Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 49
Текст из файла (страница 49)
'лл, л,) Легко видеть, что ато равенство можно представить в следующей форме: — Лд/()/г — — ') + Л ()/г — — ) = г(Л,— Лд) + еа — ед. л) в( л,)= (8.38) Два линейных уравнения (8.37) и одно квадратное уравнение (8.38) зквивалентяы двум квадратным уравнениям (8.33). Рассмотрим вначале случай, когда оба корня Лд и Лев комплексно-сопряженные числа. Введем новые переменные х и у, определив их равенствами )/г — — ' = х -)- ду, )Iг — — ' = х — ду. (8.39) 1 1 В новых переменных уравнения (8.37) и (8.38) примут вид 2ье гл. ч!!! системы Автомлтического РегУлиРОВИ1шя Теперь уравнения (8.40) примут свою окончательную форму 2х= )"г — Г, 2х= )Ре+ Г, (8.42) гг — х' =.
О, где вещественное число О определено равенством ! ! ее — е! Л е (Ле — Л!)е+ (ее — е,) (Ле — Л!) О= — — !!г+ ! -)- Ее Л Ле — Л! ) 4Л»Ле х= — ()/'е -)-Г). Внесем это выражение для х в последнее уравнение и ре- шим его относительно г'» ° =О+ —,' (р' ° -)-Г)'. (8. 44) Из етого равенства видно, что при О ) О величина гг будет положительна, а г вещественно. Это означает, что при О ) О система регулирования абсолютно устойчива. Рассмотрим теперь случай О ( О. Из равенства (8.44) видно, что для вещественности переменной г нун»- но потребовать, чтобы параметры Г и 0 удовлетворяли (8.43) Уравнения (8.42) получены из уравнений (8.33) в предположении, что корни Л, и Л, комплексно-сопря1кенные.
Легко видеть, что точно такие же уравнения мы получим и при вещественных корнях Л, и Л,. Нужно только в равенствах (8.39) заменить х ~ !у на х +- у, в равенстве (8.44) отбросить число 1, а переменную г определить равенством нх + у = )» х' — 4 г. При етом параметр О будет по-прея»нему определяться выражением (8.43). Таким образом, уравнения (8.42) зквивалентны уравнениям (8.33) при любой структуре корней Л, и Л, (общие предполон»ения о том, что Ке Л, ( О и Ве Л, ( О и что Л, ~! Л„ остаются в силе).
На основании теоремы Лурье можно сделать следующий вывод: если уравнения (8.42) имеют хотя бм одно ее- и)естеенное решение относительно переменной г, то система регулирования абсолютно усп»ойчива (переменная х, согласно первым двум уравнениям, принимает только вещественные значения). Из первых двух уравнений (8.42) найдем 4 зл. Усчовия Авселютноя Устопчивости 281 условию О+ 4 ()/г+г)з>О. Учитывая, что Г ) О, достаточно в скобках взять верхний знак. Таким образом, при 0 ( О система регулирования будет абсолютно устойчива, если параметры системы г, Г и 0 удовлетворяют условию (Г --, '')/ г)' ) .
— 40. (8.45) Если вместо параметра Г ввести новый параметр Ч'=-Г+ ~' г== ег е, =- ~/ г + — ' + — ' + )/ г, Хз (8.46) -лгу и Рис. 8.3 то достаточное условие абсолютной устойчивости системы при 0 ( О принимает вид Ч" ) — 40. (8.47) К атому условию необходимо присоединить обп(ее условие (8.36). Область абсолютной устойчивости на пчоскости параметров 0 и Ч' иаображена на рис. 8.8, Пример.
Непрямое регулирование двигателя с жесткой обратной связью. На рис.84 и 8.5 показаны принципиальная и структурная схемы непрямого регулирования двигателя с жесткой обратной связью. Отличие от прямого регулировзвия (см. пример 3 $ 4.5) состоит в том, что перемещение муфты цеитробежкого устройства (измерителя угловой скорости двигателя) передается иа дроссельиую заслонку ие прямо, а через золотиик (суммирующий прибор) и сервомотор (гццравлический двигатель).
