Введение в теорию устойчивости движения. Д. Р. Меркин (564377), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е. Ае 2л 2я р(Г)= — + А>сов — 7+ Вдздп — Г, 2 Т Т Положим А, = А соз 7, Вд — — А здп 7, где А и 7 — некоторые постоянные. В этих обозначениях будем иметь р (1) =- —, + А сов ~ — Т Г вЂ” 7) Ап д 2к 246 Гп. Т11, устОЙчиВОсть неавтономных систем Внеся р (4) в уравнение (7.73), получим -~-; + ~ — ' + А сов( — г — 7) ~ х = — О. Перейдем теперь к безразмерному времени т по формуле 2я — 4 — у =- т. Т Отсюда 1(4 == — Йт Т 2а и последнее уравнение примет свой окончательный вид Нее — „,, +(6+ есозт)х=.О, (7.89) где Те А» Те 6== — —" з=.— А.
4ае 2 ' 4не Уравнение (7.89) называется уравнением Матье; оно является, конечно, частным случаем уравнения Хилла (7.76). Возбуждающая функция равна соэ т, а ее период равен 2п. В соответствии с примечанием к (7.79) будем искать те значения 6 и е, при которых существуют периодические решения периодов 2и и 4и. Из самой формы уравнения (7.89) видно, что если функция х = х (т) есть решение уравнения (7.89), то функции х = х ( — т) и х = = — х (т) будут также решениями этого уравнения.
Из этого следует, что среди периодических решений уравнения Матье имеются четные и нечетные решения. Четные периодические решения периода 2п будем искать в форме х= — '+ ~ аесоейт, (7АИ) 1'=1 а нечетные периодические решения того же периода— в форме х=. ~ Ь„а1айт. (7.92,' а=1 Периодические реп1ения периода 4п представим аналогич. ными рядами: х= — + т аа соз —,, х — ~()аа1 —, (7.93' 1=1 5 7л.
Решения уРАВнений хиллА и НАтье 247 Остановимся более подробно на решении (7.91). Продифференцировав обе части уравнения (7.91) два раза по времени т, найдем аак — — еаа. соя Ет. ата— 2=1 Внеся это выражение и выражение (7.91) для а в уравнение (7.89), получим а — й'а, соя йт+ (б+ есоят)( 2 + ~ аксояйт) =О. К=1 1=1 Раскроем скобки и воспользуемся формулой 7 соятсояйт —....— (соя(й -]- 1)т+ соя(й — 1)т].
Тогда последнее уравнение примет вид — ао+ 2 (б — я )аксояйт + 2 + — ] ао соя т + ~~ як (соя (12 + 1) т + соя (й — 1) т]~ = О. (7.94) Преобразуем выражение в фигурных скобках. Имеем а (...) =аосоят+ Д аксая(а+ 1) т+ ~ а, соя(й — 1)т= 1'=1 К=1 — аосоят+'~ ак асояйт + ~ ака,соя йт. 1=2 к=о Слагаемое ао соя т внесем в первую сумму, а из второй суммы выделим первое слагаемое, после чего объединим обе суммы.
Тогда получим (...) =. ак+ ~ (аа-1 -]- ак+1) соя йт. 1=-1 Теперь равенство (7.94) можно записать в следующей форме: 6 о — ао+ —,а1 "; 2 2 — а, + (б — й ) ак + — ак,а~ соЯ йт = О. Ч7Г к 2 2=1 248 гл. тн, гстоичнвость ивхвтоиомиых систвм Так как это равенство должно выполняться для всех значений т, то отсюда следует бае + еа, = О, е е е. — ае-г+ (6 — йе)ае+ — 'аее,— О (й=-1, 2, ...). Запишем эту систему равенств более подробно, учиты- вая, что индекс й принимает значения 1, 2,...: бае + еае = О, — . + (6 — 1) ~ + —,' ., = О, (7.95) — а1+ (6 — 4) а. + — 'аз=О, 2 Эти линейные однородные уравнения относительно а„ а„а„...
должны иметь решение, отличное от нуля (так как существует периодическое решение (7.91)). Поэтому определитель этой системы должен равняться нулю' е е о о о е е — 8 †2 2 о о е е Π—. Π— 4 — О 2 2 = О. (7.96) о о — ',, о — о 2 о о о —, о — 18 2 Это уравнение, содержащее в левой части определитель с бесконечным числом строк и столбцов (он называется определиаылеэе Хилла), устанавливает искомую зависимость между 6 и е: 6 =-6(е), при которой существует периодическое решение вида (7.91).
В явной форме зту зависимость можно установить следующим образом. Раскроем определитель (7.96) при конечном и. Тогда получим обычное алгебраическое уравнение, из которого найдем приближенное решение 6„= бе (е). Точное решение получается при п — э. оо (это решение можно представить в форме сходящихся рядов). График функции 6 = 6 (е) определяет одну из границ области устойчивости решений уравнения Матье в ф 7 б. Решения уРАВненин хиллА и ИАтье 249 пространстве параметров б и е (ниже будет дано решение уравнения (7.96) прп ~ е ! (~1).
