход» и (г) представляет воз- 6 Х мущение, изменяющееся по т=- т=д и гармоническому закону. Представим его в комплексной форме и = ге'"', где г — амплитуда возмущения, а г'ис. 9.2 еоы — комплексный гармонический сигнал частоты ье Подставим это значение для и в равенство (9.2), заменив в нем предварительно р на 1«л. Имеем о = И' (1ы)ге'"'. Равенство (9.2) можно рассматривать как дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (9А). При гармоническом возмущении частное решение этого линейного уравнения будет определять вынул<денное колебание той же частоты «л, но другой амплитуды В прн сдвинутой фазе (предполагается, что знаменатель передаточной функции (9.3) не имеет корней, равных ы).
Из этого следует, »то «выход» о можно представить равенство»~ а =- Ве'<""+«>, гл »х члстотньяв ма»оды где «9 — сдвиг фазы, Сравнивая полученные два выражения для «выходю> о и представляя частотную характеристику в следующей форме: И'((ю) = ) И'((ю) ! в'э"в»т, получим х( = ) И~ ((ю) ( г, <р = агн И~ ((ю). Таким образом, модуль частотной характеристики равен отношению амплитуды вынул«денного колебания на «выходе» системы к амплитуде гармонического возмущающего воздействия па ее «входе», а аргумент частотной характеристики равен сдвигу фазы вынужденного колебания. Выделим в «г' ((ю) вещественную и мнимую части: Иг((ю) = и (ю) + (и (ю). (9,9) На плоскости (и, о) при изменении ю конец вектора И' ((ю) описывает кривую, представляющую собой годограф частотной характеристики (она называется также амплитудпо-фаза«ой характеристикой системы).
Для примера 1 нмеем (с. 288) 3 — и» (р (и«) = —. и»+ 3 вэ+ 9 Поэтому 3 (О «э«+ 9' " (~) «»э+ 9 н годограф частотной характеристики прн нзмененнк «» от О до + ии представляет полуокружность, нзображенную на рнс. 9,2 Действнтельно, исключая нэ последних равенств параметр «1, по- лучнм (и — е) +»«=(о) . 9 9.3. Критерий Найквиста устойчивости линейной системы Положив в системе (9Л) и = — )со, где й — постоянная, получим однородную систему и и фи= Х аагг )сиьи Х с«х, (а = 1, ..., и), (9.10) )=ь которую, в отличие от разомкнутой системы (9.1), называют замкнутой. Если система (0.1) схематично изображается рпс. 9Л, о, то замкяутой системе (9 10) соответствует рис.
9Л, б. 291 5 вл. кгитвгия найкяистх Попытаемся выяснить,при каких значениях параметра й. замкнутая система (9ЛО) асимптотически устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, лежат в левой полуплоскостн. Например, для асимптотической устойчивости уравнения (9.И) х+Зх = — Йх необходимо и достаточно, чтобы й > — 3. Действительно, в этом случае корень — (Й + 3) характеристического а) Рвс. 9.9 уравнения будет отрицательным.
Для систем более высокого порядка поставленный вопрос не тривиален. Ответ на него и дает критерий Найквиста. Оказывается, об асимптотической устойчивости замкнутой системы (9.9) можно судить по поведению частотной характеристики И' (1ы) разомкнутой системы (9Л). Ограничимся случаем, когда полипом О„(р), стоящий в знаменателе передаточной функции (9,3), имеет все корни в левой полуплоскости, т.
е, разомкнутая однородная система асимптотически устойчива. На плоскости и, о построим вектор Л, выходящий из точки ( — 1/1с, О) и оканчивающийся в точке (и (ы), о (ы)), лежащей на годографе частотной характеристики. При изменении ы угол ф между этим вектором и осью абсцисс будет меняться. Критерий Найквиста утверждает, что для асимптотической устойчивости замкнутой системы (9,10) необходимо и достаточно, чтобы приращение Лф угла ф при игменении ы от 0 до +со равнялось нулю.
На 9.3, а, очевидно, Лф = О, а на рис. 9,3, б Ьф = 2я. 292 гл. тх, чхстотньтк методы $ 9.4. Частотные критерии абсолютной устойчивости систем с непрерывной нелинейностью Рассмотрим систему па>хт + т'аи (м = 1,..., и), лт ,? з=т и=. — тр(ст), и о= ~з схя (9.12) где тр (а) — непрерывная функция, удовлетворяющая при о чь 0 условию (9Л3) а ас;, (тк, с — постсянные коэффициенты, Для частотной характеристики, изображенной на рис. 9.2, Ьтр = О, если точка ( — 1%, 0) лежит вне диаметра полуокружностн, и Ьтр = я, если эта точка лехтит на интервале (О, 1/3).
Таким образом, для асимптотической устойчивости уравнения (9Л1) необходимо и достаточно, чтобы — 1 От ( 0 либо — 1ттт,> 1!3. Отсюда получаем неравенство тт ) — 3, установленное ранее нз элементарных сообраткений. Доказательство сформулированного критерия Найквиста можно найти в книге Е, П, Попова (44]. То обстоятельство, что устойчивость замкнутой системы (9.10) определяется по годографу частотной характеристики разомкнутой системы (9.1), является сильной стороной критерия Найквиста. Недостатки этого критерия состоят в том, что он требует реального построения годографа частотной характеристики системы (9.1), что в свою очередь требует знания численкых значений всех коэффициентов передаточной функции.
Таким образом, критерий Найквиста дает возможность проверить устойчива или неустойчива рассматриваемая система при выбранных численных значениях коэффициентов, но в общем случае с его помощью нельзя построить область устойчивости в пространстве коэффициентов. В следующих параграфах будут рассмотрены частотные методы, применимые не только к линейным, но и к нелинейным звеньям замыкания и свободные от этих недостатков. 9»л, чАстотные кРитеРии АБсОлютнОЙ устОЙчиВОсти 293 Условие (9.13) означает, что на плоскости (О, ~Р) график функции го = ~Р (о) должен находиться в секторе, ограниченном осью о и прямой ~Р =- йо (рис. 9.4), причем закон изменения функции ~Р .— — ~р (о) может быть любым, в частности оп может иметь вид, изображенный на рис. 8.2, а. Как видно, отличие системы (9.12) от (9.10) заключается в том, что (9 12) получается из системы (9.1) путем замыкания через ее нелинейное звено и = — ~р (и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