Кроме того, песок серводвигателя, воздействующий иа дроссельную заслонку, свяави с рычагом жесткой обратной связи Перейдем к составлению уравнений возмущенного движения системм. Уравнение двигателя было получено рапее при рассмотревяи примера 3 4 4.5. Пренебрегая моментом сопротивлеиия Мз (ы) и полагая, как и прежде, х = ю — ю„где ые — угловая скорость двигателя в установившемся движении, будем иметь Из те — = — й 5.
~й Здесь Тз — постояииая времеви, характеризующая момеит ииер- цик вращающихся частей двигателя. 282 ГЛ. Ч111. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСНОГО РЕГУЛИРОВАЕИ1Я Напашем уравнение центробежного регулятора вместе с демпфером (см. равенство (4.45)): Тзх'+ Те+х=йзз, Фхиеззиезеиь иизер иие ииижзиии дз Рис. 8.4 Рис, 8.6 Уравнение золотника (суммирузощего прибора) выест енд о=х — 4, а уравнение сервомотора $ =-1(а). Тз Если ввести обозначения х, .= —,- з,,тз =.. х, хз — — х, то урав- хз пения движения всей системы приводится к виду (8,6): хз = — а ез = азиз+ 2азхз+ ззхз, ез = хз, а = 1 (а), о = хз — ч, $ 8.5. услОВия АБсОлютнОЙ устОЙчиВОсти где 414в у, а,=- —, 2а,= — —, ав= — —, (8.
48) Твт ' ' тз' ув' 1 Е 1 1 Выпишем матрицы А, Е и с. Имеем А= ас 2аз аз, Ь= О, с= 0 Составим уравнение (8ЛО) и найдем его корни: — Х . 0 0 с)ет (А — ХЕ) = а, 2ав — Х аз = — Х (Хз — 2авХ вЂ” аз) = О, 0 1 — Х (8. 49) Х, = а ~ )Га + , Х = О.
Отсюда Хв + Хз = 2ав, Х1Хз = — ав, Хв — Хз —— 2)l а'"' + аз. (8.50) Пользуясь формулой (8Л7), составим матрицу В: в=о х,о Вычислим проквведевия ВА н ЛА: Так как матрицы ВА и ЛА, согласно (8Л4), равны, то должны быть равны соответствующие элементы: Хтссп = ~~сзм Хвс'ы = ~савы аваев = О, Хсссзв = 2авссвв + асв Хвсс„= 2авцвв + авв 2азссвз + ссвз О, Хвсс,з — — авссв„ Хса з = аваев аваев = О. Иэ этих девяти уравнений независимых только шесть (в каждой группе среднее уравнение является следствием верхнего и нижнего уравнений, а также уравнения (8.49)).
Положвмцтв = ас, цвв — — ав, ссзв = $. Тогда атв = Хв, сс,в = ав, пзв == Хз, ссвз = аз, изз = ссзв = 0 н, следовательно, Л= а Х вл= о х о Л А = авс аез пвв пас = Хвазв Хахзв Хзссм 0 0 ~ ') асам 2аатвв+ ссм азсссз ) 2ав ав = аваев 2авсзы -(- ссю аввы 4 0 авива 2аваас+ сзм азссзз 281 Гл Т1И системы автомвтическОГО РеГулиРОВАиия Для вычисления обратной матрицы найдем Л = без Л н соответствующие алгебран зескпе дополнения: Л «- йе1 Л = аз (Х, — Х ), Л11 = О Л11 = О Лз1 = аз (Х1 — Хз) Лзз = аз Лы = — аз Лзз =' О Лзз = — «з Лзз = Х1, Лзз =- — аз (Хз — «-1). Отсюда Л ;(Х,— ХВ Непосредственной проверкой убеждаемся, что ЛЛ-' —..— Е. Для перехода к уравнениям (8.18) найдем по формулам (8ИЗ) матрицы яид: — аз~ «з=ль= — а,~, — 1 д = (Л-')'с = Теперь мозкно перейти к уравнениям в переменных из, ию из, о (см, уравнения (8.18)).
