Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Поэтому критерий Найквиста к системе (9.12) неприменим. Рас. 9.4 Вместо него для нелинейной системы (9.12) установлен следующий частотный критерий абсолютной устойчивости. Обозначим через И' (р) передаточную функцию системы (9.12) от «входа» ( — ~Р) к «вытоду» О. В зависимости от расположений полюсов ') передаточной функции И' (р) различают некритический случай, когда все полюсы лежат в левой полуплоскостя, а также критические случаи, когда имеются полюсы на мнимой оси.
Приведем без вывода основные теоремы, определяющие достаточные условия абсолютной устойчивости систем рассматриваемого класса при условии, что нелинейность непрерывна (доказательство можно найти в [2, 53)). Теорема 1 (некритический случай). Пусть выполнены следую и4ие условия: 1) нелинейная функция ~Р (О) удовлетворяет условию (9.13); 2) все нолюсы И" (р) имеют отрицательные вещественные части; г) То есть корасй яслмяома, стоящего в знаменателе И'(р). 294 гл, гх. члстотныи мвтодьг 3) существует таноевещественное число гг, ипо >гри. всех в ~~~ 0 выполнено частотное условие — + Ве ((1 + гвй) И' (ио)] ) О. (9Л4) Тогда система (9,8) абсолютно устойчива, Частотный критерий (9.14) допускает наглядную геометрическую интерпретацию.
Так как И'(гв) =- и (в) + + ги (в), то условие (9.14) равносильно неравенству — -]- и(в) — Ово(в) ь О. (9Л5) Построим видоизмененную частотную характеристику, изображающая точка которой определяется координатами и>=и Рис. 9.5 и (в), ви (в). Если ввести новую плоскость иг = и, о, = во и на этой плоскости построить годограф видоизмененной частотной характеристики при в ~ )О, то условие (9.14) означает, что должна существовать прямая 1>)с + и, — Оиг = О, проходящая через точку ( — 1>н, 0) и лежащая левее этого видоизмененного годографа (рис. 9.5). Частотный критерий (9.14) гарантирует абсолютную устойчивость системы (9.12) в том смысле, что начало координат устойчиво в целом, какова бы ии была непрерывная функция >р (и), график которой заключен в сектор (9ЛЗ).
В частности, будет устойчива в целом любая линейная система, получающаяся из (9.12) при г]> (о) = )гсг, 0 с:й ()с. й о о члстотпыв кгитввни авсол1отпои гстоичпвосттг 299 Теорема 2 (критический случай одного нулевого полюса). Предположим, что выполнены следующие требования: 1) нелинейная функция ор (о) удовлетворяет условию (9 13); 2) передаточная функция Иг (р) имеет один нулевой полюс, а остальные ее полюсы (если п ) 1) имеют отрицательные вещественные части; 3) р = 11пх ртер (р) ) 0 и существует такое вещесзпеенное число $, что при всех аз .в 0 выполнено частотное условие (9.14).
Тогда система (9.12) абсолютно устойчива. Теорема 3 (критический случай двух нулевых полюсов). Пуста выполнены следующие условия: 1) функция ор (о) удовлетворяет неравенству (9.13) при й = оо') и соотношению ~а ~ ~р (о) до = оо; о 2) передаточная функция имеет два нулевых полюса, а остальные ее полюсы (если и ) 2) имеют отрицатель ные вещественные части; 3) я = 1]ш рзИ' (р) ) О, р о р = Пш — ]рзИс(р)] ) О, е г-о ер п(ео)=ео1ш И',(ю)(0 при всех ю) О, 1пп п(ео)(0.
и О Тогда система (9.12) абсолютно устойчива. Прежде чем перейти к примерам, заметим, что крите- рии абсолютной устойчивости, установленные теоремами 1 — 3, косят аналитический характер и для. проверки ях не нужно строить годограф передаточной функции )т' (оео) н не нужно знать численные значения коэффициентов си- стемы (9.12). Поэтому с их помощью моя~но строить обла- сти абсолютной устойчивости, что нельзя сделать, даже для линейного звена замыкания, применяя критерий Найквиста. ') Случай в .= оо озяачаот, что сектор, изображеииый ва рис.
9.4, образован координатными осями о, у, т. е. полвоетыо заполняет первый и третий квадранты, ГЛ. 1Х. «1ХСТОТЛЫЕ МЕТОДЫ 9 9.5. ПРимеРы Пример 1 (математический). Рассмотрим сначала чисто математическую задачу. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид тйл< + *л = хй <р (хй) тййй + хй = хл. (9П7) где т, ) 0 и т, ) 0 — постоянные времени, а функция <р (х ) непрерывна л удовлетворяет условию (9.13) при 7< = со. Найдем передаточную функцию от «входа» ( — <р) к «выходу» я = х,. Для етого введем прежде всего оператор р:=- <)7<)< и перепишем систему (9.17) в следующей форме: 4(т,р + 1)х, = хй — <р (хй), (ййр + 1)хй =- хл Рхй = хй.