Аналогкчпыми методамя получаются три других уравнения для периодических решений вида (7.92) и (7.93): 6 — 1 — 0 0 2 -2- 6 — 4 2 0 =. О, (7.97) 0 — ' Ь вЂ” 0 2 2 ΠΠ— ' 5 — 10 2 1 е 6 — — +— г 2 9 6 —— 4 2 25 5 —— 4 = О, (7.98) 2 49 6 —— 4 1 е Ь вЂ” — —— 4 2 е 2 9 5 —— =О, (7.99) е 2 49 Ь вЂ” —, 4 з 2 Таким путем определя7отся области устойчивости для уравнения Матье; результаты приведены на диаграмме Айнса — Стретта (рис. 7.8), где областям устойчивости соответствуют заштрихованные поля, а областям неустойчивости — белые поля. Диаграмма дана только для е ~) О; для е ( О она получается зеркальным отображениеи относительно оси б. Отдельные области смыкаются между собой в точках 6 = — из74 и е = О, где и — целое число. Как видно из диаграммы, область устойчивости существует и прн отрицательных б.
Очевидно, что аналогич- 250 Гл. У!1 устончиВОсть неАВтОКОмных систем ными методами можно построить соответствующую диаграмму и для уравнения Хллла (7.78), разложив предварительно возбуждающую функцию 1Р (1) в ряд Фурье. Проследим за изменением свойств параметрических колебаний при изменении частоты ю = 2тй~Т возбуждении. Пусть частоте о1 на диаграмме Айнса — Стретта б 7 Ю Я,1Р Рис. 7.8 отвечает точка ЛХ (см. рис.
7.8). Соответствующие значения параметров 6 и е найдем ич формул (7.90): Ао А 6 =.— —., е —— 2оР ' он (7 100) Из этих равенств видно, что при увеличении частоты возбуждения ю параметры 6 и е будут уменьшаться, а точка М будет перемещаться по прямой (7.101) аснмптотически приближаясь к началу координат (на рис. 7.8 эта прямая показана пунктиром). Из рисунка видно, что прямая (7.101) пересекает области устойчивости и неустойчивости, Зто означает, что нри увеличении частоты возбуждения ю устойчивые и неустойчивые состояния системы будут чередоваться. Заметим, что в некоторых случаях (см. пример 1 2 7.7) параметр е может не зависеть от ю.
В этих случаях прямая, показанная на рис. 7.8, будет параллельна оси 6, однако вывод о чередовании устойчивых и неустойчивых состояний системы при увеличении частоты возбуждения остается справедливым. з 7.6. Решения уравнении хиллА и млтье 257 Если при данных значениях парамотров Б и е имеет 'место неустойчивость, то говорит, что наступает параметрический резонанс. Из приведенных рассуждений видно, что параметрический резонанс имеет место прн бесчисленном множестве значений частоты возбуждения 1о.
При малых з параметрический резонанс наступает вблизи значений б = лв74, где л — целое число (см. описание рнс. 7.8). Между обычным и параметрическим резонансамн имеются существенные различия. Действительно, если на систему с линейным упругим элементом действует возмущающан сила, изменнющаяся по гармоническому закону, то дифференциальное уравнение движения приводится к виду У + КВХ = УХ СОЗ Овй При совпадении частоты возмущающей силы ю с частотой собственных колебаний й частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, будет н х = — р з1' и о78. 2ю Из этого решения и его графика (рнс.
5.1) видно, что обычный резонанс представляет неограниченное возрастание вынужденных колебаний устойчивой системы (см. пример 3 з 5.4), возникающих под действием возмущающей силы, Резонанс появляется только при одной частоте возмущающей силы ю = й и любых, в том числе и нулевых, начальных условных '). Амплитуды вынунвденных колебаний возрастают практически по закону арифметической прогрессии, разность которой приближенно определяется равенством д = Ни!(2юв) (если не считать нескольких первых колебаний, то зто равенство дает очень хорошее приближение). Параметрический резонанс — это возрастающие колебания около неустойчивого полонения равновесия. Он возникает не при одном, а при бесчисленном множестве значений частоты возбуждения в результате появления неизбшкных начальных возмущений (при нулевых началь- 1) Прн ю + Ь частное решенно имеет внд л = и , совы лв — ыв н, следовательно, амплитуды вынужденных колебаний но возрастают.
252 ГЛ. Ч11. УСТОНЧИВОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ных условиях система находится в состоянии неустойчивого равновесия). Характер движения системы при параметрическом резонансе практически определяется соотношением (7.82) (см. также рис. 7.6) а (г) = Се'-((р ((), где а ) О, а (() (() — периодическая функция, период которой равен периоду возбуждающей функции Т. Амплитуды колебаний при параметрическом резонансе, как зто следует из последней формулы, возрастают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой (фактор возрастания) определяется равенством у=-о т)о Остановимся теперь на вычислении зависимости 6 = 6 (е) при условии, что ! е ! ч': 1. Ограничимся в бесконечном определителе (7.96) Хилла сначала двумя строками и двумя столбцами () о Л (е)= =О или Ьо (е) =- 6 (6 — 1) — — ' = О.
Положим е = О. Тогда Ь(О) =6 (6 — 1). Это нулевое приближение имеет два корня 6(о) () 6(о) Для определения первого приближения положим 6( ) 6(о) + о 60) 6(о) + о или, учитывая значения 6,' и 6(), 6Г~ = а,е', 6(') = 1 + а,е'. Составим теперь из (7.96) определитель Ло; О Ьо (е) = — 6 †2 253 5 ьа Решения уРАВнений хиллА и ИАтье раскрывая определитель, находим Аз(е) =-.6(6 — 1)(6 — 4) — ~ (36 — 8) = О. Внесем сюда сначала б,н = о1Е: со 2. ЕЯ а1е'(агез — 1) (а1ез — 4) — -- (Зогзз — 8) =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