Имеем 81=Хи +611(о),й =Хи +61(о), йз = Хз«(о), 8 = Хзиз + азиз + азиз — 1(о), где Ьа и га — элементы матриц й и д соответственно. По формулам (8,19) перейдем к каноническим переменным. Полагаем из ='= Хззг "з = "ззз. из = Аззз. После подстановки получим канонические уравнения 11 =- Х,зз + « (о), з, =- Х,з, + 1 (о), зз = 1(о), б =- е,з, + еззз + еззз — «(о). В этих уравнениях азХз аз (Хг — Хз) азХ1 ез = Ьгаз = (8.51) аз (Х1 — Хз) аг «ез«ез аз Тз Ез — ЬЯЗ = В рассматриваемом примере и = 3 и один корень нулевой.
В соответствии с общей теорией коэффициент е„= ез должен быть отрицательным, что и имеет место в данном примере (с . примечание к уравнениям (8.28)). О 1 Х,— Х, Хз О 1 — Г;:Хз Х1 аг аз (Хз — Хз) аз ! Хз ,(Хз — Х ) Х, аз («'1 з) а, 6 8.8. УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Для получения достаточных условий абсолютной устойчивости подчиним прежде всего параметры з, и е„условию (8.36): сг сг Х +т+г>О. С помощью формул (8.51), (8.50) и (8.49) зто условие приводится к виду г — Н>О (8.52) Е= — -4-(~ — Р—," ), со где с = Т~/Тз.
1 3 йу Абсолютиая устойчивость будет обеспечена при следующих условиях (в рассматриваемом примере г = 1): 1) Р(1, )с+1(т>4; Рис. 8,6 2) Р(1, (Р'1 — Р+1)з> > 4 — Р— 1/т. Первый случай отвечает условиям (8.36) и 9 > О. Второй случай отвечает условиям (8.36) и (8.45). Комбинируя зти условия„ можно получить более простые условия абсолютной устойчивости кепрямого регулирования двигателя с «кесткой обратной связью: 1) Р(1, т ~<; 1!2; 2) Р ( 1/т — 1/4тз, т > 1!2.
(8.53) Область абсолютной устойчивости показана ка рис.8.6. Конечно, все выводы справедливы при сделанных предположениях. тг дг (в дп бл з=-) г, где р = "с)туз)Т Заметим, что при отсутствии обратной связи (г = 0) условие (8.52) яе будет выполисио, Вычислим по фоРмУлам (8.43), (8.51), (8.50) и (8.49) параметр 8. Получим ГЛАВА |Х ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ $ 9.1. Введение Частотные методы исследования устойчивости линейных к нелинейных систем весьма удобны дчя ищкенерных расчетов, поскольку частотная характеристика инвариантна относительно линейного неособенного преобразования координат и легко определяется как по уравнениям системы, так и аксперимептально. Кроме того, частотные методы позволяют расширить класс рассматриваемых систем.
Впервые частотный критерий для исследования устойчивости линейных систем предложил Найквист в 1932 г. В 1958 г. румынский ученый В. М. Попов [43! получил достаточные условия абсолютной устойчивости в частотной форме, т. е. ка языке требований, предъявляемых к частотной характеристике линейной части системы. В 1962 г. В. А. Якубович [51[, а затем в 1963 г.
американский математик Р. Калман [55) опубликовали работы, из которых следует эквивалентность методов А. И. Лурье и В. М. Попова. В этой главе кратко излагаются основы частотного метода В. М. Попова для исследования систем с непрерывными нелинейностями. Анализ систем с разрывными нелипейностями, скользящим рел»имом и неединствеиным положением равновесия (»отрезкол» покоя») мол»но найти, например, в работах [15, 156, 29, 30[. ~ 9.2. Передаточные функции и частотные характеристики Рассмотрим линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений й а — ~ ' аа|ай+ Ь„и (и =. 1,..., и), (9.1) а= ~ с;хе 5»л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