Исключая из зтих уравнений х и хй, найдем Р т<тйрй+ (т, +тй) рй+ р+ 1 Следовательно, передаточная функция для данного примера равна (напомним, что «вход» равен ( — <9)) Р ар'+ ()рй+ р+ 1 где а —.— тлт„() = т, + т . Пусть ()) а. (9.18) Тогда, применяя критерий Гурвица (4.30), лайдем, что все пол<осы передаточной функции (корни ее знаменателя) имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, можно воспользоваться теоремой 1. Составим левую часть условия (9.14). Проведя несложные преобразования, последовательно получим (по условию й =- со) Ие ((1 + <юО) В' (<юЦ = (1 + люб) <ы олй [(О() — а) <ей+ (1 — О)] 1 — (' й+< (1 — й) (1 — (1 2)й+ й(1 й)й Для выполнения неравенства (9.14) пря всех ю > 0 необходныо и достаточно, чтобь< число О удовлетворяло условиям 0() — а ) О, 1 — О > О. Отсюда — <0~(1.
Такое О найдетоя ввиду (9.18), Следовательно, в <ллу теоремы 1 облаоть абсолютной устойчивости системы (9.17) определяется неравенство»< (9П8) плз, переходя к исходным коэффициентам, условием '< ) Ъ«'й. 1 9.5. пРимеРы На рис. 9.6 показана область абсолютной устойчивости системы (9.17) (она ограничена прямыми т, = О, т, = О и одной ветвью гиперболы тг -! тз == т,тз). Пример ул Исследование устойчивости самолета с курсовым автонилотоы, При регулировании курса самолета (объект регулирования) на нем устанавливаются два чувствительных элемента (Ч.Э.). Первыи (Ч.Э.1) представляет свободный гироскои — он измеряет отклонение самолета от курса (угол ф). ! 5+та=; гг Второй чувствительный элемент (Ч.Э.11) представляет гироскопический тахометр — он Оказать измеряет скорость изменения 1 а7)салютипй угла ф, т.
е. ф. С помощью потенциометров измеренные вели- йс'баии сагайии асти чины (ф и ф) вреобразуются и в соответствующие напряжения (7, в Г„которые подаются Р с. 9.6 ис. на усилитель (суммируииций прибор) (рис. 9.7). Усилитель вырабатывает напряжение (7, воздойствующее на электродвигатель. Последний с помощью редуктора поворачивает руль самолета (регулирующее устройство) яа угол $, в результате чего вмраввивается отклонение самолета от заданного курса. Одновременно Рис.
9.7 угол з поворота руля регистрируется механизмом обратной связи, который преобразует сигнал $ в напряжение (7;1 это напряжение подастся в усилитель — см. (44). Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного движения всей системы. Уравнение отклонения самолета от заданного курса в простейших предположениях имеет ввд Тф+ Ф= — й. Здесь Т вЂ” постоянная времени самолета, характеризующая его инерционность, й — постоянный коэффициент, характеризующий момент сил, создаваемых рулем, 298 гл.
гх. члстотнык ыктоды Чувствительные алемопты (гироскопы с потенциометрами) практически беэыиерционпы, и вырабатываемые пми напряжения Е1, и Пз пропорциональны иамеряемым величвналс ( 1 )ссф ба !сзф Будем считать, что механизм обратной связи жесткий. Это означает, что вырабатываемое им напряжение П, пропорционально углу $ отклонения руля: оз = йза. Усилитель, суммируя входящие в него напряжения, дает ва выходе напряжение П, определяемое равенством й451 + йв('с йв!'э где йв, йв н йв — коэффициенты усиления. Учитйвая значения 5гю !сс и (сз, получим 5г = сдф + сзф — 4, где с, = йвйв, св = йсйв, г = йзйв.
Электродвигатель с редуктором и рулем представляют мелинейный элемент, уравнение которого имеет вид э = г'(П). Перепишем полученные уравнения в виде системы, заменив предварительно бг на о: Тф+ ф= — йф, В = ( (о), о = ссф + сзф — га. Передаточнуго фумкцию от — ( к а для атой системы мы нашли в ! 9.2 (см. (9,4) и (9.5)); Тгрт -(- (йс, + г) р+ йсз И" (Р) = рз(тр+ 1) Она имеет два нулевых полюса, и, следовательно, можно восполь- аоваться теоремой 3. Подчиним коэффициенты системы условиям 2, 3 этой теоремы, После очевидных креобразованпй получим сс = Псп рзрр (р) = йс„ и. в с! р = 1!т — (рзИ' (р)] =.- г + й (с, — ссТ), и о йсз — гТюс -(- ее(йсс+ г) гТюз+ г+ й (с, — с,Т) (1+Т ) 1+ !!ш и(ю) = — г.
Я«ю Поатому условия 2, 3, теоремы 3 выполняются, если йсз ) О, г+ й (ст — сзТ) ) О, г ) О, (9.19) 9 а.а, пРимеРы Следовательно, рассматриваемая система абсогпотно устойчива нри выполнении неравенств (9И9), если нелинейность удовлетворяет условию 1 теоремы 3. На плоскости переменных Х = (о,Т вЂ” о,)й и г последние два неравенства (9Л9) обраауют ааштриховаиную область, изображенную на рис. 9.8 (условие йо, > 0 выполняется всегда). Пример 3. Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью. Сравннмчастотный метод исследования абсолютной устойчивости с методом А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
